/ 让教学更有效 精品试卷 |数学
第01讲 直线的方程
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线的倾斜角和斜率的概念 (2) 直线方程的形式 2024年北京卷5分2023年乙卷5分2022年II卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是直线的倾斜角和斜率的概念和直线方程的形式，主要考查过两点的直线斜率计算公式，直线倾斜角的计算，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式的运用.
(
考试要求
小
)
1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式；
2、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
(
考点突破考纲解读
)
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考点梳理
小
)
知识点1: 直线的方向向量
1、直线的方向向量
设为直线上的两点，则就是这条直线的 ；
直线的一个方向向量 ；
知识点2: 直线的倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角
（1）定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴与直线 的方向之间所成的角叫做直线的 ；
（2）范围： ；
2、直线的斜率
（1）把一条直线的倾斜角的 叫做这条直线的斜率，表示为；
（2）过两点的直线的斜率公式：
如果直线经过两点，其斜率为 ；
知识点3:直线方程的形式
1、五种直线方程
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题型展示
小
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题型一:直线的倾斜角和斜率
【例1】直线的倾斜角的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024温州模拟）直线的倾斜角的最小值是 .
题型二: 点到直线的距离
【例2】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
题型三: 直线方程的综合运用
【例3】设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
(
考场演练
)
【真题1】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2023·全国乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2022·全国新Ⅱ卷）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【真题4】（2021·全国乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【真题5】（2021·全国甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【真题6】（2020·全国）点(0,-1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【真题7】（2016·北京）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
【真题8】（2016·上海）已知平行直线，则的距离是 .
【真题9】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【真题10】（2016·北京）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
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第01讲 直线的方程
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 直线的倾斜角和斜率的概念 (2) 直线方程的形式 2024年北京卷5分2023年乙卷5分2022年II卷5分2021年甲卷5分2021年乙卷5分
（1）本讲为高考命题热点，题型以选择题、填空题为主； （2）重点是直线的倾斜角和斜率的概念和直线方程的形式，主要考查过两点的直线斜率计算公式，直线倾斜角的计算，直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式的运用.
(
考试要求
小
)
1、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率计算公式；
2、根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式）.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 直线的方向向量
1、直线的方向向量
设为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量；
直线的一个方向向量；
知识点2: 直线的倾斜角和斜率
2、直线的倾斜角
（1）定义：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴与直线逆时针的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角；
（2）范围：；
3、直线的斜率
（1）把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，表示为；
（2）过两点的直线的斜率公式：
如果直线经过两点，其斜率为；
知识点3:直线方程的形式
4、五种直线方程
(
题型展示
小
)
题型一:直线的倾斜角和斜率
【例1】直线的倾斜角的变化范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
，
；答案为B.
【变式1】（2024温州模拟）直线的倾斜角的最小值是 .
【答案】
【解析】
，
，倾斜角的最小值是；答案为.
题型二: 点到直线的距离
【例2】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，即，则其圆心坐标为，
则圆心到直线的距离为;答案为D.
【变式2】点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线的渐近线方程为：，
结合对称性考虑点到直线的距离：；答案为A.
题型三: 直线方程的综合运用
【例3】设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率;答案为C.
【变式3】图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】
设，则，
依题意，有，且，
，故，答案为D.
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考场演练
)
【真题1】（2024·北京）圆的圆心到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由题意得，即，则其圆心坐标为，
则圆心到直线的距离为;答案为D.
【真题2】（2023·全国乙卷）设O为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A，则直线OA的倾斜角不大于的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
区域表示以圆心，外圆半径，内圆半径的圆环，
则直线的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角，
结合对称性可得所求概率;答案为C.
【真题3】（2022·全国新Ⅱ卷）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为
．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
【答案】D
【解析】
设，则，
依题意，有，且，
，故，答案为D.
【真题4】（2021·全国乙卷）双曲线的右焦点到直线的距离为 ．
【答案】
【解析】
由已知，， 双曲线的右焦点为，
右焦点到直线的距离为，故答案为.
【真题5】（2021·全国甲卷）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
双曲线的渐近线方程为：，
结合对称性考虑点到直线的距离：；答案为A.
【真题6】（2020·全国）点(0,-1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】
由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，
点到直线距离最大，即为；答案为B.
【真题7】（2016·北京）已知A（2,5），B（4,1）.若点P（x,y）在线段AB上，则2x y的最大值为
A． 1 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【解析】
由题意得，线段AB的方程：，，
∴，
当时等号成立，即的最大值为7；答案为C.
【真题8】（2016·上海）已知平行直线，则的距离是 .
【答案】
【解析】
由两平行线间的距离公式得；答案为.
【真题9】（2016·全国）圆的圆心到直线的距离为1，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】
由配方得，所以圆心为，
圆的圆心到直线的距离为1，，解得，故选A.
【真题10】（2016·北京）圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
【答案】C
【解析】
圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知；答案为C.
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