选择必修 第三章 3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(共29张PPT)

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选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.1 椭圆
3.1.1 椭圆及其标准方程
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解并掌握椭圆的定义． 1.数学抽象素养.
2.掌握椭圆的标准方程的推导． 2.数学运算素养.
3.会求简单的椭圆的标准方程,并掌握求曲线轨迹的方法． 3.数学运算素养.
本章引入
我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢
如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线(coniic sections).
本章引入
圆锥曲线与科研、生产以及人类生活有着紧密的联系．如行星绕太阳的运行轨道是椭圆，发电厂冷却塔外形线是双曲线，探照灯反射镜面、卫星接受天线是抛物线绕其对称轴旋转所成的抛物面……为什么圆锥曲线有如此广泛的应用呢？我们可以从它们的几何特征及其性质中找到答案.
圆锥曲线的发现与研究始于古希腊.当时人们用纯几何的方法研究这些与圆相关的曲线，它们的几何性质是圆的几何性质的自然推广.17世纪，笛卡尔发明了坐标系，人们开始借助坐标系，运用代数方法研究圆锥曲线.
本章我们继续采用坐标法，在探究圆锥曲线几何特征的基础上，建立它们的方程，通过方程研究它们的性质，并解决与圆锥曲线有关的几何问题和实际问题，进一步感受数形结合的思想方法，体会坐标法的魅力与威力.
椭圆是圆锥曲线的一种，具有丰富的几何性质，在科研、生产和人类生活中具有广泛的应用，那么，椭圆到底有怎样的几何特征 我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础
知新引入
取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点,
套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹
是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图
板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹
是什么曲线
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.
在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：
移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即
|MF1|+|MF2|>|F1F2|
由此可得椭圆的定义.
知新探究
把平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆（ellipse). 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点(foocus)，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距(foocus distance) . 焦距的一半称为半焦距.
几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数且2a>|F1F2|)．
注意：
①动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；
②|MF1|+|MF2|>|F1F2|，即2a>|F1F2|.
当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时，
动点M的轨迹是线段F1F2；
当|MF1|+|MF2|<|F1F2|时，
动点M没有轨迹 .
下面我们根据椭圆的几何特征, 选择适当的坐标系, 建立椭圆的方程.
F1
F2
M


知新探究
设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则
F1(-c,0),F2(c,0),
由椭圆的定义可知，椭圆可以看作点集
P={M| |MF1|＋|MF2|＝2a},
因为|MF1|=，|MF2|=,
所以. ①
观察我们画出的图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们以经过焦点F1, F2的直线为x轴，
线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系Oxy,如图.
观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单？
F1
F2
M


x
y
O
知新探究
为了化简方程①，我们将其左边的一个式子移到右边，得
, ②
,
所以. ①
F1
F2
M


x
y
O
对方程②两边平方，得
整理，得 , ③
对方程③两边平方，得
,
整理，得 , ④
. ⑤
对方程④两边同除以，得
由椭圆的定义知,2a>2c>0,即a>c>0,所以a2-c2>0.
知新探究
由上图可知，|PF1|=|PF2|=a,|OF1|=|OF2|=c,b=|PO|=,
令b=|PO|=,那么方程⑤就是
由于方程②③两边都是非负实数,因此以上方程的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标(x,y)都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点(x,y)与椭圆的两个焦点(-c,0),(c,0) 的距离之和为2a,即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥为椭圆方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.
(a>b>0). ⑥
观察右图，你能从中找出表示a,c,的
线段吗？
F1
F2
P


x
y
O
. ⑤
它表示焦点在x轴上，两焦点的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0),这里b=.
知新探究
容易知道，此时椭圆方程是
(a>b>0).
它表示焦点在y轴上，两焦点的坐标分别为F1(0,-c),F2(0,c),这里b=.
观察右图，如果焦点F1,F2在y轴上，且F1,F2的坐标
分别为(-c,0)，(c,0)，a，b的意义同上，那么椭圆的方
程是什么？
F1
F2
M


x
y
O
这个方程也是椭圆的标准方程.
知新探究
椭圆定义 焦点位置
图形
方程
特点 共同点 不同点
|MF1|＋|MF2|＝2a>|F1F2|=2c．
焦点在x轴上
F1
F2
M


x
y
O
(a>b>0).
焦点在y轴上
F1
F2
M


x
y
O
(a>b>0).
a>b>0,a2=b2+c2.
焦点的坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0)
方程中的a2是x2的分母
焦点的坐标分别为F1(0,-c),F2(0,c)
方程中的a2是y2的分母
知新探究
【例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0),并且经过点,求它的标准方程.
解：
由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为(a>b>0).
.
∴a=，b2=a2-c2=6.
∴所求椭圆的标准方程为
你还能用其他方法来求它的标准方程吗？
试比较不同方法的特点.
.
由椭圆的定义知
知新探究
【例1】已知椭圆的两个焦点坐标分别是(-2,0)，(2,0),并且经过点,求它的标准方程.
另解：
由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为(a>b>0).
∴. ②
∴所求椭圆的标准方程为
.
由已知得c=2,即a2-b2=4, ①
又椭圆经过点，
联立方程①②解得a2=10,b2=6,
容易发现，第二种方法需解方程组，运算量较大；而第一种方法运用椭圆定义，简化了运算.
初试身手
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
解：
⑴方法1：由题知，焦点在y轴上，且c＝，设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，则
由椭圆过点(1，2)知
解得a2＝6或a2＝2(舍去).
所以椭圆的标准方程为＝1.
b2＝a2－3，
＝1，
初试身手
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴经过点(1，2)，焦点坐标分别为(0，)，(0，－)；
解：
⑴方法2：因为焦点在y轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，
由椭圆定义知，
∴a2＝6.
所以椭圆的标准方程为＝1.
∴b2＝a2－c2=3，
2a＝
即a＝，
又c＝，
初试身手
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程：
⑵经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
解：
所以椭圆的标准方程为＝1.
解得
⑵方法1：①当椭圆的焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
解得
②当椭圆的焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)．
依题意，有
由a＞b＞0，知不合题意，故舍去.
故椭圆的标准方程为＝1.
初试身手
1.求符合下列条件的椭圆的标准方程：
⑵经过P(－2，1)，Q(，－2)两点．
解：
所以椭圆的标准方程为＝1.
解得
⑵方法2：椭圆经过P(－2，1)，Q(，－2)两点，设所求椭圆方程为＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．
把点P，Q代入得
知新探究
【例2】如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.）
解：
方法1：设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
由点M是线段PD的中点，得
，
分析：点P在圆上运动，点P的运动引起点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M与点P的坐标之间的关系式，并由点P的坐标满足方程得到点M满足的方程.
所以点M的轨迹是椭圆.
因为点在圆上，所以
x
y
P
M
O

D

①
把带入方程①，得，
即.
寻求点M的坐标(x,y)中x, y与x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这是解析几何中求点的轨迹方程常用的方法.
利用信息技术, 可以更方便地探究点M的轨迹的形状.
知新探究
【例2】如图，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？为什么？（当点经过圆与x轴的交点时，规定点M与点P重合.）
解：
方法2：(参数法)设点M的坐标为(x, y)，
∵ 点P 在圆 x2 + y2 = 4上，
所以点M的轨迹是椭圆.
由题意有，
x
y
P
M
O

D

消去参数θ，得
.
∴可设P(2cosθ, 2sinθ),
知新探究
【变式】已知圆C1: x2+y2=4,圆C2:x2+y2=25.点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点, 线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.
方法1：设 P(x, y),M(x,yM),N(xN,y),
∴.
∵,
∴,
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
y
x
M
P
M0
N
O
∴M(x,),
故点P的轨迹C的方程为.
∵点M在圆C2上,
∴,
知新探究
【变式】已知圆C1: x2+y2=4,圆C2:x2+y2=25.点O为坐标原点, 点M是圆C2上的一动点, 线段OM交圆C1于N, 过点M作x轴的垂线交x轴于M0, 过点N作M0M的垂线交M0M于P. 当动点M在圆C2上运动时, 求点P的轨迹C的方程.
方法2：设 P(x, y),由点M, N分别在圆C2 , C1上，可设M(),
N().
∴
消去参数θ, 得
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
y
x
M
P
M0
N
O
故点P的轨迹C的方程为.
,
知新探究
由例2我们发现，可以由圆通过“压缩”得到椭圆.你能由圆通过“拉伸”得到椭圆吗？如何“拉伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
x
y
P
M
O

D

x
y
P
M
O

D

知新探究
【例3】如图，设A，B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0),直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是，求点M的轨迹方程.
x
y
B
M
O
A

分析：设点M的坐标为(x, y),那么直线AM,BM的斜率就可用x,y的关系式分别表示.由直线AM，BM的斜率之积是，可得出x,y之间的关系式，进而得到点M的轨迹方程.
解：
设点M (x, y)，因为A(-5, 0), 所以直线AM的斜率
,
同理，直线BM的斜率
,
由已知，有
,
化简，得点M的轨迹方程为
.
点M的轨迹是除去(-5,0)，(5,0)两点的椭圆.
初试身手
设点M的坐标为(x, y), 由已知, 得
直线AM的斜率
课本P109，练习：4. 已知A, B两点的坐标分别是(－1,0), (1,0), 直线AM, BM相交于点M, 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的商是2, 点M的轨迹是什么 为什么
直线BM的斜率
由,得
解：
.
,
,
化简，得 x=-3(y≠0),
因此，点M的轨迹是直线x=-3,去掉点(-3,0).
课堂小结
1.椭圆定义
把平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫做椭圆（ellipse). 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点(foocus)，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距(foocus distance) . 焦距的一半称为半焦距.
几何表示：|MF1|＋|MF2|＝2a(常数且2a>|F1F2|)．
2.椭圆的标准方程
椭圆焦点在x轴上
(a>b>0).
椭圆焦点在y轴上
(a>b>0).
a2=b2+c2.
3.求椭圆的标准方程及点的轨迹方程
⑴直接法
⑵定义法
⑶相关点法
作业布置
作业：
P115 习题3.1 第1，2,4⑴⑵,9题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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