2024~2025学年度陕西省咸阳市咸阳二中高二上学期第二次阶段性测试数学试卷（含解析）

2024~2025学年度高二上学期第二次阶段性测试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设随机变量X服从正态分布，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知，若，则实数的值为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 已知平面平面，．下列结论中正确的是（ ）
A. 若直线平面，则 B. 若平面平面，则
C. 若直线直线，则 D. 若平面直线，则
5. 直线与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A B.
C. D.
6. 如图，已知二面角的大小为，，，，且，，则（ ）
A B. C. D.
7. 数学活动小组由12名同学组成，现将12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题，且每组只研究一个课题，并要求每组选出一名组长，则不同的分配方案的种数为
A. B.
C. D.
8. 如图，三棱柱满足棱长都相等且平面，D是棱的中点，E是棱上的动点．设，随着x增大，平面BDE与平面ABC的夹角是（ ）
A. 先增大再减小 B. 减小
C. 增大 D. 先减小再增大
二、多选选择题：本题共3.小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知正方体棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ）
A. 平面
B. 直线与直线为异面直线
C. 直线与直线所成的角为
D. 平面
10. 以下四个命题叙述正确的是（ ）
A. 直线在轴上的截距是1
B. 直线和的交点为，且在直线上，则的值是
C. 设点是直线上的动点，为原点，则的最小值是
D. 直线，若，则或2
11. 如果函数对定义域内的任意实数，都有，则称函数为“F函数”．下列函数不是“F函数”的是（ ）
A B.
C. D.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 演讲比赛结束后，4名选手与1名指导教师站成一排合影留念要求指导教师不能站在两端，那么有______种不同的站法用数字作答
13. 三棱锥中，平面，则该三棱锥的外接球表面积等于______.
14. 过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别是，则点到直线距离的最大值为______.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知平面内两点，．
（1）求过点且与直线垂直的直线的方程．
（2）若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程．
16. 如图所示，平行六面体中，．
（1）用向量表示向量，并求；
（2）求．
17.在正四棱柱中，为中点，直线与平面交于点．
（1）证明：为的中点；
（2）若直线与平面所成的角为，求的长．
18. 已知椭圆的离心率为，上顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．
19. 如图1，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图2，连接，.
（1）求证：平面；
（2）若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
1.B
由题意随机变量X服从正态分布，即正态分布曲线关于对称,
因为，
故，
故选：B
2.B
因为点是点在坐标平面内的射影，则，则，
因此，
故选：B.
3.C
向量
若，
则，
．
故选：C．
4.D
A，若，，则或，故A错误；
B，若，，则或与相交，故B错误；
C，若，，，必须，利用面面垂直的性质定理可知，故C错误；
D，若，，即，利用面面垂直的判定定理知，故D正确；
故选：D.
5.B
易知直线的斜率为，直线的斜率为，
于是两直线的倾斜角同为锐角或者同为钝角，且斜率的绝对值一个大于1，一个小于1，
检验4个选项，知只有B选项满足题意．
故选：B.
6.A
因为二面角的大小为，，，，，，
所以与的夹角为，又因为，
所以
，
所以，即．
故选：A．
7.A
将这12名同学平均分成四组分别研究四个不同课题,且每组只研究一个课题
只需每个课题依次选三个人即可，共有中选法，最后选一名组长各有3种，
故不同的分配方案为：，
故选A.
8.D
以中点为坐标原点，分别为轴，并垂直向上作轴建立空间直角坐标系.
设所有棱长均为2，则，,，，设平面BDE法向量,
则，令有，
故.
又平面ABC的法向量，故平面BDE与底面ABC所成锐二面角的平面角的余弦值
，又，故在上单增， 上单减，
即随着x增大先变大后变小，所以随着x增大先变小后变大.
故选：D.
9.AD
对A，连接，因为，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
对BC，由A知，则两直线共面，则直线与直线不是异面直线，且直线与直线所成的角不是故BC错误；
对D，以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
则，
则，
则，
则，又因为平面，所以平面.
故选：AD.
10.BC
对于A，直线在轴上的截距是，A错误；
对于B，由解得，即，则，解得，B正确；
对于C，依题意，，C正确；
对于D，当时，直线重合，D错误.
故选：BC
11.ABD
令，则，
即函数在定义域内是单调递增函数，称函数为“F函数”．
对于A，，，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故A正确；
对于B，，，，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
不符合在定义域内是单调递增函数，则函数不是“F函数”．故B正确；
对于C，，，，
所以单调递增函数，则函数是“F函数”．故C错误；
对于D，，，，
当时，，单调递减，不符合在定义域内是单调递增函数，
则函数不是“F函数”．故D正确.
故选：ABD.
12.72
根据题意，分2步进行分析：
，指导教师不能站在两端，则指导教师有3个位置可选，有3种站法；
，其4名选手全排列，安排在其他4个位置，有种情况，
则有种不同的站法；
故答案为72．
13.
如图：
将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球和长方体的外接球是一致的.
设长方体外接球半径为，则：，所以
14.##
如图，设点，
因为，故点在以为直径的圆上，
因为圆心，半径为，
故圆的方程为：，
又圆，
将两式左右分别相减，整理得直线的方程为：，
所以直线经过定点，
所以到直线距离的最大值即.
15.（1）由题意得，则直线的斜率为，
所以过点且与直线垂直的直线的方程为：，
即．
（2）的中点坐标为，
由（1）可知线段垂线的斜率为，所以线段垂直平分线的方程为，
即．
因为是以为顶点的等腰直角三角形，
所以点直线上，
故设点为，
由可得：，
解得或，
所以点坐标为或，
则直线的方程为或．
16.（1），
则
，
所以.
（20由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
17.（1）如图，连接，，在正四棱柱中，
由与平行且相等得是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，是中点，
所以是的中点；
（2）以为轴建立空间直角坐标系，如图，设（），
则，，，，
，，
设平面的一个法向量是，则
，取，得，
因为直线与平面所成的角为，
所以，解得（负值舍去），
所以的长为．
18.（1）由离心率，则，
又上顶点，知，又，可知，，
∴椭圆E的方程为；
（2）设直线l：，设，，
则，整理得：，
，即，
∴，，
∴，
即，解得：或（舍去）
∴
19.（1）因为，分别为，的中点，所以.
因为，所以，所以.
又，，平面，
所以平面.
（2）因为，，，所以，，两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意有，，，，，，
则，，，.
设平面的法向量，
则有
令，得，，所以是平面的一个法向量.
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）假设存在，使二面角的正弦值为，
即使二面角的余弦值为.
由（2）得，，
所以，，.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量，
，
解得，令，得，
则是平面的一个法向量.
由图形可以看出二面角的夹角为锐角，且正弦值为，
故二面角的余弦值为，
则有，
即，解得，.
又因为，所以.
故存在，使二面角的正弦值为