2024~2025学年度陕西省咸阳市咸阳实验中学高二上学期第一次阶段性测试数学试卷（含解析）

2024~2025学年度咸阳实验中学高二上学期第一次阶段性测试
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将答题卡交回.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线与直线的夹角为（ ）
A. B. C. D.
2. 设等比数列的前n项和为，且，则公比q=
A. B. C. 2 D. 3
3. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且，点E为中点，若直线与所成的角为，则三棱锥的体积等于（ ）
A. B. C. 2 D.
4. 已知直线的斜率为,在轴上的截距为,则直线的方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 如图，在三棱锥中，设，若，，则（ ）
A. B. C. D.
6. 有一批灯泡寿命超过500小时的概率为0.9，寿命超过800小时的概率为0.8，在寿命超过，500小时的灯泡中寿命能超过800小时的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 若正实数满足，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知圆C：和两点，，若圆C上存在点P，使得，则b的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. 对两个变量与进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，则下列说法正确的是（ ）
A. 残差平方和越小模型，拟合的效果越好
B. 由样本数据利用最小二乘法得到的回归方程表示的直线必过样本点的中心
C. 用相关指数来刻画回归效果，越小，说明模型的拟合效果越好
D. 若变量x与y之间的相关系数，则变量x与y之间具有很强的线性相关性
10. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，平面，直线与平面所成角的正切值为，则下列说法正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角为 B. 异面直线与所成的角为
C. 直线与平面所成的角为 D. 点到平面的距离为
11. 如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（ ）
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与所成角的取值范围是
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则的最小值为______.
13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：
X 0 1 2
P
则随机变量Y的方差等于______；
14. 如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱，，都在平面的同侧.若顶点，，到平面的距离分别为，，，则该正方体的表面积为______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指数衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的数值标准是：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其值分成以下五组：，，，，，得到相应的频率分布直方图如图．
（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数；
（Ⅱ）现从样本中利用分层抽样的方法在，两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的值不在同一组的概率．
16. 已知函数．
（1）求曲线的斜率等于1的切线方程；
（2）求函数的极值．
17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，四边形为梯形，，，，，，，交于点，点在线段上，且.
（1）证明：平面.
（2）求二面角的正弦值.
18. 在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，且分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若直线与平面所成的角为，求平面与平面的夹角的余弦值．
19.如图①，在直角梯形中，，，.将沿折起，使平面平面，连，得如图②的几何体.
（1）求证：平面平面；
（2）若，二面角的平面角的正切值为，在棱上是否存在点使二面角的平面角的余弦值为，若存在，请求出的值，若不存在，说明理由.
1.B
设两直线倾斜角分别为，由，则，
由，则，即，
则两直线夹角为.
故选：B.
2.C
依题意，解得，故选C.
3.D
如图，
∵，点为的中点，
∴，，
∵，，两两垂直，，
∴平面，取BD的中点F，连接EF，
∴为直线与所成的角，且，
由题意可知，，设，连接AF，
则，
在中，由余弦定理，得，
即，解得，即
∴三棱锥的体积．
故选：．
4.B
直线在轴上的截距为，点在直线上，
又直线的斜率为,根据点斜式方程得即.
故选：B.
5.C
连接，
.
故选：C
6.A
记灯泡寿命超过500小时为事件，灯泡寿命超过800小时为事件，
则，所以.
故选：A
7.C
由题意若，则，所以，但这与矛盾，
所以不可能存在这种情况，
若，则，所以，即，但这与矛盾，
所以不可能存在这种情况，
所以只能，则则，所以，对比选项可知只有C正确.
故选：C.
8.A
因为圆C上存在点P，使得，
所以，以为直径的圆与圆有交点，
又以为直径的圆，圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为2，
所以，即，即.
故选：A
9.ABD
对于A，由残差的意义可得，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，A正确；
对于B，若回归方程为，则，即回归方程表示的直线必过样本点的中心，B正确；
对于C，相关指数越大，说明残差的平方和越小，即模型的拟合效果越好，C正确；
对于D，变量x与y之间的相关系数，故相关系数较为接近，所以变量x与y之间具有很强的线性相关性.D正确；
故选：ABD.
10.ABD
A选项，平面，直线与平面所成角, ，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则，设直线与所成的角大小为，则，
故，A正确；
B选项，设直线与所成的角大小为，则，
故，B正确；
C选项，
可取为平面的法向量，
设直线与平面所成的角大小为，
则，
故直线与平面所成的角为，C正确；

因为四边形为正方形，所以⊥，
又平面，平面，故，
因为，平面，
所以⊥平面，故可取为平面的法向量，
故点到面的距离，D正确.
故选：ABD
11.ABD
在选项A中，∵，，，
且平面，
∴平面，平面，
∴，
同理，，
∵，且平面，
∴直线平面，故A正确；
在选项B中，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵点在线段上运动，
∴到平面的距离为定值，又的面积是定值，
∴三棱锥的体积为定值，故B正确；
在选项C中，
∵，
∴异面直线与所成角为直线与直线的夹角.
易知为等边三角形，
当为的中点时，；
当与点或重合时，直线与直线的夹角为.
故异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；
在选项D中，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设正方体的棱长为1，
则，，，，
所以，.
由A选项正确：可知是平面的一个法向量，
∴直线与平面所成角的正弦值为：，
∴当时，直线与平面所成角的正弦值的最大值为，故D正确.
故选：ABD
12.
解：曲线表示的是以点为圆心，以为半径的圆，
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，设点在直线上的射影点为，
则，
当且仅当、、三点共线且点为线段与圆的交点时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
13.##
因为，所以，
，，
所以.
故答案为：.
14.
设正方体的棱长为，取空间的一个基底，设是平面的一个方向向上的单位法向量.
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使得.
由题意，在方向上的投影向量的长度分别为，，.
于，即，即，即.
同理，，，
从而，由，得，
其中
，
即，解得，所以正方体的表面积.
故答案为：
15.解：（Ⅰ）由题设条件可得，解得，
又前三组频率之和为，
前四组的频率之和为，
故样本数据的分位数在内，
设分位数为x，则有，解得，
即该社区居民身体质量指数的样本数据的分位数为26.5．
（Ⅱ）由频率分布直方图可知的频数为，的频数为，
可得两组人数比值为1：2，按照分层抽样抽取6人，则在，分别抽取2人和4人，记这组两个样本编号为a，b，这组编号为1，2，3，4，
故从6人随机抽取2人所有可能样本构成的样本空间为
，
共15种组合；
设事件A为“抽取到两人的值不在同一组”，
则，共8种，故，
即从这6个人中随机抽取2人，抽取到2人的值不在同一组的概率为．
16.（1）设切点为，因为，
所以，，，
所以切线方程为，即．
（2）的定义域为．
令即，，
令，得，
令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以存在极小值， 无极大值．
17.（1）平面平面，且两平面交于，又，
平面.
在中，，，.
且，是等腰直角三角形，
，.
，，
又，为等腰直角三角形，.
，，
又，所以，平面,平面，
平面.
（2）由（1）得平面，且，所以建立如图所示空间直角坐标系.
可得，，，
即，.
设平面法向量为，则，
解得.
平面的法向量为.
设二面角为，所以，
则.
18.（1）法一：取中点，连接，
为的中点，，
又，，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
法二：取中点，连接，
为的中点，，
平面平面，平面，
又，，
四边形为平行四边形，，
平面平面，平面
又，平面，平面平面，
又平面，平面.
（2）因为平面平面，平面平面平面，，
平面，
取中点，连接，则平面，
所以是直线与平面所成的角，即，
又，，
又，
又，则，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图，
，
，
设平面的一个法向量，，
则，取，则，
易得平面一个法向量可取，
设平面与平面所成的夹角为，
，
故平面与平面所成的夹角的余弦为.
19.（1）∵平面平面，平面平面，
又，∴平面，∴，又，
∴平面，平面，∴平面平面.
（2）由（1）知平面，，.
∴为二面角的平面角，
又平面，∴，，∴，.
在①，∴，令，则，
解得.即，.在①中作，垂足.
①
则可得，.
∵平面平面，∴平面，
过作，以为原点，，，分别为轴轴轴建立如图直角坐标系，则
②
，，，.
设，.
设平面的法向量为，则
，∴，取，，即，
设平面的法向量为，则
取，，.即.
.解得（舍去），或.
∴.