等腰三角形分类讨论 教案 人教版（2024）数学八年级上册
文档属性
| 名称 | 等腰三角形分类讨论 教案 人教版（2024）数学八年级上册 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 50.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-14 08:21:30 | ||
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文档简介
等腰三角形的分类讨论教学设计
一、教学目标
1. 学生能够深入理解等腰三角形的概念、性质，熟练掌握等腰三角形性质的证明方法。
2. 学生能准确进行等腰三角形相关的分类讨论，在不同情境下正确求出角的度数和边的长度。
3. 通过探究活动，培养学生的观察、分析、推理和归纳能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 让学生在学习过程中体验数学的严谨性和分类讨论思想的重要性，激发学生对数学的学习兴趣。
二、教学重难点
1.重点
等腰三角形的性质及其证明。
等腰三角形分类讨论的方法和应用。
2.难点
等腰三角形“三线合一”性质的理解和应用。
如何引导学生全面、准确地进行分类讨论，避免漏解。
三、教学方法
1. 讲授法：清晰地讲解等腰三角形的概念、性质和分类讨论的要点。
2. 实验探究法：让学生通过折叠等腰三角形纸片等实验活动，直观地发现等腰三角形的性质。
3. 小组合作法：组织学生进行小组讨论，共同解决分类讨论中的问题，培养合作交流能力。
4. 多媒体辅助教学法：利用几何画板或动态演示，展示等腰三角形性质的变化过程，增强直观性。
四、教学过程
（一）引入新课
1. 展示多种等腰三角形的实物模型，如等腰三角形的建筑框架模型、等腰三角形的饰品等，让学生观察这些实物的形状特征。
2. 播放一段关于等腰三角形在生活中广泛应用的视频，如桥梁结构中的等腰三角形、建筑设计中的等腰三角形元素等，引导学生思考为什么等腰三角形在这些场景中被频繁使用。
3. 让学生列举出生活中他们所见到的等腰三角形实例，然后提问学生：“你们观察到这些等腰三角形都有哪些共同的特点呢？”从而引入等腰三角形的概念。
（二）概念讲解
1. 详细阐述等腰三角形的定义：“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。这两条相等的边叫做腰，另一边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。”通过在黑板上画出不同形状的等腰三角形，标注出腰、底、顶角、底角，让学生有更直观的认识。
2. 让学生自己动手画出几个不同形状的等腰三角形，并标上各部分的名称，同桌之间相互检查、纠正。
3. 设计一些简单的判断题，如“有一个角是 60°的三角形是等腰三角形”“三条边都相等的三角形一定是等腰三角形”等，让学生通过判断来加深对等腰三角形概念的理解。
（三）性质探索
1. 给每位学生发放一张等腰三角形的纸片，让学生按照以下步骤进行操作：
将等腰三角形纸片对折，使两腰重合，观察折痕与等腰三角形各边、角的位置关系。
打开纸片，再沿另一条对称轴对折，重复观察。
引导学生思考：通过两次对折，你发现了等腰三角形的哪些性质？
2. 利用几何画板动态演示等腰三角形的变化过程，改变等腰三角形的大小、形状和角度，让学生观察在不同情况下，等腰三角形的两个底角是否始终相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是否始终相互重合。
3. 组织学生小组讨论，交流自己在实验和观察中发现的性质，每个小组推选一名代表进行发言，教师进行总结归纳。
（四）性质证明
1. 引导学生回顾全等三角形的判定定理，思考如何利用全等三角形来证明等腰三角形的性质。
2. 对于“等边对等角”的证明，引导学生作底边的中线，将等腰三角形分成两个全等的三角形，然后根据全等三角形对应角相等来证明。详细讲解证明过程，强调每一步的依据和逻辑关系。
3. 证明“三线合一”性质时，让学生分别从顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个角度出发，添加辅助线，构造全等三角形进行证明。例如，证明顶角平分线也是底边上的中线和高时，作顶角平分线，利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出中线和高的结论。
4. 让学生在课堂练习本上自己写出证明过程，教师巡视指导，及时发现学生在证明过程中存在的问题并进行个别辅导。
5. 选取几位学生的证明过程在投影仪上展示，让其他学生进行评价和分析，教师最后进行总结和强调，加深学生对证明方法的理解和掌握。
（五）分类讨论
1. 设计一系列具有启发性和挑战性的问题情境，引导学生进行分类讨论：
情境一：已知等腰三角形的一个内角为 70°，求其他两个角的度数。
引导学生思考：已知的 70°角可能是顶角，也可能是底角。当 70°角是顶角时，底角的度数为(180°- 70°)÷2 = 55°；当 70°角是底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为180°- 70°×2 = 40°。
情境二：已知等腰三角形的一条边长为 5cm，另一条边长为 8cm，求它的周长。
让学生讨论：需要分两种情况，当腰长为 5cm 时，底边为 8cm，此时周长为5 + 5 + 8 = 18cm；当腰长为 8cm 时，底边为 5cm，周长为8 + 8 + 5 = 21cm。同时提醒学生要注意三角形三边关系，判断所组成的三角形是否合理。
情境三：在等腰三角形 ABC 中，∠A 的外角为 110°，求∠B 的度数。
引导学生分析：因为∠A 的外角为 110°，所以∠A = 180° - 110° = 70°。当∠A 是顶角时，∠B 是底角，度数为(180° - 70°)÷2 = 55°；当∠A 是底角时，∠B 可能是顶角，度数为180° - 70°×2 = 40°，也可能是底角，度数为 70°。
2. 在每个问题情境讨论结束后，让学生总结分类讨论的思路和方法，教师进行补充和完善。强调在分类讨论时，要全面考虑各种可能的情况，不能遗漏，同时要注意根据已知条件和三角形的基本性质进行合理的判断和计算。
（六）例题讲解
例 1：已知等腰三角形的一个角为 50°，求其他两个角的度数。
解：（1）当已知角为顶角时，设底角为\(x\)，则2x + 50° = 180°，解得x = 65°，所以另两个角的度数均为 65°。
（2）当已知角为底角时，另一个底角也为 50°，顶角的度数为180° - 50°×2 = 80°。
答：其他两个角的度数分别为 65°、65°或 50°、80°。
例 2：在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，BD 是 AC 边上的中线，BD 把△ABC 的周长分成两部分，其中一部分比另一部分长 5cm，求等腰三角形 ABC 的腰长和底边长。
解：设 AB = AC = 2x cm，BC = y cm。
（1）当AB + AD - (BC + CD) = 5cm时，
因为 AD = CD，所以AB - BC = 5cm，即2x - y = 5。
又因为AB + AC + BC = 2x + 2x + y = 4x + y为三角形的周长，且三角形周长是固定的，所以同时有4x + y = 2x + y + 5，解得x = 2.5。
把x = 2.5代入2x - y = 5，得y = 0（边长不能为 0，此情况舍去）。
（2）当BC + CD - (AB + AD) = 5cm时，
则y - 2x = 5，且4x + y = 2x + y - 5，解得x =，y = 10。
所以腰长为2x = 5cm，底边长为 10cm。
答：等腰三角形 ABC 的腰长为 5cm，底边长为 10cm。
Ps：在讲解例题过程中，详细分析解题思路，引导学生如何根据已知条件进行分类讨论，如何运用等腰三角形的性质和方程思想来解决问题。讲解完后，让学生自己再重新做一遍例题，加深理解和掌握。
（七）练习巩固
1. 基础练习
已知等腰三角形的一个外角为 100°，求它的底角的度数。
若等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，求它的周长。
2. 提高练习
在等腰三角形 ABC 中，∠A = 40°，求∠B 的度数（分三种情况讨论）。
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
3. 拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数。
已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的高 AD = BC，求∠BAC 的度数。
学生在练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。对于普遍性的问题，在全班进行集中讲解和强调。
（八）课堂小结
1. 与学生一起回顾等腰三角形的概念、性质，重点强调“等边对等角”和“三线合一”性质的理解和应用。
2. 总结等腰三角形分类讨论的常见类型和方法，如已知角的度数求其他角的度数时，要分顶角和底角讨论；已知边长求其他边长或周长时，要分腰长和底边讨论等。提醒学生在分类讨论时要注意全面、严谨，避免漏解。
3. 让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，包括对知识的掌握、学习方法的运用以及在学习过程中遇到的困难和解决方法等。教师对学生的发言进行评价和鼓励，进一步激发学生的学习积极性。
（九）作业布置
1. 基础作业
已知等腰三角形的底角为 30°，求它的顶角的度数。
若等腰三角形的周长为 16cm，其中一边长为 4cm，求其他两边的长。
2. 提高作业
在等腰三角形 ABC 中，∠A = ∠B + 10°，求∠A、∠B 的度数。
等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 15cm 和 6cm 两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。
3. 拓展作业
如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 边上的一点，连接 BD，延长 BC 至点 E，使 CE = AD，连接 DE。求证：BD = DE。
已知点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面内一点，若 PA = PB，求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。
要求学生认真完成作业，书写规范，解题过程完整。同时鼓励学生尝试用多种方法解决问题，培养学生的创新思维和综合运用知识的能力。
（十）课后反思
1. 在教学过程中，通过多种教学方法的运用，学生对等腰三角形的概念和性质有了较好的理解和掌握。实验探究和小组合作活动激发了学生的学习兴趣，提高了学生的参与度和主动性。但在小组讨论过程中，发现部分学生的讨论不够深入，需要进一步加强引导，培养学生的合作探究能力和思维能力。
2. 分类讨论是本节课的重点和难点，虽然通过多种问题情境的设计和讲解，大部分学生能够掌握分类讨论的方法，但在实际应用中仍有部分学生出现漏解的情况。在今后的教学中，应加强对分类讨论思想的渗透和训练，培养学生严谨的数学思维。
3. 在例题讲解和练习巩固环节，应更加注重对学生解题思路和方法的指导，让学生学会分析问题、解决问题的方法，提高学生的解题能力和综合运用知识的能力。同时，要根据学生的实际情况，调整教学进度和难度，满足不同层次学生的学习需求。
一、教学目标
1. 学生能够深入理解等腰三角形的概念、性质，熟练掌握等腰三角形性质的证明方法。
2. 学生能准确进行等腰三角形相关的分类讨论，在不同情境下正确求出角的度数和边的长度。
3. 通过探究活动，培养学生的观察、分析、推理和归纳能力，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4. 让学生在学习过程中体验数学的严谨性和分类讨论思想的重要性，激发学生对数学的学习兴趣。
二、教学重难点
1.重点
等腰三角形的性质及其证明。
等腰三角形分类讨论的方法和应用。
2.难点
等腰三角形“三线合一”性质的理解和应用。
如何引导学生全面、准确地进行分类讨论，避免漏解。
三、教学方法
1. 讲授法：清晰地讲解等腰三角形的概念、性质和分类讨论的要点。
2. 实验探究法：让学生通过折叠等腰三角形纸片等实验活动，直观地发现等腰三角形的性质。
3. 小组合作法：组织学生进行小组讨论，共同解决分类讨论中的问题，培养合作交流能力。
4. 多媒体辅助教学法：利用几何画板或动态演示，展示等腰三角形性质的变化过程，增强直观性。
四、教学过程
（一）引入新课
1. 展示多种等腰三角形的实物模型，如等腰三角形的建筑框架模型、等腰三角形的饰品等，让学生观察这些实物的形状特征。
2. 播放一段关于等腰三角形在生活中广泛应用的视频，如桥梁结构中的等腰三角形、建筑设计中的等腰三角形元素等，引导学生思考为什么等腰三角形在这些场景中被频繁使用。
3. 让学生列举出生活中他们所见到的等腰三角形实例，然后提问学生：“你们观察到这些等腰三角形都有哪些共同的特点呢？”从而引入等腰三角形的概念。
（二）概念讲解
1. 详细阐述等腰三角形的定义：“有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。这两条相等的边叫做腰，另一边叫做底边。两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。”通过在黑板上画出不同形状的等腰三角形，标注出腰、底、顶角、底角，让学生有更直观的认识。
2. 让学生自己动手画出几个不同形状的等腰三角形，并标上各部分的名称，同桌之间相互检查、纠正。
3. 设计一些简单的判断题，如“有一个角是 60°的三角形是等腰三角形”“三条边都相等的三角形一定是等腰三角形”等，让学生通过判断来加深对等腰三角形概念的理解。
（三）性质探索
1. 给每位学生发放一张等腰三角形的纸片，让学生按照以下步骤进行操作：
将等腰三角形纸片对折，使两腰重合，观察折痕与等腰三角形各边、角的位置关系。
打开纸片，再沿另一条对称轴对折，重复观察。
引导学生思考：通过两次对折，你发现了等腰三角形的哪些性质？
2. 利用几何画板动态演示等腰三角形的变化过程，改变等腰三角形的大小、形状和角度，让学生观察在不同情况下，等腰三角形的两个底角是否始终相等，顶角平分线、底边上的中线、底边上的高是否始终相互重合。
3. 组织学生小组讨论，交流自己在实验和观察中发现的性质，每个小组推选一名代表进行发言，教师进行总结归纳。
（四）性质证明
1. 引导学生回顾全等三角形的判定定理，思考如何利用全等三角形来证明等腰三角形的性质。
2. 对于“等边对等角”的证明，引导学生作底边的中线，将等腰三角形分成两个全等的三角形，然后根据全等三角形对应角相等来证明。详细讲解证明过程，强调每一步的依据和逻辑关系。
3. 证明“三线合一”性质时，让学生分别从顶角平分线、底边上的中线、底边上的高这三个角度出发，添加辅助线，构造全等三角形进行证明。例如，证明顶角平分线也是底边上的中线和高时，作顶角平分线，利用角平分线的性质和全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，从而得出中线和高的结论。
4. 让学生在课堂练习本上自己写出证明过程，教师巡视指导，及时发现学生在证明过程中存在的问题并进行个别辅导。
5. 选取几位学生的证明过程在投影仪上展示，让其他学生进行评价和分析，教师最后进行总结和强调，加深学生对证明方法的理解和掌握。
（五）分类讨论
1. 设计一系列具有启发性和挑战性的问题情境，引导学生进行分类讨论：
情境一：已知等腰三角形的一个内角为 70°，求其他两个角的度数。
引导学生思考：已知的 70°角可能是顶角，也可能是底角。当 70°角是顶角时，底角的度数为(180°- 70°)÷2 = 55°；当 70°角是底角时，另一个底角也是 70°，顶角的度数为180°- 70°×2 = 40°。
情境二：已知等腰三角形的一条边长为 5cm，另一条边长为 8cm，求它的周长。
让学生讨论：需要分两种情况，当腰长为 5cm 时，底边为 8cm，此时周长为5 + 5 + 8 = 18cm；当腰长为 8cm 时，底边为 5cm，周长为8 + 8 + 5 = 21cm。同时提醒学生要注意三角形三边关系，判断所组成的三角形是否合理。
情境三：在等腰三角形 ABC 中，∠A 的外角为 110°，求∠B 的度数。
引导学生分析：因为∠A 的外角为 110°，所以∠A = 180° - 110° = 70°。当∠A 是顶角时，∠B 是底角，度数为(180° - 70°)÷2 = 55°；当∠A 是底角时，∠B 可能是顶角，度数为180° - 70°×2 = 40°，也可能是底角，度数为 70°。
2. 在每个问题情境讨论结束后，让学生总结分类讨论的思路和方法，教师进行补充和完善。强调在分类讨论时，要全面考虑各种可能的情况，不能遗漏，同时要注意根据已知条件和三角形的基本性质进行合理的判断和计算。
（六）例题讲解
例 1：已知等腰三角形的一个角为 50°，求其他两个角的度数。
解：（1）当已知角为顶角时，设底角为\(x\)，则2x + 50° = 180°，解得x = 65°，所以另两个角的度数均为 65°。
（2）当已知角为底角时，另一个底角也为 50°，顶角的度数为180° - 50°×2 = 80°。
答：其他两个角的度数分别为 65°、65°或 50°、80°。
例 2：在等腰三角形 ABC 中，AB = AC，BD 是 AC 边上的中线，BD 把△ABC 的周长分成两部分，其中一部分比另一部分长 5cm，求等腰三角形 ABC 的腰长和底边长。
解：设 AB = AC = 2x cm，BC = y cm。
（1）当AB + AD - (BC + CD) = 5cm时，
因为 AD = CD，所以AB - BC = 5cm，即2x - y = 5。
又因为AB + AC + BC = 2x + 2x + y = 4x + y为三角形的周长，且三角形周长是固定的，所以同时有4x + y = 2x + y + 5，解得x = 2.5。
把x = 2.5代入2x - y = 5，得y = 0（边长不能为 0，此情况舍去）。
（2）当BC + CD - (AB + AD) = 5cm时，
则y - 2x = 5，且4x + y = 2x + y - 5，解得x =，y = 10。
所以腰长为2x = 5cm，底边长为 10cm。
答：等腰三角形 ABC 的腰长为 5cm，底边长为 10cm。
Ps：在讲解例题过程中，详细分析解题思路，引导学生如何根据已知条件进行分类讨论，如何运用等腰三角形的性质和方程思想来解决问题。讲解完后，让学生自己再重新做一遍例题，加深理解和掌握。
（七）练习巩固
1. 基础练习
已知等腰三角形的一个外角为 100°，求它的底角的度数。
若等腰三角形的两边长分别为 3cm 和 7cm，求它的周长。
2. 提高练习
在等腰三角形 ABC 中，∠A = 40°，求∠B 的度数（分三种情况讨论）。
等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 40°，求这个等腰三角形的顶角的度数。
3. 拓展练习
如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 BC 上，且 BD = AD，DC = AC，求∠B 的度数。
已知等腰三角形 ABC 的底边 BC 上的高 AD = BC，求∠BAC 的度数。
学生在练习过程中，教师巡视指导，及时发现学生存在的问题并进行个别辅导。对于普遍性的问题，在全班进行集中讲解和强调。
（八）课堂小结
1. 与学生一起回顾等腰三角形的概念、性质，重点强调“等边对等角”和“三线合一”性质的理解和应用。
2. 总结等腰三角形分类讨论的常见类型和方法，如已知角的度数求其他角的度数时，要分顶角和底角讨论；已知边长求其他边长或周长时，要分腰长和底边讨论等。提醒学生在分类讨论时要注意全面、严谨，避免漏解。
3. 让学生谈谈自己在本节课中的收获和体会，包括对知识的掌握、学习方法的运用以及在学习过程中遇到的困难和解决方法等。教师对学生的发言进行评价和鼓励，进一步激发学生的学习积极性。
（九）作业布置
1. 基础作业
已知等腰三角形的底角为 30°，求它的顶角的度数。
若等腰三角形的周长为 16cm，其中一边长为 4cm，求其他两边的长。
2. 提高作业
在等腰三角形 ABC 中，∠A = ∠B + 10°，求∠A、∠B 的度数。
等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成 15cm 和 6cm 两部分，求这个等腰三角形的腰长和底边长。
3. 拓展作业
如图，在等边三角形 ABC 中，D 是 AC 边上的一点，连接 BD，延长 BC 至点 E，使 CE = AD，连接 DE。求证：BD = DE。
已知点 P 是等腰三角形 ABC 所在平面内一点，若 PA = PB，求证：点 P 在 AB 的垂直平分线上。
要求学生认真完成作业，书写规范，解题过程完整。同时鼓励学生尝试用多种方法解决问题，培养学生的创新思维和综合运用知识的能力。
（十）课后反思
1. 在教学过程中，通过多种教学方法的运用，学生对等腰三角形的概念和性质有了较好的理解和掌握。实验探究和小组合作活动激发了学生的学习兴趣，提高了学生的参与度和主动性。但在小组讨论过程中，发现部分学生的讨论不够深入，需要进一步加强引导，培养学生的合作探究能力和思维能力。
2. 分类讨论是本节课的重点和难点，虽然通过多种问题情境的设计和讲解，大部分学生能够掌握分类讨论的方法，但在实际应用中仍有部分学生出现漏解的情况。在今后的教学中，应加强对分类讨论思想的渗透和训练，培养学生严谨的数学思维。
3. 在例题讲解和练习巩固环节，应更加注重对学生解题思路和方法的指导，让学生学会分析问题、解决问题的方法，提高学生的解题能力和综合运用知识的能力。同时，要根据学生的实际情况，调整教学进度和难度，满足不同层次学生的学习需求。