人教版2024-2025学年六年级数学上册专项提升第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】(原卷版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年六年级数学上册专项提升第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】(原卷版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-12 13:05:08 | ||
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文档简介
2024-2025学年六年级数学上册专项提升
第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元分数除法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数除法基本简便计算以及复杂的巧算方法。
总体评价
讲解建议 本部分大多数考点涉及分数巧算与思维拓展内容，综合性极强，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算 4
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律 5
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算 6
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想 7
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数 9
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式 10
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式 11
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法 12
【典型例题1】先拆解，再约分 12
【典型例题2】先提取公因数，再约分 12
【典型例题3】大变小思想 13
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式＊ 14
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式＊ 15
【典型例题1】问题一 15
【典型例题2】问题二 15
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法＊ 17
【典型例题1】通项公式一 17
【典型例题2】通项公式二 17
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法＊ 18
【典型例题1】问题一 18
【典型例题2】问题二 19
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法＊ 20
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算＊ 21
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式＊ 22
【第三篇】典型例题篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型直接利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再约分计算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型可以先将算式变形成分数乘法算式，再根据乘法分配律简算或者直接使用除法左分配律进行简算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
先利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再利用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】乘法分配律其一。
简便计算。
【典型例题2】乘法分配律其二。
简便计算。
÷－÷
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想。
【方法点拨】
先将带分数化成假分数，然后再提分数单位，最后再整体约分。
【典型例题1】整体约分其一。
简便计算。
【典型例题2】整体约分其二。
简便计算。
（××）÷（××）
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数。
【方法点拨】
将带分数化成假分数，但注意，在化假分数的过程中，先把分数部分写成算式的形式，再简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2019÷2019
【对应练习1】
简便计算。
2017÷2017
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
1999÷1999＋
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式。
【方法点拨】
将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2020÷2020
【对应练习1】
简便计算。
32÷32
【对应练习2】
简便计算。
16÷8
【对应练习3】
简便计算。
1÷（2006÷2006）
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式。
【方法点拨】
先将带分数化成加法形式，再凑分数约分。
【典型例题】
简便计算。
60÷29
【对应练习1】
简便计算。
84÷41
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
2010
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法。
【方法点拨】
1. 常见整数的拆解：
(1)AAAAA=A×11111；
(2)A0A0A0A=A×1010101；
(3)ababababab=ab×101010101；
(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；
(5)12345654321=111111×111111。
2. “大变小”思想：
即在变形时尽量将较大数变为较小数。
3. 变形约分法主要格式与步骤：
（1）通过拆数、凑数改变形式；
（2）有公因数时提取公因数；
（3）整套或部分约分；
（4）求出结果。
【典型例题1】先拆解，再约分。
简便计算。
【典型例题2】先提取公因数，再约分。
简便计算。
【典型例题3】大变小思想。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式。＊
【方法点拨】
平方差公式：
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12 ．
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式。＊
【方法点拨】
高斯公式：
1.求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2；
2.末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差；
3.项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【对应练习1】
计算： 。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法。＊
【方法点拨】
通项公式其一：；
通项公式其二：。
【典型例题1】通项公式一。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题2】通项公式二。
简便计算。
【对应练习】
计算： ．
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法。＊
【方法点拨】
错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下：
1. 设原式=m，作为①式；
2. 两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式；
3. 两式相减，错位抵消，求出结果。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
+++++++
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法。＊
【方法点拨】
估算主要运用极端思想进行求解，在小升初考试中，一般情况下，主要考虑借助端点数值、中间数值、特殊值等进行估算。
【典型例题】
的整数部分是______。
【对应练习1】
已知，求x的整数部分是多少？
【对应练习2】
已知：，则S的整数部分是多少？.
【对应练习3】
数
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算。＊
【方法点拨】
1. 在分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子分母中都含有四则运算或分数的的数，叫做繁分数
2. 在进行有关繁分数的计算时，先将“大分数线”变为除号，然后按照混合运算的计算法则解题。
【典型例题】
计算。
【对应练习1】
计算。
【对应练习2】
计算。
【对应练习3】
计算。
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式。＊
【方法点拨】
1. 平方和公式：；
2. 立方和公式：。
【典型例题】
若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值。
【对应练习】
计算；512+522+532+…+992+1002= 。
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2024-2025学年六年级数学上册专项提升
第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元分数除法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数除法基本简便计算以及复杂的巧算方法。
总体评价
讲解建议 本部分大多数考点涉及分数巧算与思维拓展内容，综合性极强，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算 4
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律 5
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算 7
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想 9
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数 10
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式 12
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式 13
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法 15
【典型例题1】先拆解，再约分 15
【典型例题2】先提取公因数，再约分 16
【典型例题3】大变小思想 16
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式＊ 18
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式＊ 20
【典型例题1】问题一 21
【典型例题2】问题二 21
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法＊ 23
【典型例题1】通项公式一 23
【典型例题2】通项公式二 25
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法＊ 26
【典型例题1】问题一 26
【典型例题2】问题二 27
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法＊ 27
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算＊ 30
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式＊ 31
【第三篇】典型例题篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型直接利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再约分计算。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝30×2
＝60
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型可以先将算式变形成分数乘法算式，再根据乘法分配律简算或者直接使用除法左分配律进行简算。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
先利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再利用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】乘法分配律其一。
简便计算。
解析：
【典型例题2】乘法分配律其二。
简便计算。
÷－÷
解析：
÷－÷
＝×－×
＝（－）×
＝8×
＝11
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想。
【方法点拨】
先将带分数化成假分数，然后再提分数单位，最后再整体约分。
【典型例题1】整体约分其一。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝2
【典型例题2】整体约分其二。
简便计算。
（××）÷（××）
解析：
（××）÷（××）
＝××÷÷÷
＝×××××
＝（×）×（×）×（×）
＝2×2×2
＝8
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
=（+）÷（+）
=[65×（+）]÷（+）
=65
【对应练习3】
简便计算。
解析：
=（+）÷（+）
=29
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数。
【方法点拨】
将带分数化成假分数，但注意，在化假分数的过程中，先把分数部分写成算式的形式，再简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2019÷2019
解析：
2019÷2019
＝2019÷
＝2019×
＝
【对应练习1】
简便计算。
2017÷2017
解析：
2017÷2017
＝2017÷
＝2017×
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝1
【对应练习3】
简便计算。
1999÷1999＋
解析：
1999÷1999＋
＝1999÷＋
＝1999×＋
＝＋
＝＋
＝1
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式。
【方法点拨】
将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2020÷2020
解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
2020÷2020
=（2020+）÷2020
=2020÷2020+÷2020
=1+
=1
【对应练习1】
简便计算。
32÷32
解析：1
【对应练习2】
简便计算。
16÷8
解析：2
【对应练习3】
简便计算。
1÷（2006÷2006）
解析：
1÷（2006÷2006）
＝1÷[（2006＋）×]
＝1÷（2006×＋×）
＝1÷（1＋）
＝1÷
＝
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式。
【方法点拨】
先将带分数化成加法形式，再凑分数约分。
【典型例题】
简便计算。
60÷29
解析：
60÷29
=58+2）÷29
=58÷29+2÷29
=2+×
=2+
=2
【对应练习1】
简便计算。
84÷41
解析：=（82+2）÷41
=82÷41+2÷41
=2+×
=2+
=2
【对应练习2】
简便计算。
解析：=（51+3）÷17
=51÷17+3÷17
=3+×
=3+
=3
【对应练习3】
简便计算。
2010
解析：=（2006+4）÷1003
=2006÷1003+×
=2+
=2
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法。
【方法点拨】
1. 常见整数的拆解：
(1)AAAAA=A×11111；
(2)A0A0A0A=A×1010101；
(3)ababababab=ab×101010101；
(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；
(5)12345654321=111111×111111。
2. “大变小”思想：
即在变形时尽量将较大数变为较小数。
3. 变形约分法主要格式与步骤：
（1）通过拆数、凑数改变形式；
（2）有公因数时提取公因数；
（3）整套或部分约分；
（4）求出结果。
【典型例题1】先拆解，再约分。
简便计算。
解析：此题关键在于“12345654321=111111×111111”，即先变形再约分。
=
=
【典型例题2】先提取公因数，再约分。
简便计算。
解析：先对分子、分母变形，再提取公因数之后，再进行约分求解。
=
=
=
【典型例题3】大变小思想。
简便计算。
解析：此题关键在于“2014×2015=（2013+1）×2015。
=
=
=1
【对应练习1】
简便计算。
解析：
，将拆成，拆成，拆成，小括号里3个分数都可以约分成，再将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算。
＝（＋＋）÷
＝（＋＋）×
＝×＋×＋×
＝1＋1＋1
＝3
【对应练习2】
简便计算。
【答案】；1
【分析】（1）先把带分数换成假分数，再根据乘法分配律计算，最后把除法换成乘法计算即可。
（2）先把1987看成（1988－1），再根据乘法分配律计算即可。
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝1
【对应练习3】
简便计算。
【答案】1；
【分析】第一个小题需要仔细观察，大胆猜想，分子分母是比较复杂的式子，把其中一个向另一个转化；第二小题分子、分母是更加复杂的式子，但仔细观察却有规律，分子中（1×4×7）看做整体，后面两小段就可以分别写成它的2倍、3倍；分母也是相同的思路。整理完之后，再进一步寻求简算方法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式。＊
【方法点拨】
平方差公式：
【典型例题】
简便计算。
解析：利用平方差公式首先对分子进行分组重建，再进行整体约分。
=
=
=1
【对应练习1】
简便计算。
992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12 ．
【答案】5000
【详解】首先数字分组，从第一个数起两两为一组，一正一负，进一步利用平方差公式分解，化为2（99+97+95+…+3+1），进一步计算求得结果即可．
解：992﹣972+952﹣932+…+32﹣12 ，
=（992﹣972）+（952﹣932）+…+（32﹣12），
=（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+…+（3+1）（3﹣1），
=2（99+97+95+…+3+1），
=5000．
【对应练习2】
简便计算。
解析：
分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a －b ＝（a－b）（a＋b）进行巧算。
（5）
【对应练习3】
简便计算。
【答案】
【分析】观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循．分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算．
【详解】解：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100
分子=2
=
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（100+99）
=3+7+11+…+199
=（3+199）×50÷2
=101×50
所以，原式==
【点睛】在繁分数计算时，不要一味“傻算”、“硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算．
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式。＊
【方法点拨】
高斯公式：
1.求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2；
2.末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差；
3.项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【答案】
【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。
【详解】
＝
＝
＝
故答案为：
【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【答案】
【分析】根据高斯求和公式变形后，通过分子分母约分即可简算．
【详解】解：
【对应练习1】
计算： 。
【答案】
【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律：；同时很容易发现是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得，进而可得：。
【详解】原式＝
＝
＝
＝
【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
【对应练习2】
简便计算。
解析：
同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
解析：
观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、
＝
＝
＝
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法。＊
【方法点拨】
通项公式其一：；
通项公式其二：。
【典型例题1】通项公式一。
简便计算。
解析：
根据，把算式转化为
，再进行计算；
＝
＝
＝
＝
【对应练习】
简便计算。
【答案】
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。
【详解】
＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋
＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）
＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）
＝38＋（1－）
＝38＋
＝
【典型例题2】通项公式二。
简便计算。
解析：
根据及裂项消去法代入化简
【对应练习】
计算： ．
【答案】
【详解】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法。＊
【方法点拨】
错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下：
1. 设原式=m，作为①式；
2. 两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式；
3. 两式相减，错位抵消，求出结果。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
解析：设m=①
两边同时乘3得：
3m=②
②-①得：
2m=1-
即m=
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【典型例题2】问题二。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习】
简便计算。
+++++++
解析：7
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法。＊
【方法点拨】
估算主要运用极端思想进行求解，在小升初考试中，一般情况下，主要考虑借助端点数值、中间数值、特殊值等进行估算。
【典型例题】
的整数部分是______。
解析：
设，所以
【对应练习1】
已知，求x的整数部分是多少？
解析：
答：x的整数部分为90。
【对应练习2】
已知：，则S的整数部分是多少？.
解析：
设
即
不能确定A的整数部分，怎么办？先看看一个例子
则
聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”，那么让我们回到原题来看看吧！
即
∴A的整数部分为73。
【对应练习3】
数
解析：
这道题的难点集中在分母上，可以设A=
原式=
所以
即1<原式<1.9
所以数 的整数部分为1。
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算。＊
【方法点拨】
1. 在分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子分母中都含有四则运算或分数的的数，叫做繁分数
2. 在进行有关繁分数的计算时，先将“大分数线”变为除号，然后按照混合运算的计算法则解题。
【典型例题】
计算。
解析：
【对应练习1】
计算。
解析：
【对应练习2】
计算。
解析：2
【对应练习3】
计算。
解析；
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式。＊
【方法点拨】
1. 平方和公式：；
2. 立方和公式：。
【典型例题】
若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值.
【答案】22100
【详解】22＋42+62+82+…+502
=22×12+22×22+22×32＋…+22×252
=4×（l2+22+32＋…＋252）
=4×5525=22100.
【对应练习】
计算；512+522+532+…+992+1002= ．
【答案】295425
【分析】首先根据12+22+32+…+（n﹣1）2+n2=， 分别求出前100个数、前50个数的平方和各是多少；然后用前100个数的平方和减去前50个数的平方和，求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可．
【详解】512+522+532+…+992+1002
= ﹣
=338350﹣42925
=295425
故答案为295425。
人教版2024-2025学年三年级数学上册
第四单元《万以内的加减法（二）》4.1加法课后提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题
1．（23-24三年级上·河北衡水·期末）576＋248的和（ ）。
A．比1000大 B．比700小 C．比900小
2．（23-24三年级上·江西宜春·期末）一本书有398页，小明第一天看了87页，第二天看了105页，第三天应该从第（ ）页看起。
A．206 B．192 C．193
3．（23-24三年级上·河北石家庄·期末）妈妈带了558元，购买（ ）中的2件商品，可以满足满500减50的活动，使带的钱正好。
A．电磁炉339元，电压力锅269元 B．电风扇328元，烤箱348元
C．电饭锅209元，豆浆机291元
4．（23-24三年级上·浙江杭州·期中）“440＋○＝404＋□”，比较○和□的大小（ ）。
A．○＞□ B．○＜□ C．○＝□
5．（23-24三年级上·云南昭通·期末）三位数加四位数的和是（ ）。
A．三位数 B．四位数 C．四位数或五位数
6．（23-24三年级上·全国·单元测试）一捆电线长1千米，第一次用去285米，第二次用去432米，这捆电线比原来短了（ ）。
A．283米 B．617米 C．717米
7．（23-24三年级上·全国·单元测试）如图所示，竖式中圈起来的1表示（ ）。
A．1个百 B．1个十 C．1个一
8．（23-24三年级上·福建福州·期末）下面的竖式与右图的得数不一样的算式是（ ）。（每种图形表示一个不同的数字）
A． B． C．
9．（23-24三年级上·新疆吐鲁番·期末）下面哪个算式中的个位相加不需要进位（ ）。
A．671＋322 B．413＋587 C．229＋85
10．（22-23三年级上·湖南长沙·开学考试）一个数是三百多，另一个数是二百多，它们的和（ ）。
A．一定大于600 B．一定在500和700之间 C．一定在500和600之间
二、填空题
11．（23-24三年级上·广西百色·期中）82比( )多20，比355多24的数是( )。
12．（23-24三年级上·湖北黄石·期中）用4、2、6组成的三位数中，最大的三位数和最小的三位数和是( )。
13．（23-24三年级上·贵州铜仁·期末）23＋38＜ 0， 里最小能填( )； 00＜368＋236，里最大能填( )。
14．（22-23三年级上·河北衡水·期末）估算298＋403时，可以把298看作( )，把403看作( )，结果大约是( )。
15．（23-24三年级上·福建福州·期末）在方框里填上合适的数，使它是三位数加三位数的算式，并且各位上都不进位。
三、判断题
16．（20-21三年级上·陕西商洛·期中）笔算万以内数的加减法时，要把数位对齐，从高位算起。( )
17．（23-24三年级上·全国·期末）两个三位数相加，和一定比任何一个加数都大。( )
18．（23-24三年级上·湖北襄阳·期末）两个三位数相加，和不可能是四位数。( )
19．（21-22三年级上·山东济宁·期末）装苹果需要310个箱子，梨需要205个箱子，准备500个箱子够了。( )
20．（23-24三年级上·河北承德·期末）检查265+148=413是否正确，可以用148+265来验算． ( )
四、计算题
21．（24-25三年级上·全国·课后作业）列竖式计算。
497＋603＝ 405＋398＝ 357＋569＝ 421＋784＝
五、连线题
22．（23-24三年级上·全国·课后作业）连一连。
六、解答题
23．（23-24三年级上·全国·课后作业）一台微波炉售价为463元，一个电饭煲售价为325元，买一台微波炉和一个电饭煲一共要花多少元？
24．（23-24三年级上·全国·课后作业）星期天上午，小玲要去买书、买食品，然后回家。小玲可以怎样走？走哪条路最近？
25．学校倡导节约资源，矿水瓶不乱丢，这是某学校一周收集到的废瓶。三个年级一共收集了多少个废矿水瓶？
26．某电影院有500个座位，阳光希望小学一年级有328名学生，二年级有245名学生。如果这两个年级的学生同时来电影院看电影，电影院的座位够吗？
1．C
【分析】可直接计算出576＋248的得数，然后仔细看选项判断正误即可。
【详解】576＋248＝824
A．比1000大，824比1000小，不符合题意；
B．比700小，824比700大，不符合题意；
C．比900小，824比900小，符合题意。
故答案为：C
2．C
3．A
【分析】
分别计算出各个选项两件商品的价钱和，两件商品的价钱和等于558加50，这两件商品就符合要求，据此即可解答。
【详解】558＋50＝608（元）
A．339＋269＝608（元）
B．328＋348＝676（元）
C．209＋291＝500（元）
购买A中的2件商品，可以满足满500减50的活动，使带的钱正好。
故答案为：A
4．B
【分析】根据“一个加数＋另一个加数＝和”可知，如果两个加法算式的和相等，那么其中一个加数越大，另一个加数就越小。据此解题即可。
【详解】440＋○＝404＋□
440＞404
所以，○＜□。
故答案为：B
5．C
【分析】分别用最小的三位数100加上最小的四位数1000，最大的三位数999加上最大的四位数9999，进行计算即可；据此解答。
【详解】根据分析：100＋1000＝1100，999＋9999＝10998，所以三位数加四位数的和是四位数或五位数。
故答案为：C
6．C
【分析】第一次用去的电线长度加上第二次用去的电线长度，即可算出这捆电线比原来短了（285＋432）米。
【详解】285＋432＝717（米）
一捆电线长1千米，第一次用去285米，第二次用去432米，这捆电线比原来短了717米。
故答案为：C
7．A
【分析】笔算加法时，相同数位要对齐，从个位算起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。竖式中十位上的8与6的和是14，十位上的数字满十，向百位进一，所以竖式中圈起来的进位“1”表示1个百，据此解答即可。
【详解】竖式中圈起来的1表示1个百。
故答案为：A
8．C
【分析】要两个算式中每个数位上的数字相同，这两个算式的得数就一样，据此即可解答。
【详解】
的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○。
A．的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○， 和各个数位上的数字相同，所以两个算式的得数相同。
B．的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○，所以和各个数位上的数字相同，所以两个算式的得数相同。
C．的算式中，个位上是☆和，十位上是和○，百位上是△， 和的百位和十位上的数不相同，所以两算式的得数不相同。
故答案为：C
9．A
【分析】计算加法时，相同数位要对齐，从个位算起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一；据此将每个选项中两个加数的个位上的数相加，找出不需要进位的即可。
【详解】A．1＋2＝3，个位相加不需要进位；
B．3＋7＝10，个位相加满十，需要向十位进一；
C．9＋5＝14，个位相加满十，需要向十位进一；
所以，上面671＋322算式中的个位相加不需要进位。
故答案为：A
10．B
【分析】一个数是三百多，另一个数是二百多，可举例子说明它们的和在什么范围。
【详解】一个数是三百多，另一个数是二百多。
这两个数最小是301和201，和是：301＋201＝502；
这两个数最大是399和299，和是：399＋299＝698；
所以它们的和一定在500和700之间。
故答案为：B
11． 62 379
【分析】82比一个数多20，要求这个数是多少，用82减去20即可解答；
要求比355多24的数是多少，用355加24即可解答。
【详解】82－20＝62
355＋24＝379
所以，82比62多20，比355多24的数是379。
12．888
【分析】组成最大的三位数，可将指定的数字按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；组成的三位数最小，要把指定的数字按照从小到大的顺序从高位到低位排下来；再将两个数相加即可。
【详解】因为6＞4＞2，所以组成的最大三位数是642；因为2＜4＜6，所以组成的最小三位数是246。
最大的三位数和最小的三位数和是642＋246＝888。
13． 7 6
【分析】根据题意，先计算出不等式两边的结果，再根据不等号确定是大于还是小于这个结果，最后根据题目要求填上合适的数字即可。
【详解】23＋38＝61，所以 可以填7、8、9，最小能填7；
368＋236＝604， 可以填1、2、3、4、5、6，最大能填6。
14． 300 400 700
【分析】估算时，把数看作相近的整十、整百数，再计算。据此解答即可。
【详解】298≈300
403≈400
298＋403
≈300＋400
＝700
所以估算298＋403时，可以把298看作300，把403看作400，结果大约是700。
15．210、200、110、100
【分析】要求各位上不进位，则每个位上的数相加都小于10，据此解答即可。
【详解】个位：0＋9＝9，9＜10，个位上为0；
十位：1＋8＝9，9＜10，0＋8＝8，8＜10，十位上为1或0；
百位：2＋7＝9，9＜10，1＋7＝8，8＜10，百位上为2或1。
这个三位数可以是210、200、110、100。
16．×
【分析】整数加法计算时，相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。据此解答即可。
【详解】笔算万以内数的加减法时，要把数位对齐，从个位算起。
故答案为：×。
【点睛】本题考查整数加法的计算方法，需熟练掌握。
17．√
【分析】根据“加数＋加数＝和”及用举例的方法来判断此题的对错。
【详解】由题意分析得：
100＋100＝200，200＞100；
999＋999＝1998，1998＞999；
100＋999＝1099，1099＞999且1099＞100。
即，两个三位数相加，和一定比任何一个加数都大；此说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】根据题意，计算两个最大的三位数相加的和，即计算999＋999，即可验证。
【详解】999＋999＝1998
1998是四位数，即两个三位数相加，和可能是四位数。所以原题说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】根据加法的意义，先算出装苹果和装梨一共需要多少个箱子，再跟500个箱子进行比较大小，即可得出答案。
【详解】310＋205＝515（个）
515个＞500个，所以不够，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查学生对整数加法以及整数比较大小的掌握和运用。
20．√
【解析】略
21．1100；803；926；1205
【分析】三位数加三位数，把相同数位对齐，从个位加起，哪一位相加满十就向前一位进1；据此计算。
【详解】497＋603＝1100 405＋398＝803 357＋569＝926 421＋784＝1205
22．见详解
【分析】根据三位数与三位数的加法的计算法则，相同数位要对齐，把计算结果连起来即可。
【详解】连线如下：
【点睛】本题主要考查的是三位数和三位数以及三位数和两位数的加法的计算，计算过程要细心认真。
23．788元
【分析】由题意得，一台微波炉售价为463元，一个电饭煲售价为325元，求买一台微波炉和一个电饭煲一共要花多少元，直接把它们的价钱加起来即可。
【详解】463＋325＝788（元）
答：买一台微波炉和一个电饭煲一共要花788元。
24．小玲有两种走法，从家出发到邮局再到书店，然后回到邮局，再到超市，最后回家，这条路最近。
【分析】根据对途中路线的观察，找到最近的路线，将几段距离相加，找到最近的距离。
【详解】走法不唯一，走法一：小玲家→邮局→书店→超市→小玲家。走法二：小玲家→邮局→书店→邮局→超市→小玲家。因为75＋329＝404米＜440米，所以从书店回到邮局，再到超市，比从书店直接到超市近，因为410＋125＝535米＞510米，所以从超市直接回家，比从超市经过街心花园回家近。综上可知，最近路线：小玲家→邮局→书店→邮局→超市→小玲家。
答：小玲有两种走法，从家出发到邮局再到书店，然后回到邮局，再到超市，最后回家，这条路最近。
【点睛】本题主要考查的是三位数和三位数之间的不进位加法，计算过程一定要细心认真。
25．661个
【分析】由题意得，将三个年级收集的废瓶相加，即可求出三个年级一共收集了多少个废矿水瓶。据此解答。
【详解】196＋225＋240
＝421＋240
＝661（个）
答：三个年级一共收集了661个废矿水瓶。
26．不够
【分析】把两个年级的学生数相加求出总人数，把总人数与座位总数比较后判断座位够不够即可。
【详解】328＋245＝573（名）
573＞500
答：电影院的座位不够。
第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元分数除法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数除法基本简便计算以及复杂的巧算方法。
总体评价
讲解建议 本部分大多数考点涉及分数巧算与思维拓展内容，综合性极强，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算 4
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律 5
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算 6
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想 7
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数 9
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式 10
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式 11
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法 12
【典型例题1】先拆解，再约分 12
【典型例题2】先提取公因数，再约分 12
【典型例题3】大变小思想 13
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式＊ 14
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式＊ 15
【典型例题1】问题一 15
【典型例题2】问题二 15
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法＊ 17
【典型例题1】通项公式一 17
【典型例题2】通项公式二 17
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法＊ 18
【典型例题1】问题一 18
【典型例题2】问题二 19
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法＊ 20
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算＊ 21
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式＊ 22
【第三篇】典型例题篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型直接利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再约分计算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型可以先将算式变形成分数乘法算式，再根据乘法分配律简算或者直接使用除法左分配律进行简算。
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
先利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再利用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】乘法分配律其一。
简便计算。
【典型例题2】乘法分配律其二。
简便计算。
÷－÷
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想。
【方法点拨】
先将带分数化成假分数，然后再提分数单位，最后再整体约分。
【典型例题1】整体约分其一。
简便计算。
【典型例题2】整体约分其二。
简便计算。
（××）÷（××）
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数。
【方法点拨】
将带分数化成假分数，但注意，在化假分数的过程中，先把分数部分写成算式的形式，再简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2019÷2019
【对应练习1】
简便计算。
2017÷2017
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
1999÷1999＋
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式。
【方法点拨】
将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2020÷2020
【对应练习1】
简便计算。
32÷32
【对应练习2】
简便计算。
16÷8
【对应练习3】
简便计算。
1÷（2006÷2006）
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式。
【方法点拨】
先将带分数化成加法形式，再凑分数约分。
【典型例题】
简便计算。
60÷29
【对应练习1】
简便计算。
84÷41
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
2010
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法。
【方法点拨】
1. 常见整数的拆解：
(1)AAAAA=A×11111；
(2)A0A0A0A=A×1010101；
(3)ababababab=ab×101010101；
(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；
(5)12345654321=111111×111111。
2. “大变小”思想：
即在变形时尽量将较大数变为较小数。
3. 变形约分法主要格式与步骤：
（1）通过拆数、凑数改变形式；
（2）有公因数时提取公因数；
（3）整套或部分约分；
（4）求出结果。
【典型例题1】先拆解，再约分。
简便计算。
【典型例题2】先提取公因数，再约分。
简便计算。
【典型例题3】大变小思想。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式。＊
【方法点拨】
平方差公式：
【典型例题】
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12 ．
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式。＊
【方法点拨】
高斯公式：
1.求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2；
2.末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差；
3.项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【对应练习1】
计算： 。
【对应练习2】
简便计算。
【对应练习3】
简便计算。
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法。＊
【方法点拨】
通项公式其一：；
通项公式其二：。
【典型例题1】通项公式一。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
【典型例题2】通项公式二。
简便计算。
【对应练习】
计算： ．
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法。＊
【方法点拨】
错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下：
1. 设原式=m，作为①式；
2. 两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式；
3. 两式相减，错位抵消，求出结果。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【对应练习1】
简便计算。
【对应练习2】
简便计算。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【对应练习】
简便计算。
+++++++
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法。＊
【方法点拨】
估算主要运用极端思想进行求解，在小升初考试中，一般情况下，主要考虑借助端点数值、中间数值、特殊值等进行估算。
【典型例题】
的整数部分是______。
【对应练习1】
已知，求x的整数部分是多少？
【对应练习2】
已知：，则S的整数部分是多少？.
【对应练习3】
数
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算。＊
【方法点拨】
1. 在分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子分母中都含有四则运算或分数的的数，叫做繁分数
2. 在进行有关繁分数的计算时，先将“大分数线”变为除号，然后按照混合运算的计算法则解题。
【典型例题】
计算。
【对应练习1】
计算。
【对应练习2】
计算。
【对应练习3】
计算。
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式。＊
【方法点拨】
1. 平方和公式：；
2. 立方和公式：。
【典型例题】
若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值。
【对应练习】
计算；512+522+532+…+992+1002= 。
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2024-2025学年六年级数学上册专项提升
第三单元分数除法·简便计算篇【十五大考点】
【第一篇】专题解读篇
专题名称 第三单元分数除法·简便计算篇
专题内容 本专题包括分数除法基本简便计算以及复杂的巧算方法。
总体评价
讲解建议 本部分大多数考点涉及分数巧算与思维拓展内容，综合性极强，难度极大，建议根据学生实际掌握情况和总体水平，选择性讲解部分考点考题。
考点数量 十五个考点。
【第二篇】目录导航篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算 4
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律 5
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算 7
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想 9
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数 10
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式 12
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式 13
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法 15
【典型例题1】先拆解，再约分 15
【典型例题2】先提取公因数，再约分 16
【典型例题3】大变小思想 16
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式＊ 18
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式＊ 20
【典型例题1】问题一 21
【典型例题2】问题二 21
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法＊ 23
【典型例题1】通项公式一 23
【典型例题2】通项公式二 25
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法＊ 26
【典型例题1】问题一 26
【典型例题2】问题二 27
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法＊ 27
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算＊ 30
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式＊ 31
【第三篇】典型例题篇
【考点一】基本简便计算其一：分数连除与简算。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型直接利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再约分计算。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝30×2
＝60
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点二】基本简便计算其二：除法左分配律。
【方法点拨】
1. 除法运算性质。
a÷b÷c=a÷(b×c)
a÷(b÷c)=a÷b×c
(a+b)÷c=a÷c+b÷c
(a-b)÷c=a÷c-b÷c
2. 该题型可以先将算式变形成分数乘法算式，再根据乘法分配律简算或者直接使用除法左分配律进行简算。
【典型例题】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
【对应练习1】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【对应练习3】
简便计算。
解析：
【考点三】基本简便计算其三：乘法分配律逆运算。
【方法点拨】
先利用分数除法计算法则，将算式变形成分数乘法算式，再利用乘法分配律进行简算。
【典型例题1】乘法分配律其一。
简便计算。
解析：
【典型例题2】乘法分配律其二。
简便计算。
÷－÷
解析：
÷－÷
＝×－×
＝（－）×
＝8×
＝11
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
【考点四】复杂的分数除法巧算其一：整体约分思想。
【方法点拨】
先将带分数化成假分数，然后再提分数单位，最后再整体约分。
【典型例题1】整体约分其一。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝2
【典型例题2】整体约分其二。
简便计算。
（××）÷（××）
解析：
（××）÷（××）
＝××÷÷÷
＝×××××
＝（×）×（×）×（×）
＝2×2×2
＝8
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
=（+）÷（+）
=[65×（+）]÷（+）
=65
【对应练习3】
简便计算。
解析：
=（+）÷（+）
=29
【考点五】复杂的分数除法巧算其二：带分数化假分数。
【方法点拨】
将带分数化成假分数，但注意，在化假分数的过程中，先把分数部分写成算式的形式，再简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2019÷2019
解析：
2019÷2019
＝2019÷
＝2019×
＝
【对应练习1】
简便计算。
2017÷2017
解析：
2017÷2017
＝2017÷
＝2017×
＝
＝
【对应练习2】
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝1
【对应练习3】
简便计算。
1999÷1999＋
解析：
1999÷1999＋
＝1999÷＋
＝1999×＋
＝＋
＝＋
＝1
【考点六】复杂的分数除法巧算其三：带分数化加式。
【方法点拨】
将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
【典型例题】
简便计算。
2020÷2020
解析：将带分数化成加法形式，再按照除法的左分配律进行简便计算。
2020÷2020
=（2020+）÷2020
=2020÷2020+÷2020
=1+
=1
【对应练习1】
简便计算。
32÷32
解析：1
【对应练习2】
简便计算。
16÷8
解析：2
【对应练习3】
简便计算。
1÷（2006÷2006）
解析：
1÷（2006÷2006）
＝1÷[（2006＋）×]
＝1÷（2006×＋×）
＝1÷（1＋）
＝1÷
＝
【考点七】复杂的分数除法巧算其四：复杂的带分数化加式。
【方法点拨】
先将带分数化成加法形式，再凑分数约分。
【典型例题】
简便计算。
60÷29
解析：
60÷29
=58+2）÷29
=58÷29+2÷29
=2+×
=2+
=2
【对应练习1】
简便计算。
84÷41
解析：=（82+2）÷41
=82÷41+2÷41
=2+×
=2+
=2
【对应练习2】
简便计算。
解析：=（51+3）÷17
=51÷17+3÷17
=3+×
=3+
=3
【对应练习3】
简便计算。
2010
解析：=（2006+4）÷1003
=2006÷1003+×
=2+
=2
【考点八】分数巧算与思维拓展其一：变形约分法。
【方法点拨】
1. 常见整数的拆解：
(1)AAAAA=A×11111；
(2)A0A0A0A=A×1010101；
(3)ababababab=ab×101010101；
(4)abcabcabcabc=abc×1001001001；
(5)12345654321=111111×111111。
2. “大变小”思想：
即在变形时尽量将较大数变为较小数。
3. 变形约分法主要格式与步骤：
（1）通过拆数、凑数改变形式；
（2）有公因数时提取公因数；
（3）整套或部分约分；
（4）求出结果。
【典型例题1】先拆解，再约分。
简便计算。
解析：此题关键在于“12345654321=111111×111111”，即先变形再约分。
=
=
【典型例题2】先提取公因数，再约分。
简便计算。
解析：先对分子、分母变形，再提取公因数之后，再进行约分求解。
=
=
=
【典型例题3】大变小思想。
简便计算。
解析：此题关键在于“2014×2015=（2013+1）×2015。
=
=
=1
【对应练习1】
简便计算。
解析：
，将拆成，拆成，拆成，小括号里3个分数都可以约分成，再将除法改写成乘法，利用乘法分配律进行简算。
＝（＋＋）÷
＝（＋＋）×
＝×＋×＋×
＝1＋1＋1
＝3
【对应练习2】
简便计算。
【答案】；1
【分析】（1）先把带分数换成假分数，再根据乘法分配律计算，最后把除法换成乘法计算即可。
（2）先把1987看成（1988－1），再根据乘法分配律计算即可。
【详解】（1）
＝
＝
＝
＝
＝
（2）
＝
＝
＝
＝1
【对应练习3】
简便计算。
【答案】1；
【分析】第一个小题需要仔细观察，大胆猜想，分子分母是比较复杂的式子，把其中一个向另一个转化；第二小题分子、分母是更加复杂的式子，但仔细观察却有规律，分子中（1×4×7）看做整体，后面两小段就可以分别写成它的2倍、3倍；分母也是相同的思路。整理完之后，再进一步寻求简算方法。
【详解】
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【考点九】分数巧算与思维拓展其二：平方差公式。＊
【方法点拨】
平方差公式：
【典型例题】
简便计算。
解析：利用平方差公式首先对分子进行分组重建，再进行整体约分。
=
=
=1
【对应练习1】
简便计算。
992﹣972+952﹣932+…．+32﹣12 ．
【答案】5000
【详解】首先数字分组，从第一个数起两两为一组，一正一负，进一步利用平方差公式分解，化为2（99+97+95+…+3+1），进一步计算求得结果即可．
解：992﹣972+952﹣932+…+32﹣12 ，
=（992﹣972）+（952﹣932）+…+（32﹣12），
=（99+97）（99﹣97）+（95+93）（95﹣93）+…+（3+1）（3﹣1），
=2（99+97+95+…+3+1），
=5000．
【对应练习2】
简便计算。
解析：
分母可通过高斯求和公式进行巧算，分子可根据公式a －b ＝（a－b）（a＋b）进行巧算。
（5）
【对应练习3】
简便计算。
【答案】
【分析】观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循．分母的数列排列的规律是从1加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相减，可以根据减法性质将括号打开进行计算．
【详解】解：分母=（1+2+3+…+10）×2-10=100
分子=2
=
=（2-1）（2+1）+（4-3）（4+3）+…+（100-99）（100+99）
=3+7+11+…+199
=（3+199）×50÷2
=101×50
所以，原式==
【点睛】在繁分数计算时，不要一味“傻算”、“硬算”，可以先找规律，再运用学过的各种运算技巧进行计算．
【考点十】分数巧算与思维拓展其三：高斯公式。＊
【方法点拨】
高斯公式：
1.求和公式：总和=（首项+末项）×项数÷2；
2.末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差；
3.项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
【答案】
【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。
【详解】
＝
＝
＝
故答案为：
【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。
【典型例题2】问题二。
简便计算。
【答案】
【分析】根据高斯求和公式变形后，通过分子分母约分即可简算．
【详解】解：
【对应练习1】
计算： 。
【答案】
【分析】仔细审题，我们会发现，题干中分母的规律：；同时很容易发现是一个等差数列，利用等差数列求和公式我们可得，进而可得：。
【详解】原式＝
＝
＝
＝
【点睛】这道题目稍微有点难度，需要先归纳分母的通项，然后利用裂项进行解题，所以同学们应该在记住公式的同时做适当的综合应用。
【对应练习2】
简便计算。
解析：
同分母相加，分母不变，分子相加。分子相加过后发现是连续的自然数相加，是一组等差数列，等差数列的求和为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习3】
简便计算。
解析：
观察式子发现，越往后就是一组等差数列，等差数列的求和方式为（第一个数＋最后一个数）×项数÷2。将式子进行整理后发现规律。、、
＝
＝
＝
【考点十一】分数巧算与思维拓展其四：通项公式法。＊
【方法点拨】
通项公式其一：；
通项公式其二：。
【典型例题1】通项公式一。
简便计算。
解析：
根据，把算式转化为
，再进行计算；
＝
＝
＝
＝
【对应练习】
简便计算。
【答案】
【分析】分母是两个连续自然数的乘积，分子是两个连续自然数的平方和。把分数进行拆分与裂项。，＝2＋，＝2＋……，。＝1－，＝－，＝－……＝－，＝－。
【详解】
＝2＋＋2＋＋2＋＋……＋2＋＋2＋
＝2×19＋（＋＋＋……＋＋）
＝38＋（1－＋－＋－＋……－＋－）
＝38＋（1－）
＝38＋
＝
【典型例题2】通项公式二。
简便计算。
解析：
根据及裂项消去法代入化简
【对应练习】
计算： ．
【答案】
【详解】式子中每一项的分子与分母初看起来关系不大，但是如果将其中的分母根据平方差公式分别变为，，，……，，可以发现如果分母都加上1，那么恰好都是分子的4倍，所以可以先将原式乘4后进行计算，得出结果后除以4就得到原式的值了．
原式
【考点十二】分数巧算与思维拓展其五：错位相减法。＊
【方法点拨】
错位相减法是常见的数列求和方法，通常步骤如下：
1. 设原式=m，作为①式；
2. 两边同时乘或除以公比进行扩大或缩小，得到的式子作为②式；
3. 两式相减，错位抵消，求出结果。
【典型例题1】问题一。
简便计算。
解析：设m=①
两边同时乘3得：
3m=②
②-①得：
2m=1-
即m=
【对应练习1】
简便计算。
解析：
【对应练习2】
简便计算。
解析：
【典型例题2】问题二。
简便计算。
解析：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【对应练习】
简便计算。
+++++++
解析：7
【考点十三】分数巧算与思维拓展其六：估算法。＊
【方法点拨】
估算主要运用极端思想进行求解，在小升初考试中，一般情况下，主要考虑借助端点数值、中间数值、特殊值等进行估算。
【典型例题】
的整数部分是______。
解析：
设，所以
【对应练习1】
已知，求x的整数部分是多少？
解析：
答：x的整数部分为90。
【对应练习2】
已知：，则S的整数部分是多少？.
解析：
设
即
不能确定A的整数部分，怎么办？先看看一个例子
则
聪明的你从中会发现一个找“最小界线的新规律”，那么让我们回到原题来看看吧！
即
∴A的整数部分为73。
【对应练习3】
数
解析：
这道题的难点集中在分母上，可以设A=
原式=
所以
即1<原式<1.9
所以数 的整数部分为1。
【考点十四】分数巧算与思维拓展其七：繁分数运算。＊
【方法点拨】
1. 在分数形式中，分子或分母含有四则运算或分数，或分子分母中都含有四则运算或分数的的数，叫做繁分数
2. 在进行有关繁分数的计算时，先将“大分数线”变为除号，然后按照混合运算的计算法则解题。
【典型例题】
计算。
解析：
【对应练习1】
计算。
解析：
【对应练习2】
计算。
解析：2
【对应练习3】
计算。
解析；
【考点十五】分数巧算与思维拓展其八：平方和公式与立方和公式。＊
【方法点拨】
1. 平方和公式：；
2. 立方和公式：。
【典型例题】
若已知12+22+32+42+…+252=5525，试求22+42+62+82+…+502之值.
【答案】22100
【详解】22＋42+62+82+…+502
=22×12+22×22+22×32＋…+22×252
=4×（l2+22+32＋…＋252）
=4×5525=22100.
【对应练习】
计算；512+522+532+…+992+1002= ．
【答案】295425
【分析】首先根据12+22+32+…+（n﹣1）2+n2=， 分别求出前100个数、前50个数的平方和各是多少；然后用前100个数的平方和减去前50个数的平方和，求出算式512+522+532+…+992+1002的值是多少即可．
【详解】512+522+532+…+992+1002
= ﹣
=338350﹣42925
=295425
故答案为295425。
人教版2024-2025学年三年级数学上册
第四单元《万以内的加减法（二）》4.1加法课后提升同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________
一、选择题
1．（23-24三年级上·河北衡水·期末）576＋248的和（ ）。
A．比1000大 B．比700小 C．比900小
2．（23-24三年级上·江西宜春·期末）一本书有398页，小明第一天看了87页，第二天看了105页，第三天应该从第（ ）页看起。
A．206 B．192 C．193
3．（23-24三年级上·河北石家庄·期末）妈妈带了558元，购买（ ）中的2件商品，可以满足满500减50的活动，使带的钱正好。
A．电磁炉339元，电压力锅269元 B．电风扇328元，烤箱348元
C．电饭锅209元，豆浆机291元
4．（23-24三年级上·浙江杭州·期中）“440＋○＝404＋□”，比较○和□的大小（ ）。
A．○＞□ B．○＜□ C．○＝□
5．（23-24三年级上·云南昭通·期末）三位数加四位数的和是（ ）。
A．三位数 B．四位数 C．四位数或五位数
6．（23-24三年级上·全国·单元测试）一捆电线长1千米，第一次用去285米，第二次用去432米，这捆电线比原来短了（ ）。
A．283米 B．617米 C．717米
7．（23-24三年级上·全国·单元测试）如图所示，竖式中圈起来的1表示（ ）。
A．1个百 B．1个十 C．1个一
8．（23-24三年级上·福建福州·期末）下面的竖式与右图的得数不一样的算式是（ ）。（每种图形表示一个不同的数字）
A． B． C．
9．（23-24三年级上·新疆吐鲁番·期末）下面哪个算式中的个位相加不需要进位（ ）。
A．671＋322 B．413＋587 C．229＋85
10．（22-23三年级上·湖南长沙·开学考试）一个数是三百多，另一个数是二百多，它们的和（ ）。
A．一定大于600 B．一定在500和700之间 C．一定在500和600之间
二、填空题
11．（23-24三年级上·广西百色·期中）82比( )多20，比355多24的数是( )。
12．（23-24三年级上·湖北黄石·期中）用4、2、6组成的三位数中，最大的三位数和最小的三位数和是( )。
13．（23-24三年级上·贵州铜仁·期末）23＋38＜ 0， 里最小能填( )； 00＜368＋236，里最大能填( )。
14．（22-23三年级上·河北衡水·期末）估算298＋403时，可以把298看作( )，把403看作( )，结果大约是( )。
15．（23-24三年级上·福建福州·期末）在方框里填上合适的数，使它是三位数加三位数的算式，并且各位上都不进位。
三、判断题
16．（20-21三年级上·陕西商洛·期中）笔算万以内数的加减法时，要把数位对齐，从高位算起。( )
17．（23-24三年级上·全国·期末）两个三位数相加，和一定比任何一个加数都大。( )
18．（23-24三年级上·湖北襄阳·期末）两个三位数相加，和不可能是四位数。( )
19．（21-22三年级上·山东济宁·期末）装苹果需要310个箱子，梨需要205个箱子，准备500个箱子够了。( )
20．（23-24三年级上·河北承德·期末）检查265+148=413是否正确，可以用148+265来验算． ( )
四、计算题
21．（24-25三年级上·全国·课后作业）列竖式计算。
497＋603＝ 405＋398＝ 357＋569＝ 421＋784＝
五、连线题
22．（23-24三年级上·全国·课后作业）连一连。
六、解答题
23．（23-24三年级上·全国·课后作业）一台微波炉售价为463元，一个电饭煲售价为325元，买一台微波炉和一个电饭煲一共要花多少元？
24．（23-24三年级上·全国·课后作业）星期天上午，小玲要去买书、买食品，然后回家。小玲可以怎样走？走哪条路最近？
25．学校倡导节约资源，矿水瓶不乱丢，这是某学校一周收集到的废瓶。三个年级一共收集了多少个废矿水瓶？
26．某电影院有500个座位，阳光希望小学一年级有328名学生，二年级有245名学生。如果这两个年级的学生同时来电影院看电影，电影院的座位够吗？
1．C
【分析】可直接计算出576＋248的得数，然后仔细看选项判断正误即可。
【详解】576＋248＝824
A．比1000大，824比1000小，不符合题意；
B．比700小，824比700大，不符合题意；
C．比900小，824比900小，符合题意。
故答案为：C
2．C
3．A
【分析】
分别计算出各个选项两件商品的价钱和，两件商品的价钱和等于558加50，这两件商品就符合要求，据此即可解答。
【详解】558＋50＝608（元）
A．339＋269＝608（元）
B．328＋348＝676（元）
C．209＋291＝500（元）
购买A中的2件商品，可以满足满500减50的活动，使带的钱正好。
故答案为：A
4．B
【分析】根据“一个加数＋另一个加数＝和”可知，如果两个加法算式的和相等，那么其中一个加数越大，另一个加数就越小。据此解题即可。
【详解】440＋○＝404＋□
440＞404
所以，○＜□。
故答案为：B
5．C
【分析】分别用最小的三位数100加上最小的四位数1000，最大的三位数999加上最大的四位数9999，进行计算即可；据此解答。
【详解】根据分析：100＋1000＝1100，999＋9999＝10998，所以三位数加四位数的和是四位数或五位数。
故答案为：C
6．C
【分析】第一次用去的电线长度加上第二次用去的电线长度，即可算出这捆电线比原来短了（285＋432）米。
【详解】285＋432＝717（米）
一捆电线长1千米，第一次用去285米，第二次用去432米，这捆电线比原来短了717米。
故答案为：C
7．A
【分析】笔算加法时，相同数位要对齐，从个位算起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。竖式中十位上的8与6的和是14，十位上的数字满十，向百位进一，所以竖式中圈起来的进位“1”表示1个百，据此解答即可。
【详解】竖式中圈起来的1表示1个百。
故答案为：A
8．C
【分析】要两个算式中每个数位上的数字相同，这两个算式的得数就一样，据此即可解答。
【详解】
的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○。
A．的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○， 和各个数位上的数字相同，所以两个算式的得数相同。
B．的算式中，个位上是☆和，十位上是和△，百位上是○，所以和各个数位上的数字相同，所以两个算式的得数相同。
C．的算式中，个位上是☆和，十位上是和○，百位上是△， 和的百位和十位上的数不相同，所以两算式的得数不相同。
故答案为：C
9．A
【分析】计算加法时，相同数位要对齐，从个位算起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一；据此将每个选项中两个加数的个位上的数相加，找出不需要进位的即可。
【详解】A．1＋2＝3，个位相加不需要进位；
B．3＋7＝10，个位相加满十，需要向十位进一；
C．9＋5＝14，个位相加满十，需要向十位进一；
所以，上面671＋322算式中的个位相加不需要进位。
故答案为：A
10．B
【分析】一个数是三百多，另一个数是二百多，可举例子说明它们的和在什么范围。
【详解】一个数是三百多，另一个数是二百多。
这两个数最小是301和201，和是：301＋201＝502；
这两个数最大是399和299，和是：399＋299＝698；
所以它们的和一定在500和700之间。
故答案为：B
11． 62 379
【分析】82比一个数多20，要求这个数是多少，用82减去20即可解答；
要求比355多24的数是多少，用355加24即可解答。
【详解】82－20＝62
355＋24＝379
所以，82比62多20，比355多24的数是379。
12．888
【分析】组成最大的三位数，可将指定的数字按照从大到小的顺序从高位到低位排下来；组成的三位数最小，要把指定的数字按照从小到大的顺序从高位到低位排下来；再将两个数相加即可。
【详解】因为6＞4＞2，所以组成的最大三位数是642；因为2＜4＜6，所以组成的最小三位数是246。
最大的三位数和最小的三位数和是642＋246＝888。
13． 7 6
【分析】根据题意，先计算出不等式两边的结果，再根据不等号确定是大于还是小于这个结果，最后根据题目要求填上合适的数字即可。
【详解】23＋38＝61，所以 可以填7、8、9，最小能填7；
368＋236＝604， 可以填1、2、3、4、5、6，最大能填6。
14． 300 400 700
【分析】估算时，把数看作相近的整十、整百数，再计算。据此解答即可。
【详解】298≈300
403≈400
298＋403
≈300＋400
＝700
所以估算298＋403时，可以把298看作300，把403看作400，结果大约是700。
15．210、200、110、100
【分析】要求各位上不进位，则每个位上的数相加都小于10，据此解答即可。
【详解】个位：0＋9＝9，9＜10，个位上为0；
十位：1＋8＝9，9＜10，0＋8＝8，8＜10，十位上为1或0；
百位：2＋7＝9，9＜10，1＋7＝8，8＜10，百位上为2或1。
这个三位数可以是210、200、110、100。
16．×
【分析】整数加法计算时，相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一。据此解答即可。
【详解】笔算万以内数的加减法时，要把数位对齐，从个位算起。
故答案为：×。
【点睛】本题考查整数加法的计算方法，需熟练掌握。
17．√
【分析】根据“加数＋加数＝和”及用举例的方法来判断此题的对错。
【详解】由题意分析得：
100＋100＝200，200＞100；
999＋999＝1998，1998＞999；
100＋999＝1099，1099＞999且1099＞100。
即，两个三位数相加，和一定比任何一个加数都大；此说法正确。
故答案为：√
18．×
【分析】根据题意，计算两个最大的三位数相加的和，即计算999＋999，即可验证。
【详解】999＋999＝1998
1998是四位数，即两个三位数相加，和可能是四位数。所以原题说法错误。
故答案为：×
19．×
【分析】根据加法的意义，先算出装苹果和装梨一共需要多少个箱子，再跟500个箱子进行比较大小，即可得出答案。
【详解】310＋205＝515（个）
515个＞500个，所以不够，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】本题考查学生对整数加法以及整数比较大小的掌握和运用。
20．√
【解析】略
21．1100；803；926；1205
【分析】三位数加三位数，把相同数位对齐，从个位加起，哪一位相加满十就向前一位进1；据此计算。
【详解】497＋603＝1100 405＋398＝803 357＋569＝926 421＋784＝1205
22．见详解
【分析】根据三位数与三位数的加法的计算法则，相同数位要对齐，把计算结果连起来即可。
【详解】连线如下：
【点睛】本题主要考查的是三位数和三位数以及三位数和两位数的加法的计算，计算过程要细心认真。
23．788元
【分析】由题意得，一台微波炉售价为463元，一个电饭煲售价为325元，求买一台微波炉和一个电饭煲一共要花多少元，直接把它们的价钱加起来即可。
【详解】463＋325＝788（元）
答：买一台微波炉和一个电饭煲一共要花788元。
24．小玲有两种走法，从家出发到邮局再到书店，然后回到邮局，再到超市，最后回家，这条路最近。
【分析】根据对途中路线的观察，找到最近的路线，将几段距离相加，找到最近的距离。
【详解】走法不唯一，走法一：小玲家→邮局→书店→超市→小玲家。走法二：小玲家→邮局→书店→邮局→超市→小玲家。因为75＋329＝404米＜440米，所以从书店回到邮局，再到超市，比从书店直接到超市近，因为410＋125＝535米＞510米，所以从超市直接回家，比从超市经过街心花园回家近。综上可知，最近路线：小玲家→邮局→书店→邮局→超市→小玲家。
答：小玲有两种走法，从家出发到邮局再到书店，然后回到邮局，再到超市，最后回家，这条路最近。
【点睛】本题主要考查的是三位数和三位数之间的不进位加法，计算过程一定要细心认真。
25．661个
【分析】由题意得，将三个年级收集的废瓶相加，即可求出三个年级一共收集了多少个废矿水瓶。据此解答。
【详解】196＋225＋240
＝421＋240
＝661（个）
答：三个年级一共收集了661个废矿水瓶。
26．不够
【分析】把两个年级的学生数相加求出总人数，把总人数与座位总数比较后判断座位够不够即可。
【详解】328＋245＝573（名）
573＞500
答：电影院的座位不够。