6.2.1向量基本定理 课件（共51张PPT）——高中数学人教B版（2019）必修第二册

(共51张PPT)
人教B版（2019）必修第二册
6.2.1向量基本定理
学习目标
Learning Objectives
探索新知
Explore new knowledge
题型突破
Breakthrough in question types
当堂检测
Classroom test
学习目录
parent conference directory
壹
叁
贰
肆
学习目标
part 01
学习目标
01
理解两向量共线的含义，并能用共线向量基本定理解决简单的几何问题
01
知道平面向量基本定理的含义和基底的含义
02
会用平面向量基本定理，用基底表示向量
03
探索新知
part 02
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 共线向量基本定理
思考：通过前面的学习，我们知道可用结论“当存在实数 λ ，使得 b = λa 时，b // a”判断两向量平行.对这个结论，思考下面的问题.
a0， b0
问题1：若实数λ不存在，b // a在什么条件下成立？
问题2：若实数λ存在且唯一，a // b在什么条件下成立？
a0
问题3：若实数λ存在且不唯一，a // b在什么条件下成立？
a0且 b0
探索新知
02
例1 如图所示，判断向量 ，，，，是否可以写成数与向量 相乘.如果可以，写出表达式；如果不可以，说明理由.
解：因为 与 的方向相同，而且 || = 2||，所以 = 2 ；
因为 与 的方向相同，而且 || = ||，所以 = ；
a
b
c
d
e
因为 与 的方向相反，而且 || = ||，所以 = ；
因为 与 不平行，所以 不能写成数与向量 相乘.
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 共线向量基本定理
共线向量基本定理：如果 且 ，则存在唯一的实数 λ，使得 λ；
(1) λ 时，通常称为 能用 表示；
(2) 其中的“唯一”指的是，如果还有
因为：由 λ可知()，如果，则，与已知矛盾，所以，即.
(3)三个点 A，B，C 共线的充要条件是：存在实数 λ，使得 .
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 共线向量基本定理
对于共线向量基本定理的理解，要注意以下三点：
(1)定理的前提：给定一个非零向量 ；
(2)定理的结论：所有与非零向量 平行的向量 均可以表示成
λ的形式，且表示方法唯一；
(3)定理的本质：构建了向量与实数λ之间的一一对应关系．
探索新知
02
尝试与发现
知识点1 共线向量基本定理
思考：如果 = 0 且 ∥，什么时候存在实数 λ，使得 = λ？这样的 λ 有多少个？什么时候不存在这样的实数 λ？
只有 = 0 时才存在实数 λ，使得 = λ；而这样的 λ，可以是任意实数.
当 ≠0，不存在这样的.
探索新知
02
情境与问题
知识点2 平面向量基本定理
共线向量基本定理的实质是，所有共线的向量中，只要指定一个非零向量，则其他向量都可以用这个向量表示出来、那么，这个结论是否可以推广到所有共面的向量呢？
如图所示，在平行四边形 ABCD 中，
如果 ，，则 ，；
由此向量 和 都写成了向量 ， 的线性运算.
a
b
A
B
C
D
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 平面向量基本定理
如图所示，已知 ，，，，， 的始点相同，分别将 ，，， 写成向量 ， 的线性运算.
a
b
c
d
e
f
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果平面内两个向量 与 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对 (x，y)，使得 = x + y.
b
a
c
c
b
a
将向量，的始点平移到一起，假设，，
将向量的始点也平移到O点，以OA，OB所在的直线为相邻的边，以OC为对角线作平行四边形ODCE．
探索新知
02
尝试与发现
知识点2 平面向量基本定理
平面向量基本定理：如果平面内两个向量 与 不共线，则对该平面内任意一个向量 ，存在唯一的实数对 (x，y)，使得 = x + y.
b
a
c
c
b
a
因为与不共线，所以且.又因为∥，因此由共线向量基本定理可得，存在唯一的x，使得；同理，存在唯一的y，使得.又由向量加法的平行四边形法则可知，从而 = x + y.
探索新知
02
例2 如图所示，用 与 表示 .
解：如图， = 2+ ， = – ， = – – 2，
= – + ， = – .
a
d
b
f
c
探索新知
02
探索与发现
知识点2 平面向量基本定理
平面向量基本定理中，当与不共线时，“唯一的实数对”指的是用与表示时，表达式唯一，即如果 x + y u + v，那么x＝u且y＝v．
这是因为由x + y u + v可知(x－u)(v－y)，
如果x－u≠0，则．
从而可知与共线，与已知矛盾，因此x－u＝0即x＝u.
同理可得y＝v ．
探索新知
02
探索与发现
知识点2 平面向量基本定理
特别地，当与不共线时，因为，所以对于x + y来说，当x≠0或y≠0时，必定有x + y≠．
也就是说，当与不共线时，
x + y≠0的充要条件是x与y中至少有一个不为0．
探索新知
02
探索与发现
知识点2 平面向量基本定理
基底的概念:
平面内不共线的两个向量 与 组成的集合{，}常称为该平面上向量的一组基底，此时如果 = x + y，则称 x + y 为 在基底{，}下的分解式．
平面向量基本定理是说，在给定的平面内，当向量与 不共线时，任意一个向量 ，都可以写成与的线性运算（简称为用与表示向量 ），而且表达式唯一.
探索新知
02
探索与发现
知识点2 平面向量基本定理
思考1 作为一组基底的条件是什么？零向量可以作为基底吗？
一组不共线的向量可以作为基底.
零向量与任意向量共线，因此零向量不能作为基底.
思考2 一组平面向量的基底有多少对？
无数多对，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.
探索新知
02
探索与发现
知识点2 平面向量基本定理
思考3 若基底选取不同，则表示同一向量的实数λ1，λ2是否相同？
可以不同，也可以相同
O
C
F
M
N
E
以 为基底
以 为基底
以 为基底
探索新知
02
例3 已知 与 不共线，而且 – x 与 3 + 2 共线，求 x 的值.
解：因为 与 不共线，所以 3 + 2≠ ，
即 – x= 3t + 2t，从而 ，解得 x .
因此由已知可得存在实数 t 使得 – x = t (3 + 2)，
探索新知
02
例4 如图所示，已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点. 求证：平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是，存在实数 t，使得
证明：先证必要性
设点P在直线l上，则由共线向量基本定理知，
A
B
l
P
O
存在实数t，使 .
因此 ()，
所以 .
探索新知
02
例4 如图所示，已知平面上点 O 是直线 l 外一点，A，B 是直线 l 上给定的两点. 求证：平面内任意一点 P 在直线 l 上的充要条件是，存在实数 t，使得
证明：再证充分性
A
B
l
P
O
如果
则 ，
从而 ，即，
因此P，A，B三点共线.
如果令t，则可得点 P为线段 AB 的中点的充要条件为
.
与前面得到的结论是一致的.
探索新知
02
例5 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 ，，试用基底 分别表示向量：（1）； （2） .
证明：(1)如图所示，由已知有 ，
从而 ，
，
.
O
A
B
C
D
E
F
a
b
探索新知
02
例5 在平行四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，E 是线段 OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点 F. 若 ，，试用基底 分别表示向量：（1）； （2） .
证明：(2)因为△DEF∽△BEA，而且
，于是
O
A
B
C
D
E
F
a
b
题型突破
part 03
题型突破
03
题型1 向量共线问题
例1. 已知非零向量e1,e2不共线,欲使ke1+e2和 e1+ke2共线,试确定实数k的值.
题型突破
03
解题通法
利用向量共线求参数的方法
判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a=λb(b≠0).而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线,必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值.
题型1 向量共线问题
题型突破
03
题型2 对基底的理解
例2.　设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：
① 与；② 与；③ 与；④ 与.其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　)
A．①② B．①③
C．①④ D．③④
A
B
C
D
O
不共线
共线
不共线
共线
B
题型突破
03
题型3 用基底表示向量
例3.　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a， ＝b，给出下列结论：
① ＝－a－b； ② ＝a＋ b；
③ ＝－ a＋ b； ④ ＝ a.
其中正确的结论的序号为________．
题型突破
03
例3.　(1)D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且＝a， ＝b，给出下列结论：
① ＝－a－b； ② ＝a＋ b；
③ ＝－ a＋ b； ④ ＝ a.
其中正确的结论的序号为___________．
＝ ＝－a，④不正确．
＝＋＝－b＋＝－b－a，①正确；
√
＝＋＝a＋b，②正确；
√
＝＋＝－b－a，＝＋＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；
√
×
① ② ③
题型3 用基底表示向量
题型突破
03
(2)如图所示， ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a， ＝b，试用a，b表示向量，.
＝ ＋ ＋
＝－ ＋ ＋
＝－ ＋ ＋ ＝a－b.
＝ ＋ ＋
＝－＋ ＋ ＝b－ a.
题型3 用基底表示向量
题型突破
03
变式1 如图所示， ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a， ＝b，试用a，b表示向量.
由平面几何的知识可知＝ ，
故＝ ＋ ＝ ＋
＝a＋
＝a＋ b－a ＝ a＋ b.
题型3 用基底表示向量
题型突破
03
题型3 用基底表示向量
变式2 如图所示， ABCD中，点E，F分别为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点G，若＝a，＝b，试用a，b表示向量，.
＝
＝ 2
＝ 2
＝ 2
＝
＝ 2
＝ 2
a
b
＝ 2
题型突破
03
解题通法
用基底表示向量的两个“模型”
题型3 用基底表示向量
题型突破
03
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
例4.　如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b，点M是AB上靠近B的一个三等分点，点N是OA上靠近A的一个四等分点．若OM与BN相交于点P，求.
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (－)＝ a＋ b.
因为与共线，故可设＝t ＝ a＋ b.
又与共线，可设＝s，
＝＋s＝ ＋s(－)＝ (1－s)a＋sb，
所以＝ a＋ b.
所以
解得
(1－s) ＝
s ＝
题型突破
03
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
变式1 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b，点M是AB上靠近A的一个三等分点，点N为OA的中点．若OM与BN相交于点P，求BP：PN的值.
＝ － ＝ a－b，
＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ (－)＝ ＋ ＝ a＋ b.
因为O，P，M和B，P，N分别共线，
所以存在实数λ，μ使＝λ ＝ a－λb，
＝μ ＝ a＋ b，
题型突破
03
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
变式1 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b，点M是AB上靠近A的一个三等分点，点N为OA的中点．若OM与BN相交于点P，求BP：PN的值.
所以＝ ，即BP∶PN＝4∶1.
所以＝＋＝－＝a＋ b，
又＝b，所以解得
题型突破
03
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
变式2 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b， ＝ ，点N是OA的中点．若OM与BN相交于点P，试用a，b表示 .
＝ －＝ －＝ b－a，
＝－＝ － ＝ a－b.
因为A，P，M三点共线，所以存在实数λ使得＝λ＝ b－λa，
所以＝ ＋ ＝(1－λ)a＋ b.
题型突破
03
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
变式2 如图所示，在△OAB中， ＝a， ＝b， ＝ ，点N是OA的中点．若OM与BN相交于点P，试用a，b表示 .
因为B，P，N三点共线，所以存在实数μ使得＝μ ＝ a－μb，
所以＝＋＝ a＋(1－μ)b.
即 解得
所以＝ a＋b.
题型突破
03
解题通法
任意一向量基底表示的唯一性的应用
平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合λ1e1＋λ2e2.在具体求λ1，λ2时有两种方法：
(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理．
(2)利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．
题型4 平面向量基本定理的唯一性及其应用
当堂检测
part 04
当堂检测
04
B
当堂检测
04
A
当堂检测
04
B
当堂检测
04
C
当堂检测
04
当堂检测
04
当堂检测
04
当堂检测
04
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