陕西省咸阳市乾县第一中学高二上期第二次数学周考试题（含解析）

乾县第一中学高二上期第二次数学周考试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 已知复数满足，则（ ）
A. 1 B. 2 C. D.
2. 在四面体中，为棱的中点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为2：1，货车和客车中途停车修理的概率分别为0.02，0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 已知点，空间内一平面过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
5. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 自1972年慕尼黑奥运会将射箭运动重新列入奥运会项目以来，这项运动逐渐受到越来越多年轻人的喜爱．已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知两点，若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知函数在R上是单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9. 在平行六面体中，，则（ ）
A. 为棱的中点 B. 为棱上更靠近的三等分点
C. D. 平面
10. 已知直线，则（ ）
A. 若，则的一个方向向量为 B. 若，则或
C. 若，则 D. 若不经过第二象限，则
11. 给出下列命题，其中不正确的命题是（ ）
A. 向量，，共面，即它们所在的直线共面
B. 若是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底
C. 已知向量，，若，则为钝角.
D. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于130°，则直线与平面所成的角为50°
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡的横线上.
12. 如图，平行六面体的底面是矩形，，，，且，则线段的长为_______________.
13. 如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为______．
14. 若函数有个不同的零点,则实数的取值范围为______.
四、解答题（共5小题，共77分）．
15. 已知，，，，，
（1）若、共线，求实数；
（2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围．
16. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动.
（1）求线段AB的中点P的轨迹C2的方程：
（2）设圆C1与曲线C2的交点为M、N，求线段MN的长．
17. 已知圆的方程为．
（1）若直线：，试判断直线与圆的位置关系；
（2）点在圆上，且，在圆上任取不重合于点的两点，，若直线和的斜率存在且互为相反数．试问：直线的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
18. 如图，直角梯形 ACDE 中， 、M 分别为AC、ED 边的中点，将△ABE 沿BE 边折起到△A'BE 的位置，N 为边A'C 的中点．
（1）证明：MN∥平面A'BE；
（2）当三棱锥的体积为，且二面角为锐二面角时，求平面 NBM 与平面BEDC 夹角的正切值．
19. 设函数，且．
（1）求函数的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的取值范围．
1.C
设，则，
由，则，
化简得，
则，解得，
则，
所以.
故选：C.
2.A
,
故选:A
3.B
设表示汽车中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为.
故选：B.
4.A
由题意可得：，平面的法向量为，
所以点到平面的距离为.
故选：A.
5.B
方程表示椭圆，则，解得.
故选：B
6.D
记“甲射中10环”为事件，“乙射中10环”为事件，，
甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为：
.
故选：D．
7.A
由直线，
变形可得，由，解得，
可得直线恒过定点，
则，
又直线的斜率为，
若直线与线段有公共点，则直线斜率的取值范围为.
故选：A.
8.B
由题意知，，
因为在R上是单调函数，且的图象开口向下，
所以在R上恒成立，
故，
即．
故选：B
9.ABD
因为，
所以，则为棱的中点，A正确.
因为，所以，则为棱上更靠近的三等分点，B正确.
因为为棱的中点，为棱上更靠近的三等分点，易得，C错误.
因为平面平面平面，所以平面，D正确.
故选：ABD.
10.ACD
对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正
确；
对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，
直线的斜率，则有，即，解得或，
当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；
对C，若，当时，显然不合题意，则，则，
即，解得，故C正确；
对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；
故选：ACD.
11.ACD
对于A，向量量，，可以通过平移后共面，但是它们的所在直线不一定是共面直线，故A不正确；
对于B，假设不是空间向量的一个基底，
所以，
因为是空间向量的一个基底，
所以可得，显然该方程组没有实数解，因此假设不成立，
所以也是空间的一个基底，故B正确；
对于C，当时，向量，，
，
此时所成角为，则不为钝角，故C不正确；
对于D，因为直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，
所以直线与平面所成的角等于，故D不正确.
故选：ACD.
12.
依题意，，得，
由底面为矩形，，，得，显然，
又
，
因此，所以.
故答案为：
13.
建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
设平面的一个法向量为，
,
则，
令，则.
设点到平面的距离为，
则，
即点到平面的距离为.
故答案为：.
14.
由已知,
当时,函数无解,不符合题意;
当时,得,得或,
即函数的增区间为,减区间为,又,
所以函数有且仅有个零点,与题意不符;
当时,得或,得,
即函数的增区间为,减区间为,又,
要使函数有个不同的零点,则需,
即,解得.
故答案为:.
15.(1)解：因为，，，，，
则，可得，，解得，
所以，，所以，，
因为，所以，解得．
(2解；由（1）知，，，
因为向量与所成角为锐角，
所以，解得，
又当时，，
所以实数的范围为．
16.(1)设点P的坐标为，点A的坐标为，
由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以， ，
于是有 ①，
因为点A在圆上运动，即： ②，
把①代入②，得，整理，得，
所以点P的轨迹的方程为．
(2)将圆与圆的方程相减得： ，
由圆的圆心为，半径为1，
且到直线的距离，
则.
17.(1)解：圆：的圆心为，半径，
圆心到直线距离，
直线与圆相交；
(2)解：由点在圆上，即，解得，
又，所以，即，
设直线的斜率为，则直线的方程为，
代入圆，可得，
是方程的一个根，
，，则．
由题意，，则直线的方程为，
，，
，
直线的斜率是定值．
18.(1)取的中点，的中点，由题意知，，
直角梯形中，四边形为正方形，
为的中点，
，
四边形为平行四边形，，
平面，不在面内，
平面.
(2)连接，则，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
，面，
平面，
，
，，
，为等边三角形，
则，
设为平面的法向量，为平面的法向量，
，令
，令，
设平面与平面的夹角为，由题可知为锐角，
，
平面与平面的夹角的正切值为.
19.(1)，，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，时，，则在上单调递减；
时，，则在上单调递增．
(2)方法一：在恒成立，则
当时，，显然成立，符合题意；
当时，得恒成立，即
记，，，
构造函数，，则，故为增函数，则.
故对任意恒成立，则在递减，在递增，所以
∴．
方法二：在上恒成立，即．
记，，，
当时，在单增，在单减，则，得，舍：
当时，在单减，在单增，在单减，，，
得；
当时，在单减，成立；
当时，在单减，在单增，在单减，，，而，显然成立．
综上所述，．