(共33张PPT)
22.1.4（课时1）
二次函数 y = ax2+bx+c的图象和性质
第二十二章 二次函数
学习目标
会用配方法将一般式 y = ax2+bx+c化成顶点式y = a(x-h)2+k；
能熟练地求出二次函数 y = ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴.
知识回顾
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线 x = h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线 x = h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同
顶点坐标 对称轴 最值
y = 2x2
y = 2x2 5
y = 2(x+2)2
y = 2(x+2)2 4
y = (x 4)2+3
(0，0)
y轴
0
(0， 5)
y轴
5
( 2，0)
直线 x = 2
0
( 2， 4)
直线 x = 2
4
(4，3)
直线 x = 4
3
新知导入
探究新知
我们已经学习了形如 y = a(x-h)2+k 的二次函数的图象和性质，能否利用这些知识来研究二次函数 y = x2-6x+21的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
思考：怎样将 y = x2-6x+21化成 y = a(x-h)2+k的形式
配方法
探究新知
y = x2-6x+21
想一想：配方的方法及步骤是什么？
配方后的表达式通常称为顶点式.
= (x2-12x)+21
= (x2-12x+62)+21 - ×62
= (x-6)2+3
二次函数 y = x2-6x+21图象的对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3).
配
方
3．化：化成顶点式．
1．提：提出二次项系数；
2．配：括号内配成完全平方式；
探究新知
可以通过配方法将 转化为 ．
先画出 的图象，再通过平移得到 的图象；
你能画出 的图象吗？
平移方法1：先向上平移3个单位，再向右平移6个单位；
平移方法2：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位．
【注意】平移前后，图形的大小和形状不变，仅位置改变.
探究新知
如何直接画出 的图象？
如果直接画二次函数 的图象，可按如下步骤进行：
由配方的结果可知，抛物线 的顶点是(6，3)，对称轴是 x = 6．
(x-6)2+3
配方
探究新知
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
… 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
先利用图象的对称性列表：
探究新知
然后描点画图，得到 的图象（如图）．
5
10
x
y
5
10
O
探究新知
结合二次函数 的图象，说出它的性质.
5
10
x
y
5
10
x = 6
O
开口_______，
对称轴是_________，
顶点坐标是_________.
向上
直线x=6
(6, 3)
当x<6时，y随x___________；
当x>6时，y随x___________.
增大而减小
增大而增大
探究新知
解：配方得 y = -2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x2+2x+1)+2+1
= -2(x+1)2+3
由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是 x = -1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点.
1.先利用对称性列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y = -2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗
探究新知
开口向下，
对称轴是 x = -1，
顶点坐标是 (-1, 3).
当x<-1时，y随x增大而增大；
当x>-1时， y随x增大而减小.
描点、连线，画出这个函数的图象.
y=-2x2-4x+1
探究新知
要想讨论一般的二次函数 y = ax2+bx+c 的图象和性质，应该先配方.
y = ax +bx+c
归纳总结
一般地，二次函数 y = ax2+bx+c可以通过配方化成
y = a(x-h)2+k的形式，即
因此，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标是：
对称轴是：直线
归纳总结
（1）
（2）
x
y
O
x
y
O
如果a＜0，当 x＜ 时，y随x的增大而增大；当 x＞ 时，y随x的增大而减小．
如果a＞0，当 x＜ 时，y随x的增大而减小；当 x＞ 时，y随x的增大而增大．
最小值
最大值
归纳总结
二次函数y = ax2+bx+c的图象与系数的关系
①a决定开口方向：a＞0 开口向上；a＜0 开口向下；
②a，b同号对称轴在y轴的左侧；a，b异号对称轴在y轴的右侧；
③ c = 0 经过原点；c＞0 与y轴的交点位于x轴的上方；
c＜0 与y轴的交点位于x轴的下方；
④当 x = 1时，y的值为a＋b＋c，当x = -1时，y的值为 a-b+c．
D
C
C
D
D
C
小结
y＝ax2＋bx＋c(a＞0) y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
开口方向 向上 向下
顶点坐标
对称轴 直线x＝ 直线x＝
增减性 当x＜ 时，y随x的增大而减小； 当x＞ 时，y随x的增大而增大 当x＜ 时，y随x的增大而增大；
当x＞ 时，y随x的增大而减小
最值 当x＝ 时，y有最小值 当x＝ 时，y有最大值
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22.1.4（课时2）
用待定系数法求二次函数的解析式
第二十二章 二次函数
学习目标
知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数；
根据不共线的三点，会用待定系数法求二次函数的解析式；
根据具体问题的特征，能选择不同的方法确定二次函数的解析式.
知识回顾
1.一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)有几个待定系数？确定一次函数的表达式需要几个条件？
2个
2个
待定系数法
设
代
解
写
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
设函数解析式
代入已知点的坐标列方程（组）
解方程（组）
写出解析式
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式
新知导入
你能说出二次函数的表达式吗？
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k，顶点为(h, k)
思考：类比一次函数，确定二次函数的表达式需要几个条件？
3个待定系数，3个条件
由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
探究新知
【探究1】如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
分析： (-1, 10)，(1, 4)，(2, 7)三点不共线，可以确定二次函数的解析式.
探究新知
解：设所求的二次函数为 y＝ax2＋bx＋c．
由已知，得
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
三个未知数，两个等量关系，这个方程组能解吗？
4a＋2b＋c＝7，
1.设一般式
2.代入已知点坐标
探究新知
②－①，可得
2b＝－6
b＝－3
③－①，可得
3a＋3b＝－3
a＋b＝－1
a＝2
将a＝2，b＝－3代入①，可得
2＋3＋c＝10
c＝5
解方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
∴所求二次函数解析式为y＝2x2－3x＋5.
3.解方程组
4.写出解析式
a－b＋c＝10，
a＋b＋c＝4，
4a＋2b＋c＝7，
①
②
③
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
若已知抛物线过三个点，可设一般式求二次函数的表达式.这种方法叫做一般式法.其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a，b，c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
任意两点的连线不与y轴平行.
新知练习
一个二次函数的图像经过(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设这个二次函数的解析式为 y＝ax2+bx+c.
把点(0, 0)，(-1, -1)，(1, 9)代入可得
解得a=4，b=5，c=0.
∴抛物线的解析式为y=4x2+5x.
c=0
a-b+c=-1
a+b+c=9
探究新知
【探究2】图象顶点为(h，k)的二次函数的解析式是y＝a(x－h)2＋k，如果顶点坐标已知，那么求解析式的关键是什么？
已知一条抛物线的顶点为(1, -4)，且过点(3, 0)，求这条抛物线的解析式.
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
探究新知
解：∵抛物线顶点为(1, -4)，
∴设这条抛物线的解析式y=a(x-1)2-4.
把点(3, 0)代入得
0=a(3-1)2-4，
解得a=1.
∴这条抛物线为y=(x-1)2-4，即y=x2-2x-3.
归纳总结
若已知抛物线的顶点坐标（对称轴、最值）及另一点，可设顶点式求表达式.这样的方法叫做顶点式法.其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标；
③将另一点的坐标代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
顶点式法求二次函数表达式的方法
=a(x-x1)(x-x2)
探究新知
当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点A(x1，0)，B(x2，0)，
显然，x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根.
则x1+x2= - ，x1x2= .
∴ y = ax2+bx+c = a(x2+ x+ )
=a[x2-(x1+x2)x+x1x2]
二次函数的交点式
探究新知
【探究3】一个二次函数，当自变量 x = 0 时，函数值 y = -1，当x = -2与 时，y = 0，求这个二次函数的解析式．
两种方法的结果一样吗？两种方法哪一个更简洁？
方法1：设 ，再把 x = 0，y = -1代入其中，求出a的值．
方法2：设y = ax2+bx+c，由“x = 0时，函数值 y = -1，当x = -2与 时，y＝0”，列方程组求出a，b，c的值．
方法1更简洁．
探究新知
∴抛物线的解析式为y = (x+2)(x- )，即 y = x2+ x-1.
解：设这个二次函数的解析式为 y = a(x+2)(x - ).
把点 (0, -1) 代入可得
-1 = a(0 + 2)(0 - )，
解得 a=1.
交点式法求函数表达式的关键是掌握
函数的交点表达式y＝a(x-x1) (x-x2)(a≠0)，
其中x1和x2是图象与x轴交点的横坐标
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：
①设函数表达式是 y = a(x-x1)(x-x2)；
②把两交点的横坐标x1，x2代入到表达式中；
③将另一个点代入解出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
待定系数法
求二次函数解析式
小结
①已知一般三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y＝ax2＋bx＋c
用顶点式法：y＝a(x－h)2＋k
用交点式法：y＝a(x－x1)(x－x2)
（x1，x2为交点的横坐标）
谢谢各位同学的观看
