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第01讲 计数原理
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，主要考查运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理结合排列组合知识分析和解决一些简单的实际排列和组合问题.
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考试要求
小
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1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2、会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
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知识点1: 分类加法计数原理
1、分类加法计数原理
（1）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法；
（2）推广：；
知识点2: 分布乘法计数原理
1、分布乘法计数原理
（1）完成一件事需要两个步骤，在第1个步骤中有种不同的方法，在第2个步骤中有种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法；
（2）推广：；
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题型展示
小
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题型一: 分类加法计数原理
【例1】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48
C．60 D．72
【变式1】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
题型二: 分步乘法计数原理
【例2】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【变式2】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
题型三: 两个原理综合应用
【例3】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
【变式3】定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【真题3】（2023·全国I卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题4】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【真题6】（2022·全国新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【真题9】（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【真题10】（2021·全国II卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
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第01讲 计数原理
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 分类加法计数原理 (2) 分步乘法计数原理 2024年甲卷5分2023年甲卷5分2023年乙卷5分2023年I卷5分2023年II卷5分2022年I卷5分2022年II卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题为主； （2）重点是理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，主要考查运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理结合排列组合知识分析和解决一些简单的实际排列和组合问题.
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考试要求
小
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1、理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；
2、会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题。
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 分类加法计数原理
1、分类加法计数原理
（1）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法；
（2）推广：；
知识点2: 分布乘法计数原理
1、分布乘法计数原理
（1）完成一件事需要两个步骤，在第1个步骤中有种不同的方法，在第2个步骤中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法；
（2）推广：；
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题型展示
小
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题型一: 分类加法计数原理
【例1】用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为（ ）
A．24 B．48
C．60 D．72
【答案】D
【解析】
要组成没有重复数字的五位奇数，个位数可以分为为1或3或5共三类，
个位数为1：种，个位数为3：种，个位数为5：种，奇数的个数为，选D.
【变式1】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
记五名志愿者为，
根据恰有1人在这两天都参加可以把这1人分类为分别是这5类，
在这两天都参加：从剩余的4人抽取2人，共有种，
同理：在这两天都参加也各有种，
恰有1人在这两天都参加的不同安排方式种；答案为B.
题型二: 分步乘法计数原理
【例2】要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．2种 B．3种 C．6种 D．8种
【答案】C
【解析】
第1步，将3名学生分成两个组，有种分法，
第2步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法，
不同的安排方法共有种；答案为C
【变式2】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】
第1步，确定相同得读物，共有种情况，
第2步，两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种；答案为C.
题型三: 两个原理综合应用
【例3】如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【解析】
第1步，从E到F：最短的走法一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同，
每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C42C22＝6种；
第2步，同理从F到G，最短的走法，有C31C22＝3种走法．
∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法；答案为B．
【变式3】定义“规范01数列”如下：共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】
由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个；
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考场演练
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【真题1】（2024·全国甲卷）甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
当甲排在排尾，乙排第一位，丙有种排法，丁就种，共种；
当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有种排法，丁就种，共种；
甲排在排尾共种方法，同理乙排在排尾共种方法，共种排法符合题意；
基本事件总数是，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为；答案为B.
【真题2】（2023·全国甲卷）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
【答案】B
【解析】
记五名志愿者为，
根据恰有1人在这两天都参加可以把这1人分类为分别是这5类，
在这两天都参加：从剩余的4人抽取2人，共有种，
同理：在这两天都参加也各有种，
恰有1人在这两天都参加的不同安排方式种；答案为B.
【真题3】（2023·全国I卷）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有件，
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
这2名学生来自不同年级的概率为；答案为D.
【真题4】（2023·全国乙卷）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
【答案】C
【解析】
第1步，确定相同得读物，共有种情况，
第2步，两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
则共有种；答案为C.
【真题5】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】
根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
不同的抽样结果共有种；答案为D.
【真题6】（2022·全国新Ⅱ卷）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】B
【解析】
丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，
连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；
为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置选一个位置插入，有2种方式；
注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，
故安排这5名同学共有：种不同的排列方式；答案为B
【真题7】（2022·全国新Ⅰ卷）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，
若两数不互质，不同的取法有：，共7种，
故所求概率；答案为D.
【真题8】（2021·全国乙卷）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
【答案】C
【解析】
第1步，先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种；
第2步，同其余三人，看成四个元素，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，
共有种不同的分配方案；答案为C.
【真题9】（2021·全国甲卷）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
【答案】C
【解析】
将3个1和2个0随机排成一行，可以是：
，共10种排法，
其中2个0不相邻的排列方法为：，共6种方法，
2个0不相邻的概率为；答案为C.
【真题10】（2021·全国II卷）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用插空法，4个1产生5个空，
若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，
2个0不相邻的概率为；答案为C.
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