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第01讲 统计
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考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 简单随机抽样 (2) 统计图表 (2) 样本的数字特征 2024年Ⅱ卷5分2023年II卷5分2023年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年天津卷5分2021年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以单选题、多选题、填空题为主； （2）重点是简单随机抽样的方法，统计图表以及用样本估计整体；主要考查分层随机抽样，用统计图表对总体进行估计，求个数据的第百分位数，用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
(
考试要求
小
)
1、了解获取成对数据的基本途径；
2、会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样；
3、能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性；
4、会用统计图表对总体进行估计，会求个数据的第百分位数；
5、能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 随机抽样
1、总体、个体、样本
（1）总体：调查对象的 ；
（2）个体：组成总体的 调查对象；
（3）样本：在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体；
（4）样本容量：样本中包含个体的数量；
2、简单随机抽样
常用方法： 和 ；
3、分层随机抽样
分层随机抽样：按一个或多个变量把总体划分成若干子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行 ，再把抽取的样本合在一起作为总样本的方法；
层：每一个子总体叫做 ；
知识点2: 统计图表
1、统计图表
（1）常见的统计图表
1）条形图；2）扇形图；3）折线图；4） ；
（2）作频率分布直方图的步骤：
1）求极差，决定组距与组数；
2）将数据分组；
3）列频率分布表；
4）画频率分布直方图；
知识点3: 用样本估计整体
1、百分位数
一组数据中的第百分位数是使得至少有的数据 它，且至少有的数据大于或等于它；
2、平均数、中位数和众数
（1）平均数：；
（2）中位数：将一组数据 或从大到小的顺序排列，处在 或最中间两个数据的 ；
（3）众数：一组数据中出现次数 的数据；
3、方差和标准差
（1）方差：或；
（2）标准差：；
4、总体（样本）方差和总体（样本）标准差
（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别是，总体的平均数为，则总体方差为
（2）加权式：如果总体的个变量中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为
(
题型展示
小
)
题型一: 随机抽样
【例1】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 .
【变式1】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
题型二: 统计图表
【例2】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【变式2】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
题型三: 样本的数字特征
【例3】（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【变式3】（2021·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
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考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【真题3】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【真题4】（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【真题5】（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【真题6】（2022·天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【真题7】（2021·天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
【真题8】（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【真题9】（2020·全国新Ⅱ卷）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【真题10】（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.
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第01讲 统计
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考纲导向
小
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考点要求 考题统计 考情分析
(1) 简单随机抽样 (2) 统计图表 (2) 样本的数字特征 2024年Ⅱ卷5分2023年II卷5分2023年I卷5分2022年甲卷5分2022年乙卷5分2022年天津卷5分2021年I卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以单选题、多选题、填空题为主； （2）重点是简单随机抽样的方法，统计图表以及用样本估计整体；主要考查分层随机抽样，用统计图表对总体进行估计，求个数据的第百分位数，用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
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考试要求
小
)
1、了解获取成对数据的基本途径；
2、会用简单随机抽样的方法从总体中抽取样本，了解分层随机抽样；
3、能根据实际问题的特点选择恰当的统计图表，体会使用统计图表的重要性；
4、会用统计图表对总体进行估计，会求个数据的第百分位数；
5、能用数字特征估计总体集中趋势和总体离散程度.
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考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 随机抽样
1、总体、个体、样本
（1）总体：调查对象的全体；
（2）个体：组成总体的每一个调查对象；
（3）样本：在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体；
（4）样本容量：样本中包含个体的数量；
2、简单随机抽样
常用方法：抽签法和随机数法；
3、分层随机抽样
分层随机抽样：按一个或多个变量把总体划分成若干子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把抽取的样本合在一起作为总样本的方法；
层：每一个子总体叫做层；
知识点2: 统计图表
1、统计图表
（1）常见的统计图表
1）条形图；2）扇形图；3）折线图；4）频率分布直方图；
（2）作频率分布直方图的步骤：
1）求极差，决定组距与组数；
2）将数据分组；
3）列频率分布表；
4）画频率分布直方图；
知识点3: 用样本估计整体
1、百分位数
一组数据中的第百分位数是使得至少有的数据小于或等于它，且至少有的数据大于或等于它；
2、平均数、中位数和众数
（1）平均数：；
（2）中位数：将一组数据从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据或最中间两个数据的平均数；
（3）众数：一组数据中出现次数最多的数据；
3、方差和标准差
（1）方差：或；
（2）标准差：；
4、总体（样本）方差和总体（样本）标准差
（1）一般式：如果总体中所有个体的变量值分别是，总体的平均数为，则总体方差为
（2）加权式：如果总体的个变量中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为
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题型展示
小
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题型一: 随机抽样
【例1】某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为 .
【答案】
【解析】
设应抽取的男生人数为为，有，应抽取25人.
【变式1】某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A．抽签法 B．系统抽样法 C．分层抽样法 D．随机数法
【答案】C
【解析】
按照各种抽样方法的适用范围可知，应使用分层抽样；选C.
题型二: 统计图表
【例2】从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（ ）
A．10 B．18 C．20 D．36
【答案】B
【解析】
根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，
则区间内零件的个数为：；答案为B.
【变式2】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
【答案】D
【解析】
对A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，
∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，A错；
对B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，
甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，B错；
对C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，
即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；
对D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，
∴用丙车比用乙车更省油，故D正确；答案为D．
题型三: 样本的数字特征
【例3】（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【解析】
对A：设的平均数为，的平均数为，
则，
没有确定的大小关系，无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得；
例如，可得；A错；
对B：设，知的中位数与的中位数均为，B正确；
对C：是最小值，是最大值，的波动性不大于的波动性，C错；
对D：设，则，当且仅当时，等号成立，D正确；答案为BD.
【变式3】（2021·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
对A：且，平均数不相同，A错；
对B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，不相同，B错；
对C：，方差相同，C正确；
对D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，极差相同，D正确；答案为CD.
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考场演练
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【真题1】（2024·全国新Ⅱ卷）某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：kg）并整理如下表
亩产量 [900，950） [950，1000） [1000，1050） [1050，1100） [1100，1150） [1150，1200）
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是（ ）
A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kg
B．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间
【答案】C
【解析】
对 A, 根据频数分布表可知, ,产量的中位数不小于 , A 错；
对B，亩产量不低于的频数为，低于的稻田占比为，B错；
对C，稻田亩产量的极差最大为，最小为，C正确；
对D，平均值为，D错；
答案为C.
【真题2】（2023·全国新Ⅰ卷）有一组样本数据，其中是最小值，是最大值，则（ ）
A．的平均数等于的平均数
B．的中位数等于的中位数
C．的标准差不小于的标准差
D．的极差不大于的极差
【答案】BD
【解析】
对A：设的平均数为，的平均数为，
则，
没有确定的大小关系，无法判断的大小，
例如：，可得；例如，可得；
例如，可得；A错；
对B：设，知的中位数与的中位数均为，B正确；
对C：是最小值，是最大值，的波动性不大于的波动性，C错；
对D：设，则，当且仅当时，等号成立，D正确；答案为BD.
【真题3】（2023·全国新Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
【答案】D
【解析】
根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种；答案为D.
【真题4】（2022·全国乙卷）分别统计了甲、乙两位同学16周的各周课外体育运动时长（单位：h），得如下茎叶图：
则下列结论中错误的是（ ）
A．甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为7.4
B．乙同学周课外体育运动时长的样本平均数大于8
C．甲同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.4
D．乙同学周课外体育运动时长大于8的概率的估计值大于0.6
【答案】C
【解析】
对A，甲同学周课外体育运动时长的样本中位数为，A正确；
对B，乙：，
B正确；
对C，甲同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，C错；
对D，乙同学周课外体育运动时长大于的概率的估计值，D正确；答案为C
【真题5】（2022·全国甲卷）某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
【答案】B
【解析】
对A，讲座前中位数为, 错；
对B，讲座后问卷答题的正确率只有一个是个,剩下全部大于等于,
讲座后问卷答题的正确率的平均数大于,B对；
对C，讲座前问卷答题的正确率更加分散,
讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,C错；
对D，讲座后问卷答题的正确率的极差为，
讲座前问卷答题的正确率的极差为,错；答案为B.
【真题6】（2022·天津）为研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：）的分组区间为，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．18
【答案】B
【解析】
志愿者的总人数为＝50，第三组人数为50×0.36＝18，
有疗效的人数为18－6＝12；答案为B.
【真题7】（2021·天津）从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为；答案为D.
【真题8】（2021·全国甲卷）为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：
根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
【答案】C
【解析】
组距为1，高度等于频率样，本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值；
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值,D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为
(万元)，超过6.5万元，C错；答案为C.
【真题9】（2020·全国新Ⅱ卷）（多选）我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（ ）
A．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;
B．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;
C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;
D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;
【答案】CD
【解析】
对A，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，
第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，A错；
对B，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，
这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;
对C，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，C正确;
对D，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，D正确;
【真题10】（2017·江苏）某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取 件.
【答案】18
【解析】
应从丙种型号的产品中抽取件，故答案为18．
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