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第01讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积
(
考纲导向
小
)
考点要求 考题统计 考情分析
(1) 空间几何体的结构特征 (2) 空间几何体的表面积和体积 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷5分2024年北京卷5分2023年I卷10分2023年乙卷5分2023年甲卷5分2023年天津卷5分
（1）本讲为新高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，近两年考查频率颇高； （2）重点是空间几何体的结构特征和空间几何体的表面积和体积，主要考查柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，球、柱体、锥体、棱台、圆台的表面积和体积的计算公式，用斜二测画法画出简单的空间图形的直观图.
(
考试要求
小
)
1、认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2、知道球、柱体、锥体、棱台、圆台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题；
3、能用斜二测画法画出简单的空间图形的直观图.
(
考点突破考纲解读
)
(
考点梳理
小
)
知识点1: 三视图
1、三视图
（1）三视图包括正视图、侧视图、俯视图；
（2）基本要求：长对正，高平齐，宽相等；
知识点2: 直观图
1、直观图
斜二测画法直观图面积与原图形面积的的关系：，；
知识点3: 表面积和体积公式
1、简单几何体的表面积和体积
(
题型展示
小
)
题型一: 空间几何体的结构特征
【例1】在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可知旋转后的几何体如图:
直角梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，
该组合体的体积为；答案为C.
【变式1】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
【答案】
【解析】
由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，
底面正方形的边长等于，该多面体的体积为
题型二: 求空间几何体的体积
【例2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
它们的侧面积相等，即，
，故圆锥的体积为；答案为B.
【变式2】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
依题意可知棱台的高为(m)，增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
答案为：C．
题型三: 求空间几何体的表面积
【例3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，
则，解得；答案为B.
【变式3】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
【答案】
【解析】
∵∴∴
∴.故答案为：.
(
考场演练
)
【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为，
它们的侧面积相等，即，
，故圆锥的体积为；答案为B.
【真题2】（2024·天津）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，
使得；;重合，，且两两之间距离为1．，
则形成的新组合体为一个三棱柱，
该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长，
；答案为C.
【真题3】（2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
【答案】
【解析】
由题可得两个圆台的高分别为，
；故答案为.
【真题4】（2024·北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【答案】 23 ；57.5/.
【解析】
设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则，
故，；故答案为.
【真题5】（2023·全国甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】
取中点，连接，如图，
是边长为2的等边三角形，，
，又平面，，平面，
又，，，即，
；答案为：A
【真题6】（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
在中，，而，取中点，连接，有，
，，由的面积为，得，
解得，于是，
圆锥的体积；答案为B.
【真题7】（2023·全国新Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【答案】ABD
【解析】
对A：，即球体的直径小于正方体的棱长，能够被整体放入正方体内，A正确；
对B：正方体的面对角线长为，且，能够被整体放入正方体内，B正确；
对C：正方体的体对角线长为，且，不能够被整体放入正方体内，C错；
对D：，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过的中点作，设，
可知，则，
即，解得，且，即，
故以为轴可能对称放置底面直径为圆柱，
若底面直径为的圆柱与正方体的上下底面均相切，
设圆柱的底面圆心，与正方体的下底面的切点为，
可知：，则，即，解得，
根据对称性可知圆柱的高为，
能够被整体放入正方体内，故D正确；答案为ABD.
【真题8】（2023·天津）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
如图，分别过作,垂足分别为，
过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为，
平面，平面，平面平面.
又平面平面，，平面，平面，且.
在中，，，，
在中，，，；答案为B.
【真题9】（2023·全国新Ⅰ卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【答案】/
【解析】
如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，
，
，
，则，
；故答案为：.
【真题10】（2023·全国甲卷）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
连结交于，连结，则为的中点，如图，
底面为正方形，，，则，
又，，，则，
又，，，则，
在中，，
则由余弦定理可得，
故，则，在中，，
，
又，所以，
的面积为.
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第01讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积
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考纲导向
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(1) 空间几何体的结构特征 (2) 空间几何体的表面积和体积 2024年I卷5分2024年甲卷5分2024年天津卷5分2024年北京卷5分2023年I卷10分2023年乙卷5分2023年甲卷5分2023年天津卷5分
（1）本讲为新高考命题热点，题型以选择题、填空题为主，近两年考查频率颇高； （2）重点是空间几何体的结构特征和空间几何体的表面积和体积，主要考查柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，球、柱体、锥体、棱台、圆台的表面积和体积的计算公式，用斜二测画法画出简单的空间图形的直观图.
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考试要求
小
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1、认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；
2、知道球、柱体、锥体、棱台、圆台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题；
3、能用斜二测画法画出简单的空间图形的直观图.
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考点突破考纲解读
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知识点1: 三视图
1、三视图
（1）三视图包括 、 、俯视图；
（2）基本要求： ， ，宽相等；
知识点2: 直观图
1、直观图
斜二测画法直观图面积与原图形面积的的关系： ，；
知识点3: 表面积和体积公式
1、简单几何体的表面积和体积
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题型一: 空间几何体的结构特征
【例1】在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ．
题型二: 求空间几何体的体积
【例2】（2024·全国新Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B． C． D．
题型三: 求空间几何体的表面积
【例3】已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为 .
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【真题1】（2024·全国新Ⅰ卷）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【真题2】（2024·天津）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（ ）
A． B． C． D．
【真题3】（2024·全国甲卷）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为 ．
【真题4】（2024·北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ．
【真题5】（2023·全国甲卷）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【真题6】（2023·全国乙卷）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【真题7】（2023·全国新Ⅰ卷）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为的球体
B．所有棱长均为的四面体
C．底面直径为，高为的圆柱体
D．底面直径为，高为的圆柱体
【真题8】（2023·天津）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
【真题9】（2023·全国新Ⅰ卷）在正四棱台中，，则该棱台的体积为 ．
【真题10】（2023·全国甲卷）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（ ）
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