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期中专项18 一元一次方程
一．选择题（共18小题）
1．（2023秋 仙居县校级期中）已知，下列等式变形不一定成立的是
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】、两边都加，结果不变，故不符合题意；
、时两边都除以，无意义，故符合题意；
、两边都乘以，都加，结果不变，故不符合题意；
、两边都除以同一个不为零的整式结果不变，故不符合题意；
故选．
2．（2023秋 镇海区校级期中）下列说法正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【答案】
【解析】．当时，不一定等于，故该选项错误，不符合题意；
．如果，那么，故该选项错误，不符合题意；
．如果，那么，故该选项正确，符合题意；
．如果，那么，故该选项错误，不符合题意．
故选．
3．（2023秋 滨江区校级期中）根据等式的性质，可以变形为，则与
A．互为相反数 B．相等 C．互为负倒数 D．互为倒数
【答案】
【解析】，
，
，
与互为倒数．
故选．
4．（2023秋 镇海区校级期中）下列各式是一元一次方程的是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．方程是二元一次方程，选项不符合题意；
．方程是一元二次方程，选项不符合题意；
．方程是一元一次方程，选项符合题意；
．方程是分式方程，选项不符合题意．
故选．
5．（2023秋 临海市校级期中）下列方程去括号正确的是
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
【答案】
【解析】方程去括号得：．
故选．
6．（2023秋 慈溪市校级期中）已知3是关于的方程的解，则的值为
A． B．5 C．7 D．
【答案】
【解析】将代入方程得：，
解得：．
故选．
7．（2023秋 拱墅区校级期中）若式子与的值相等，则等于
A．1 B．2 C． D．
【答案】
【解析】由题意得：
，
，
，
，
故选．
8．（2023秋 椒江区校级期中）下列方程的解是的方程是
A． B． C． D．
【答案】
【解析】．把代入方程得：左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故本选项不符合题意；
．把代入方程得：左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故本选项不符合题意；
．把代入方程得：左边，右边，左边右边，所以是方程的解，故本选项符合题意；
．把代入方程得：左边，右边，左边右边，所以不是方程的解，故本选项不符合题意；
故选．
9．（2023秋 拱墅区校级期中）定义，若，则的值是
A．3 B．4 C．6 D．9
【答案】
【解析】根据运算规则可知：可化为，
移项可得：，
即．
故选．
10．（2023秋 江北区期中）解方程，去分母，得
A． B． C． D．
【答案】
【解析】方程两边同时乘以6得．
故选．
11．（2023秋 新昌县校级期中）某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店
A．不赔不赚 B．赚了32元 C．赔了8元 D．赚了8元
【答案】
【解析】设盈利的进价为元，
则：，
解得：，
再设亏损的进价为元，则；
，
解得：，
所以总进价是120元，总售价是128元，售价进价，
所以赚了8元．
故选．
12．（2023秋 临海市期中）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产个零件，则所列方程为
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设原计划每小时生产个零件，则实际每小时生产个零件．
根据等量关系列方程得：．
故选．
13．（2023秋 临海市校级期中）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需，逆水航行需，水流速度是，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为，得到方程
A． B． C． D．
【答案】
【解析】依题意得：．
故选．
14．（2023秋 拱墅区校级期中）一根竹竿插入到池塘中，插入池塘淤泥中的部分占全长的，水中部分是淤泥中部分的2倍多1米，露出水面的竹竿长1米．设竹竿的长度为米，则可列出方程
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】设竹竿的长度为米，则插入池塘淤泥中的部分长米，水中部分长米．
因此可列方程为，
故选．
15．（2023秋 龙湾区校级期中）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得
A． B．
C． D．
【答案】
【解析】慢马先行12天，快马天可追上慢马，
快马追上慢马时，慢马行了天．
根据题意得：．
故选．
16．（2023秋 下城区校级期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为
A． B． C．3 D．4
【答案】
【解析】设右下边为，由满足6条边上四个数之和都相等，他们的和为，如图所示：
观察图形还有，，0，3，4，6五个数字，观察“六角幻星”图可知与相差6，只有，3或0，6满足，
则或，
解得或，
当时，，或又有1个为0（不合题意舍去），
当时，符合题意．
方法二：由题意可知，比大1，所以要么4和3，要么和，
比大6，所以要么是和3，要么是6和0，
不管和选哪组都和3或者有关，所以和不可能是3和，只能是6和0，
代入即可求出；
故选．
17．（2023秋 新昌县校级期中）如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为1，其它正方形的边长分别为，，，，则长方形的面积为
A．121 B．48 C．143 D．125
【答案】
【解析】根据题意得：，，，，
，
解得：，
长方形的面积．
故选．
18．（2023秋 衢江区期中）如图，已知点点分别是数轴上的两点，点对应，点对应60，现有甲乙两只蚂蚁分别从点，点同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多4单位秒，经过5秒他们相遇，若它们在点，点位置同时向右而行，并在点相遇，则点在数轴上对应的数是
A．160 B．200 C．240 D．260
【答案】
【解析】设甲蚂蚁的速度为单位秒，则乙蚂蚁的速度为单位秒，
根据题意，得：，
解得：，
甲蚂蚁的速度为12单位秒，则乙蚂蚁的速度为8单位秒，
设当它们在点，点位置同时向右而行，秒后相遇，
则，
解得，
点在数轴上对应的数是，
故选．
二．填空题（共15小题）
19．（2023秋 龙湾区校级期中）已知是方程的解，则 ．
【答案】．
【解析】把代入方程，
得：，
解方程得：．
故填：．
20．（2023秋 玉环市校级期中）已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
【答案】．
【解析】方程是关于的一元一次方程，
且，
解得．
故答案为：．
21．（2023秋 临海市校级期中）当 时，式子的值是．
【答案】．
【解析】由题意，得
，
解得．
故答案为：．
22．（2023秋 椒江区校级期中）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】．
【解析】把代入方程得：，
解得，
故答案为：．
23．（2023秋 江北区期中）某同学在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，则原方程正确的解为 ．
【答案】．
【解析】将代入，
得，
解得，
一元一次方程为，
去分母得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为1得：，
原方程正确的解为．
故答案为：．
24．（2023秋 椒江区校级期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 6 ．
【答案】6．
【解析】方程，
解得：，
方程的解为整数，
或或，
解得：，2，3，，5，，
则符合条件的所有整数的值的和为．
故答案为：6．
25．（2023秋 滨江区校级期中）在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数 28或27 ．
【答案】28或27．
【解析】当是偶数时，有，
解得：，
当是奇数时，有．
解得：．
故答案为：28或27．
26．（2023秋 慈溪市校级期中）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：对于方程，其解为，则该方程是“奇异方程”．已知关于的方程是奇异方程，则的值为 ．
【答案】．
【解析】因为关于的方程是奇异方程，
所以，
则，
解得．
故答案为：．
27．（2023秋 余姚市校级期中）将连续16个整数填入的正方形表格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等．如图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，则图中所在位置的数是 ．
【答案】．
【解析】将连续16个整数填入表中，
这16个数的和为：，
每行、每列、每条对角线的数字和为：．
设左上角被擦掉的数为，则可得左下角被擦掉的数为，右下角被擦掉的数为，其余各格中被擦掉的数都可表示为的代数式，如图所示．
由两条对角线上的数相加等于2，可得，
整理，得，
解得：，
．
故答案为：．
28．（2023秋 玉环市校级期中）某商场出售某款电视机，售价为每台1800元，可盈利，设这款电视机的进价为元，则可列方程为 ．
【答案】．
【解析】由题意可得，
，
故答案为：．
29．（2023秋 临海市期中）一件衬衫先按利润定价，再以八折出售，可获利30元，则这件衬衫的成本是 150 元．
【答案】150．
【解析】设这件衬衫的成本是元，
依题意，得：，
解得：．
故答案为：150．
30．（2023秋 拱墅区校级期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为且和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则的值为 或 ．
【答案】或．
【解析】①如图：
根据题意得：，，
，
，
，
，
②如图：
根据题意得：，，
，
，
，
，
综上所述：或．
故答案为：或．
31．（2023秋 温州期中）如图1，一支铅笔套上笔帽后总长为，其中分界到顶部和笔尖的水平距离分别为和，已知笔帽的长度为，那么套口到分界的水平距离为 1 ；如图2，将笔帽套在铅笔顶部作延长器使用，此时套口到铅笔顶部的水平距离与图1中套口到分界的水平距离相等，当总长小于时，将不再适合书写，则该铅笔最多可以使用 ．
【答案】1，13.2．
【解析】套口到分界的水平距离为，
设该铅笔最多可以使用，
根据题意得：，
解得，
该铅笔最多可以使用，
故答案为：1，13.2．
32．（2023秋 东阳市期中）如图，在数轴上点、表示的数分别为、4，若点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点、同时出发，经过 2或8 秒后，、两点间的距离为10个单位长度．
【答案】2或8．
【解析】分两种情况，
①当点沿着数轴向右移动，则点表示的数为，点表示的数为，
由得，，
解得，（舍去）或；
②当点沿着数轴向左移动，则点表示的数为，点表示的数为，
由得，，
解得，（舍去）或；
故答案为：2或8．
33．（2023秋 台州期中）某种商品进价为元，标价为元．现打折销售，要使利润率为，则需打 折销售．
【答案】．
【解析】设需要打折，
由题意得：，
解得：；
需打折．
故答案为：．
三．解答题（共12小题）
34．（2023秋 玉环市校级期中）用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1），
移项得：，
合并得：；
（2），
移项得：，
合并得：，
系数化为1得：．
35．（2023秋 拱墅区校级期中）解方程．
（1）；
（2）．
【解析】（1）去括号，得，
移项合并，得，
将未知数系数化为1，得；
（2）去分母，得，
去括号，得，
移项合并，得，
将未知数系数化为1，得．
36．（2023秋 椒江区校级期中）若不论取什么实数，关于的方程，是常数）的解总是，求的值．
【解析】把代入方程得：，
去分母得：，
整理得：，
不论取什么实数，关于的方程，是常数）的解总是，
，，
解得：，，
则．
37．（2023秋 镇海区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
【解析】（1）去括号得：，
移项合并得：，
解得：；
（2）去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
38．（2023秋 拱墅区校级期中）已知是方程的根，求代数式的值．
【解析】把代入方程，
得：，
解得：，
原式．
39．（2023秋 东阳市期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，金华市2017年1月1日，开始采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准如下表：
每月用水量 单价（元立方米）
不超过16立方米的部分 3
超过16立方米不超过34立方米的部分 4
超过34立方米的部分 6.5
例如：某户居民3月份用水18立方米，应收水费（元．请根据上表的内容解答下列问题：
（1）在某户居民2月份用水14立方米，则应收水费多少元？
（2）若某户居民4月份用水立方米（其中，请用含有的代数式表示应收水费；
（3）若某户居民5月份水费185元，则该用户5月份的用水量是多少立方米？
【解析】（1）根据题意得：（元．
答：应收水费42元；
（2）根据题意得：（元．
答：应收水费元；
（3）设该用户5月份的用水量是立方米，
，，
．
根据题意得：，
解得：．
答：该用户5月份的用水量是44立方米．
40．（2023秋 龙湾区校级期中）双十一期间，大润发超市各个区域都有促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学问题
素材1 超市有品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元．
素材2 小文去超市购买了8瓶品牌牛奶，共花了89元．
素材3 过了几天，小明去超市，发现原价每瓶15元的品牌牛奶“买二送一”促销． 品牌牛奶促销套装温馨提醒： 1．买两瓶送一瓶，同款品牌牛奶； 2．套装不可拆开单卖．
问题解决
任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由．
任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小文购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？
任务3 小明按原价购买品牌大、小瓶牛奶若干瓶，同时购买品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送牛奶）的．求小明品牌大瓶牛奶买了多少瓶？
【解析】任务一：设品牌牛奶大瓶瓶，则品牌牛奶小瓶瓶，
由题意得，，
解得，
要为正整数，
此时不符合题意，
按原价购买，不可能是89元．
任务二：设品牌牛奶大瓶瓶，则品牌牛奶小瓶瓶，
由题意得，，
解得，
，
小文购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各3瓶、5瓶；
任务三：设小明品牌牛奶大瓶买了瓶，小瓶买了瓶，则品牌牛奶一共有瓶，
需要购买品牌牛奶瓶，
由题意得，，
解得，
小明品牌大瓶牛奶买了6瓶．
41．（2023秋 上城区校级期中）如图，数轴上点、、对应的数分别为、、，且、、使得与互为同类项．动点从点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点运动到点之后立即以原速沿数轴向左运动，动点从点出发的同时动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为秒，
（1）填空： ， ，点在数轴上所表示的数为 （用的代数式表示）．
（2）在整个运动过程中，取何值时？
【解析】（1）与互为同类项，
，，，
，，，
动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，
表示的数为；
故答案为：，7，；
（2）当，即点向点运动时，表示的数为，
，表示的数为；
，，
，
，
解得或（舍去）；
当时，表示的数为，
，
，
，
解得或（舍去），
取或时，．
42．（2023秋 义乌市期中）如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，4．请回答以下问题：
（1）与之间距离为 6 ，，中点对应的数为 ．
（2）若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动：
①当点运动多少秒时，点和点重合？
②当点运动多少秒时，，之间的距离为3个单位长度？
【解析】（1）、分别表示的数是，4．
与之间距离为，
，中点对应的数为1，
故答案为：6，1；
（2）点对应的数为，
当点移动到位置时，点到、两点的距离相等，都是6；
当点移动到1位置时，点到、两点的距离相等，都是3；
当点移动到10位置时，点到、两点的距离相等，都是6；
（3）①设点运动秒时，点和点重合，
根据题意，得，
解得：（秒，
点运动3秒时，点和点重合；
②设点运动秒时，点和点之间的距离为3个单位长度，
，之间的距离为3个单位长度有两种可能，
当在的右边时，
根据题意得，
解得：（秒，
当在的左边时，
根据题意得，
解得：（秒，
当点运动1.5秒或4.5秒时，，之间的距离为3个单位长度．
43．（2023秋 瑞安市期中）某旅游景点的门票价格是：成人票10元人，学生票5元人，总人数满50人可以购买团体票（按原价打8折）．
（1）如果某旅游团共有30人，其中成人有12人，那么应付门票费多少元？
（2）某旅游团总人数有人，其中学生人数为人．请用含，的代数式表示该旅游团应付的门票费用．
【解析】（1）设某旅游团有学生人，
根据题意得，
解得，
（元，
答：应付门票费用为210元．
（2）根据题意得元，
答：该旅游团应付的门票费用为元．
44．（2023秋 江山市期中）若数轴上的点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图：现数轴上有一点表示的数为，点表示的数为18，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）、两点之间的距离 28 ；
（2）求当为何值时，、两点相遇，并求出此时相遇点所表示的数；
（3）求当为何值时，数轴上、两点间的距离为、两点间距离的一半？
【解析】（1），
故答案为：28；
（2）根据题意得：，
解得，，
，
答：当时，、两点相遇，此时相遇点所表示的数为6；
（3）分两种情况讨论：
①相遇前：，解得，
②相遇后：，解得，
答：当为2或6时，数轴上、两点间的距离为、两点间距离的一半．
45．（2023秋 江北区期中）如图，数轴上有、、三个点，分别表示数、、20，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点总在点的左边，点总在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点运动到点时，线段、立即同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）．
（1）当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ．
（2）当开始运动后， 秒时，点和点重合．
（3）在整个运动过程中，求点和点重合时的值．
（4）在整个运动过程中，当线段和重合部分长度为1时，请直接写出此时的值．
【解析】（1）当时，点表示的数为，点表示的数为，
故答案为：，；
（2）根据题意得：，
解得，
故答案为：；
（3）当，即未到时，表示，
当，即返回时，表示的数是，
而表示的数是，
或，
解得或，
点和点重合时的值是4秒或17秒；
（4）当时，表示，表示的数，
当时，表示的数是，表示的数是，
表示的数是，表示的数是，
①未到达，若在右边1个单位时，
，解得，
②未到达，在右侧1个单位时，
，解得；
③返回，在右侧1个单位时，
，解得，
④返回，在右边1个单位时，
，解得；
综上所述，的值是2或4.5或或18．
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期中专项18 一元一次方程
一．选择题（共18小题）
1．（2023秋 仙居县校级期中）已知，下列等式变形不一定成立的是
A． B．
C． D．
2．（2023秋 镇海区校级期中）下列说法正确的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
3．（2023秋 滨江区校级期中）根据等式的性质，可以变形为，则与
A．互为相反数 B．相等 C．互为负倒数 D．互为倒数
4．（2023秋 镇海区校级期中）下列各式是一元一次方程的是
A． B． C． D．
5．（2023秋 临海市校级期中）下列方程去括号正确的是
A．由，得
B．由，得
C．由，得
D．由，得
6．（2023秋 慈溪市校级期中）已知3是关于的方程的解，则的值为
A． B．5 C．7 D．
7．（2023秋 拱墅区校级期中）若式子与的值相等，则等于
A．1 B．2 C． D．
8．（2023秋 椒江区校级期中）下列方程的解是的方程是
A． B． C． D．
9．（2023秋 拱墅区校级期中）定义，若，则的值是
A．3 B．4 C．6 D．9
10．（2023秋 江北区期中）解方程，去分母，得
A． B． C． D．
11．（2023秋 新昌县校级期中）某商店有两个进价不同的计算器都卖了64元，其中一个盈利，另一个亏损，在这次买卖中，这家商店
A．不赔不赚 B．赚了32元 C．赔了8元 D．赚了8元
12．（2023秋 临海市期中）某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产个零件，则所列方程为
A． B．
C． D．
13．（2023秋 临海市校级期中）某轮船在两个码头之间航行，顺水航行需，逆水航行需，水流速度是，求两个码头之间的距离，我们可以设两个码头之间的距离为，得到方程
A． B． C． D．
14．（2023秋 拱墅区校级期中）一根竹竿插入到池塘中，插入池塘淤泥中的部分占全长的，水中部分是淤泥中部分的2倍多1米，露出水面的竹竿长1米．设竹竿的长度为米，则可列出方程
A． B．
C． D．
15．（2023秋 龙湾区校级期中）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行240里，慢马每天行150里，慢马先行12天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得
A． B．
C． D．
16．（2023秋 下城区校级期中）如图，在探究“幻方”、“幻圆”的活动课上，学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，，，，，0，1，2，3，4，5，6这12个数填入“六角幻星”图中，使6条边上四个数之和都相等，部分数字已填入圆圈中，则的值为
A． B． C．3 D．4
17．（2023秋 新昌县校级期中）如图，长方形被分成六个小的正方形，已知中间一个小正方形的边长为1，其它正方形的边长分别为，，，，则长方形的面积为
A．121 B．48 C．143 D．125
18．（2023秋 衢江区期中）如图，已知点点分别是数轴上的两点，点对应，点对应60，现有甲乙两只蚂蚁分别从点，点同时出发，相向而行，甲蚂蚁的速度比乙蚂蚁的速度多4单位秒，经过5秒他们相遇，若它们在点，点位置同时向右而行，并在点相遇，则点在数轴上对应的数是
A．160 B．200 C．240 D．260
二．填空题（共15小题）
19．（2023秋 龙湾区校级期中）已知是方程的解，则 ．
20．（2023秋 玉环市校级期中）已知方程是关于的一元一次方程，则 ．
21．（2023秋 临海市校级期中）当 时，式子的值是．
22．（2023秋 椒江区校级期中）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为 ．
23．（2023秋 江北区期中）某同学在解关于的一元一次方程时，由于粗心大意在去分母时出现漏乘错误，把原方程化为，并解得为，则原方程正确的解为 ．
24．（2023秋 椒江区校级期中）关于的一元一次方程的解是整数，则符合条件的所有整数的值的和为 ．
25．（2023秋 滨江区校级期中）在如图所示的运算流程中，若输出的数，则输入的数 ．
26．（2023秋 慈溪市校级期中）若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．例如：对于方程，其解为，则该方程是“奇异方程”．已知关于的方程是奇异方程，则的值为 ．
27．（2023秋 余姚市校级期中）将连续16个整数填入的正方形表格中，使得每行、每列、每条对角线上四个数之和都相等．如图所示，恰有8个小方格中填的数被一个淘气的小朋友擦掉了，则图中所在位置的数是 ．
28．（2023秋 玉环市校级期中）某商场出售某款电视机，售价为每台1800元，可盈利，设这款电视机的进价为元，则可列方程为 ．
29．（2023秋 临海市期中）一件衬衫先按利润定价，再以八折出售，可获利30元，则这件衬衫的成本是 元．
30．（2023秋 拱墅区校级期中）如图，有一张长方形纸片，长和宽分别为且和1．现将纸片按如下方式操作：第一次分割出一个最大的正方形，第二次在剩下的长方形中再分割出一个最大的正方形，依次操作后恰好能把这个长方形分割成四个正方形且无剩余，则的值为 ．
31．（2023秋 温州期中）如图1，一支铅笔套上笔帽后总长为，其中分界到顶部和笔尖的水平距离分别为和，已知笔帽的长度为，那么套口到分界的水平距离为 ；如图2，将笔帽套在铅笔顶部作延长器使用，此时套口到铅笔顶部的水平距离与图1中套口到分界的水平距离相等，当总长小于时，将不再适合书写，则该铅笔最多可以使用 ．
32．（2023秋 东阳市期中）如图，在数轴上点、表示的数分别为、4，若点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点、同时出发，经过 秒后，、两点间的距离为10个单位长度．
33．（2023秋 台州期中）某种商品进价为元，标价为元．现打折销售，要使利润率为，则需打 折销售．
三．解答题（共12小题）
34．（2023秋 玉环市校级期中）用等式的性质解下列方程：
（1）；
（2）．
35．（2023秋 拱墅区校级期中）解方程．
（1）；
（2）．
36．（2023秋 椒江区校级期中）若不论取什么实数，关于的方程，是常数）的解总是，求的值．
37．（2023秋 镇海区校级期中）解方程：
（1）；
（2）．
38．（2023秋 拱墅区校级期中）已知是方程的根，求代数式的值．
39．（2023秋 东阳市期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，金华市2017年1月1日，开始采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水的收费标准如下表：
每月用水量 单价（元立方米）
不超过16立方米的部分 3
超过16立方米不超过34立方米的部分 4
超过34立方米的部分 6.5
例如：某户居民3月份用水18立方米，应收水费（元．请根据上表的内容解答下列问题：
（1）在某户居民2月份用水14立方米，则应收水费多少元？
（2）若某户居民4月份用水立方米（其中，请用含有的代数式表示应收水费；
（3）若某户居民5月份水费185元，则该用户5月份的用水量是多少立方米？
40．（2023秋 龙湾区校级期中）双十一期间，大润发超市各个区域都有促销活动，小文一家去逛该超市，准备购买牛奶，根据以下素材，探索完成任务．
生活中的数学问题
素材1 超市有品牌牛奶大瓶和小瓶两种型号，大瓶牛奶每瓶15元，小瓶牛奶每瓶10元．
素材2 小文去超市购买了8瓶品牌牛奶，共花了89元．
素材3 过了几天，小明去超市，发现原价每瓶15元的品牌牛奶“买二送一”促销． 品牌牛奶促销套装温馨提醒： 1．买两瓶送一瓶，同款品牌牛奶； 2．套装不可拆开单卖．
问题解决
任务1 小文妈妈说：按原价购买，不可能是89元！请说明小文妈妈这样说的理由．
任务2 小文看了一下购物小票，发现有1瓶是“会员打6折限购1瓶”的大瓶牛奶，请问小文购买了大瓶牛奶和小瓶牛奶各多少瓶？
任务3 小明按原价购买品牌大、小瓶牛奶若干瓶，同时购买品牌促销套装若干套，一共花费210元．其中品牌大瓶牛奶占所有牛奶瓶数（包括促销套装中赠送牛奶）的．求小明品牌大瓶牛奶买了多少瓶？
41．（2023秋 上城区校级期中）如图，数轴上点、、对应的数分别为、、，且、、使得与互为同类项．动点从点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点运动到点之后立即以原速沿数轴向左运动，动点从点出发的同时动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为秒，
（1）填空： ， ，点在数轴上所表示的数为 （用的代数式表示）．
（2）在整个运动过程中，取何值时？
42．（2023秋 义乌市期中）如图数轴上有两个点、，分别表示的数是，4．请回答以下问题：
（1）与之间距离为 ，，中点对应的数为 ．
（2）若点对应的数为，只移动点，要使得，，其中一点到另两点之间的距离相等，请写出所有的移动方法．
（3）若点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左做匀速运动，点从出发，以每秒5个单位长度的速度向左做匀速运动，，同时运动：
①当点运动多少秒时，点和点重合？
②当点运动多少秒时，，之间的距离为3个单位长度？
43．（2023秋 瑞安市期中）某旅游景点的门票价格是：成人票10元人，学生票5元人，总人数满50人可以购买团体票（按原价打8折）．
（1）如果某旅游团共有30人，其中成人有12人，那么应付门票费多少元？
（2）某旅游团总人数有人，其中学生人数为人．请用含，的代数式表示该旅游团应付的门票费用．
44．（2023秋 江山市期中）若数轴上的点、点表示的数分别为、，则、两点之间的距离，如图：现数轴上有一点表示的数为，点表示的数为18，点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为秒．
（1）、两点之间的距离 ；
（2）求当为何值时，、两点相遇，并求出此时相遇点所表示的数；
（3）求当为何值时，数轴上、两点间的距离为、两点间距离的一半？
45．（2023秋 江北区期中）如图，数轴上有、、三个点，分别表示数、、20，有两条动线段和（点与点重合，点与点重合，且点总在点的左边，点总在点的左边），，，线段以每秒1个单位的速度从点开始一直向右匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点开始向右匀速运动．当点运动到点时，线段立即以相同的速度返回；当点运动到点时，线段、立即同时停止运动．设运动时间为秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）．
（1）当时，点表示的数为 ，点表示的数为 ．
（2）当开始运动后， 秒时，点和点重合．
（3）在整个运动过程中，求点和点重合时的值．
（4）在整个运动过程中，当线段和重合部分长度为1时，请直接写出此时的值．
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