《勾股定理的逆定理》学情分析
通过前面的学习， 学生已具备一些平面几何的知识， 能够进行一般的推理和论证，学习《勾股定理》以后学生已经初步体会用拼图来证明，是由“形”到“数”的过程；尽管已到初三下学期学生知识增多，能力增强，但思维的局限性还很大，能力也有差距，而勾股定理的逆定理的证明方法学生第一次见到，它要求根据已知条件构造一个直角三角形，根据学生的智能状况，学生不容易想到，因此勾股定理的逆定理的证明又是本节的难点，因此，我采用多媒体等手段，让学生动手、动口、动脑， 化难为易，深入浅出，让学生经历“情境——猜想——验证——生成”的学习过程，感受学习知识的乐趣。
效果分析
1、复习旧知，情境引入
前苏联心理学家维果茨基提出：在发展与教学的可能关系时，要使教育对学生的发展起主导和促进作用，就必须 学生发展的两种水平：一是其已经达到的发展水平，表现为学生能够独立解决问题的智力水平；二是其可能达到的发展水平，但要借成人的帮助，在集体活动中，通过模仿，才能达到解决问题的水平。这两种水平之间的区域，即“最近发展区”。 这里，我通过提问让学生积极主动地回忆、总结前面学过的旧知识，对这些知识进行归纳总结，结合上节课所学知识，看学生能否联想到用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现问题的能力．
2、探究新知，证明定理
《数学课程标准》指出：“学生是数学学习的主人，数学学习活动应该是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式”。 在这一环节中，我让学生先画两个特殊的三角形，由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求 数学问题的一般方法． 教师一定要摆脱以自我为中心的思维倾向，使教学激情随学生的思绪“飞”，把最精彩的“活”让给学生。
3、应用新知，升华提高
教育家陶行知这样说：“教育只有通过生活才能产生作用并真 为教育”。数学知识来源于生活实践，又服务于生活实践，它与实际生活联系十分密切，因此它的教学必须理论结合实际，学以致用。 在此环节中，为了得到 这一问题更有效、更简洁的 方法，我采用了由浅入深的问题设计思路，设计了一系列的问题，并在前一问题的基础上设计变式练习。回顾反思是学生忽视的一个学习环节。教学的最终目的不是看教师怎样去教，而是看学生怎样去学。教师作为教学的引导者、参与者和合作者，适时的点拨，适当的搭台阶，让学生在解决问题中感受数学，体验数学。教师对学生阐述的思路进行及时地加工与整合，帮助学生建立一个正确的数学观，引导学生进行反思。
《17．2勾股定理的逆定理》教学设计（第1课时）
一、三维目标
（一）、知识与技能
1．掌握直角三角形的判别条件．
2．掌握勾股定理的逆定理的探究方法．
（二）、过程与方法
1．用三边的数量关系来判断一个三角形是否为直角三角形，培养学生数形结合的思想．
2．通过对Rt△判别条件的研究，培养学生大胆猜想，勇于探索的创新精神．
（三）、情感态度与价值观
1．通过介绍有关历史资料，激发学生解决问题的愿望．
2．通过对勾股定理逆定理的探究；培养学生学习数学的兴趣和创新精神．
二、教学重点 探究勾股定理的逆定理，能运用“勾股定理的逆定理”解决简单的问题。
三、教学难点 归纳、猜想并证明勾股定理的逆定理
四、教具准备 多媒体课件．
五、教学过程
（一）、复习旧知，引入新课
活动1 （你能回答下列问题吗？）
1、请找出下列命题的题设和结论
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）对顶角相等
2、你能求出下列图形中正方形A和正方B的面积吗？
3、请叙述勾股定理的内容。
4、如果给你三边的长度，你能判断三角形的形状吗？
设计意图：通过对前面所学知识的复习，为本节课的新知生成做好铺垫，用三边的关系是否可以判断一个三角形为直角三角形，提高学生发现反思问题的能力．
（本活动，教师应重点关注学生： ①能否积极主动地回忆，总结前面学过的旧知识； ②能否“温故知新”．）
?（二）、创设情境，探究新知
活动2 问题：据说古埃及人用下图的方法画直角：把一根长蝇打上等距离的13个结，然后以3个结，4个结、5个结的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角．
这个问题意味着，如果围成的三角形的三边分别为3、4、5．有下面的关系“32＋42＝52”．那么围成的三角形是直角三角形．
我国古代大禹治水测量工程时,也用类似方法确定直角．你知道这是为什么吗？其中蕴涵什么道理？
实验操作：
（1）画一画，下列各组数中两个数的平方和等于第三个数的平方，分别以这些数为边长（单位：cm）画三角形：
①5，12，13；②7，24，25．
（2）量一量：用量角器分别测量上述各三角形的最大角的度数．
（3）猜一猜：判断这些三角形的形状，提出猜想．
是不是三角形的三边只要有两边的平方和等于第三边的平方，就能得到一个直角三角形呢?
（4）验一验：用几何画板课件改变三边关系，让学生观察三角形的形状。
师生活动：教师引导学生画三角形，并计算三边的数量关系，接着度量三角形最大角的度数，发现最大角为900，并猜想：如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形．把勾股定理记着命题1，猜想的结论作为命题2．
?设计意图：由特殊到一般，归纳猜想出“如果三角形三边a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形就为直角三角形的结论，培养学生动手操作能力和寻求解决数学问题的一般方法．（在本活动中，教师应重点关注学生：①能否积极动手参与．②能否从操作活动中，用数学语言归纳、猜想出结论．③学生是否有克服困难的勇气．）?
活动3 ?命题1和命题2的题设和结论分别是什么？
师生活动：学生独立思考回答问题，命题1的题设是直角三角形的两直角边分别，斜边为，结论是；命题2的题设是三角形三边长满足，结论是这个三角形是直角三角形．教师引导学生分析得出这两个命题的题设和结论正好是相反的．归纳出互逆命题概念：两个命题的题设和结论正好相反，象这样的两个命题叫做互逆命题，如果其中一个叫原命题，那么另一个就叫做它的逆命题．
活动4? 请同学们举出一些互逆命题，并思考：原命题正确，它的逆命题是否也正确呢？举例说明．
师生活动：学生分组讨论合作交流，然后举手发言，教师适时记下一些互逆命题，其中既包含有原命题、逆命题都成立的互逆命题，也包括原命题成立逆命题不成立的互逆命题．（如：①对顶角相等和相等的角是对顶角②两直线平行，内错角相等和内错角相等，两直线平行③全等三角形的对应角相等和对应角相等的三角形是全等三角形．）
?
追问： 在我们大家举出的互逆命题中原命题和逆命题都成立吗？
师生活动：学生举手发言回答，另一学生纠错．同时教师引导学生明确：（1）任何一个命题都有逆命题，（2）原命题是正确，逆命题不一定正确，原命题不正确，逆命题可能正确，（3）原命题与逆命题的关系就是命题中题设与结论“互换”的关系．
设计意图：让学生在合作交流的基础上明确互逆命题的概念，在生生互动的过程中掌握互逆命题的真假性是各自独立的．
（三）、合作探究，证明定理
?活动5? 原命题正确，它的逆命题不一定正确．那么勾股定理的逆命题正确吗？如果你认为是真确的，你能证明这个命题“如果三角形的三边长、b、c满足，那么这个三角形是直角三角形”吗？
师生活动：教师引导学生要证明一个命题是真命题，首先要分析命题的题设及结论，让学生独立画出图形，写出已知求证．
已知，如图，△ABC中，AB＝c，AC=b，BC＝，且，
求证：∠C＝900
设计意图：引导学生用图形和数学符号语言表示文字命题．
追问：要证明△ABC是直角三角形，只要证明∠C＝900，由已知能直接证吗？
师生活动：先让同学们进行小组内讨论，再让各小组展示各自的思路。
教师引导，如果能证明△ABC与一个以、b为直角边长的Rt△A/B/C/全等。那么就证明了△ABC是直角三角形，为此，可以先构造Rt△A/B/C/，使A/C/=b，B/C/＝，
∠C/＝900，再让学生小组讨论得出证明思路，证明了猜想的正确性．教师适时板书出规范的证明过程．
证明：作直角三角形,使,,，
????? 由勾股定理得，
????? ∴,
????? ∴,,
????? ∴是直角三角形．
?
教师在此基础上进一步指出，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，我们把上面所形成的这个定理叫做勾股定理的逆定理，称这两个定理为互逆定理．
设计意图：引导学生构造直角三角形，让学生体会这种证明思路的合理性，帮助学生突破难点．
（四）、巩固新知，应用定理
例1、判断由线段、b、c组成的三角形是不是直角三角形．
（1）＝15，b＝8，c＝17．
（2）＝5，b＝6，c＝10．
?例2、一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？
师生活动：学生独立完成，教师适时指导．在此活动中教师帮助学生分析得到：根据勾股定理的逆定理，只要一个三角形中两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，就可判断这个三角形是直角三角形；指导学生用几何语言规范地书写解题过程。
设计意图：通过练习，学会运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否为直角三角形．
? 变式练习：如图所示，四边形ABCD中∠DAB=90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，BC＝12，求四边形ABCD的面积。
（五）、构建框架，升华提高
（1）勾股定理的逆定理的内容是什么？
（2）原命题、逆命题之间的关系．
（3）用什么方法证明勾股定理的逆定理．?
【设计意图】回顾和梳理勾股定理的逆定理，会运用其解决一些问题，体会构造及数学建模思想．
（六）、目标检测设计
?1、三角形的三边分别是a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 ( )
（A）直角三角形; （B） 是锐角三角形;
（C）是钝角三角形; （D） 是等腰直角三角形.
2、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？ 。
①9，12，15； ②15，36，39； ③30，40，50； ④12，18，20
3、满足下列条件的△ABC，（ ）不是直角三角形。
（A）∠A+∠B=∠C （B）∠A：∠B：∠C=1:1:2
（C）a2=c2 + b2 （D）a:b:c=1:1:2
4、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,
且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
5、（选做题）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
设计意图：考查综合运用勾股定理及其逆定理解决问题．
《17.2勾股定理的逆定理》教材分析
勾股定理的逆定理是人教版八年级下册第17章第二节的内容，从教材编排上看共需两个课时，这是第一课时．本课探索勾股定理的逆定理，以及逆命题、逆定理的概念．
探索勾股定理的逆定理教材编写者是先从古埃及人画直角的方法说起，然后让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想:如果三角形的三边满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 此猜想是否正确，需要证明，教材编写者结合几何图形用几何语言表述此猜想：已知 的三边长分别为 ，且满足 ，则 是直角三角形．接着让学生画一个两条直角边长分别为 的直角三角形，再证明 与此直角三角形全等，从而证明了此猜想，得到勾股定理的逆定理．勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．教材编写者设置例题1，让学生学会运用这种方法判断三角形是否为直角三角形，通过小贴士在例1的旁边给出勾股数的概念，需要注意的是勾股数一定是三个正整数．
逆命题、逆定理的概念教材编写者是通过对照17．1节中命题1和本节中命题2的题设、结论，给出了原命题和逆命题、逆定理的概念：两个命题的题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题；如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理． 并举例说明原命题成立时其逆命题不一定成立．
观评记录
刘华菊（八年级数学教师）：整节课注重数学思想方法的渗透，强调勾股定理的内容是从形到数的过程，勾股定理的逆定理的内容是从数到形的过程，让学生体会到数形结合的数学思想方法；板书条理、干净，证明步骤书写规范，能起到良好的示范作用；巩固练习中能进行知识延伸，练习结合实例更利于学生对新知识的理解和掌握；本节课对互逆命题条件与结论的关系处理较弱，如果教师板书后再做强调会更好。
肖秀红（教研组长、七年级数学教师）：本节课按照“发现----猜想----验证----应用”的授课思路进行，符合学生的认知规律，在猜想、验证环节中注重学生动手能力的培养，也达到了本节课所设立的三维目标中的过程与方法目标和情感态度与价值观目标；本节课细节处理到位，对学生的回答及时点评、指正，充分体现了以学生为主体，以教师为主导的课堂教学观念；对于难点突破（勾股定理的逆定理的证明）太仓促，建议先让学生冷静思考再进行小组讨论，以加深学生对难点的理解与把握。
李文思（七年级数学教师）：本节课利用复习旧知和讲数学故事进行导入，不仅能够为本节课的知识生成做好铺垫，还能激发学生的求知欲提高学习兴趣；每个环节都能注重学生的参与，尤其是在对命题2的猜想和验证过程，教师引导学生先猜测命题2的内容，进而让学生动手画三角形用量角器去验证，再利用几何画板进行验证，最后通过小组讨论的方式得出命题2严谨的科学的证明过程，整个过程体现了以生为本的教学理念；不足之处在于对逆定理的证明过程处理不够仔细，学习有困难的学生可能存在理解不到位的情况。
王辉（六年级数学教师）：本节课始终渗透着数形结合的数学思想，对于勾股定理的逆定理没有直接给出，而是让学生动手画图猜测验证，发展了学生的思维能力，培养了思考问题的能力；课件制作形象、直观尤其是几何画板的运用恰当；教师对课堂的把握和驾驭能力强，既突出重难点又能把握细节的处理，及时对学生的回答进行点评，鼓励学生勇于克服困难；不足之处是对互逆命题的讲解稍弱，可以把两个互逆命题进行板书，这样会更直观形象。
宋双（六年级数学教师）：本节课的最大亮点是板书，不仅体现了教师的授课思路而且体现出知识之间的内在联系，课堂小结时板书又起到了画龙点睛的作用；导学案的设计思路清晰，练习题能够由浅入深，从知识点到练习题再到知识点最后到实际应用，引导学生层层深入，体验数学的实际功用；在对学生进行解题指导时，注重细节，规范学生的书写步骤，利用实物投影对学生的步骤进行展示点评，激励先进、鼓励后进。
17.2勾股定理的逆定理（导学案）
一、学习目标：
1、经历勾股定理的逆定理的探索过程，发展自己的推理能力。
2、掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单应用。
二、学习准备：
三角板、量角器、圆规
三、学习过程：
（一）回顾旧知
1、请找出下列命题的题设和结论
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）对顶角相等
2、你能求出下列图形中正方形A和正方B的面积吗？
3、请叙述勾股定理的内容。
（二）探索新知
1、请以5,12,13为三角形的边，画出三角形，并把边长标注在图上。
2、请写出下列命题的逆命题，并判断真假
（1）两直线平行，同位角相等。
（2）如果两个三角形三边对应相等，那么这两个三角形全等。
（3）对顶角相等
3、用符号语言表达“勾股定理的逆定理”
∵
∴
4、用一用
（练习一）
判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a=15 b=8 c=17 （2）a=5 b=6 c=10
（练习二）
如果三条线段a、b、c，满足a2=c2 — b2，这三条线段组成的三角形是直角三角形吗？为什么？
（三）应用新知
例：一个零件的形状如图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸如图所示，这个零件合格吗？
变式练习：如图所示，四边形ABCD中∠DAB=90°，AB＝3，AD＝4，CD＝13，BC＝12，求四边形ABCD的面积。
（四）测试反馈
1、三角形的三边分别是a,b,c,且满足等式(a+b)2-c2=2ab,则此三角形是 ( )
（A）直角三角形; （B） 是锐角三角形;
（C）是钝角三角形; （D） 是等腰直角三角形.
2、下列哪几组数据能作为直角三角形的三边长？ 。
①9，12，15； ②15，36，39； ③30，40，50； ④12，18，20
3、满足下列条件的△ABC，（ ）不是直角三角形。
（A）∠A+∠B=∠C （B）∠A：∠B：∠C=1:1:2
（C）a2=c2 + b2 （D）a:b:c=1:1:2
4、如图所示的一块草地，已知AD=4m,CD=3m,AB=12m,BC=13m,
且∠CDA=900,
求这块草地的面积。
5、（选做题）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？
《勾股定理的逆定理》课后反思
《勾股定理的逆定理》这节课的教学，我采用了体验探究的教学方式。在课堂教学中，我首先从复习学生已有的旧知识入手，然后创设情境，提出问题；再让学生动手画图、测量、判断、找规律，猜想出一般的结论，并且运用几何画板验证；最后由小组合作探究，用严谨的数学方法证明结论，使学生自始自终感悟、体验、尝试到了知识的生成与发展过程，品尝着成功后带来的乐趣。这不仅使学生学到获取知识的思维和方法，同时也体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，而且为学生今后获取知识以及探索、发现和创造打下了良好的基础，更增强了学生敢于实践、勇于探索、不断创新和努力学习数学知识的信心和勇气。
本节课由于探究内容偏多，课堂容量大，后半部分感觉仓促，留给学生的思考时间显得不足。回头反思，在证明勾股定理的逆定理时占用时间较多，互逆命题，原命题，逆命题，互逆定理，逆定理等概念的讲解可随题点化，而详细讲解、随堂练习可做为第二课时的重点，让出更多时间来做勾股定理逆定理的相应练习，特别是应加大有灵活度和难度生活习题的练习，拓宽学生知识面，提高学生的发散思维能力。
总之，课堂设计要做到重、难点突出，要从学生的学习实际出发，围绕授课重点做相应探究，练习，次重点可放在下个课时重点讲解，探究时间要预留充足，相应练习宁精勿多，注重四基才是根本。
《17．2勾股定理的逆定理》课标分析
人教版八年级下册17．2勾股定理的逆定理一节包括等内容．《课标》对勾股定理的逆定理一节相关内容提出的教学要求是：
1．经历勾股定理的逆定理的探索过程，知道勾股定理和勾股定理逆定理的联系和区别，能用勾股定理的逆定理解决一些简单的实际问题．
2．初步认识勾股定理的逆定理的重要意义，会用此定理判定直角三角形．
3．通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原命题成立时其逆命题不一定成立．
课标解读
1．把勾股定理的题设和结论交换，可以得到它的逆命题，这个逆命题是一个真命题．在这一对互逆定理中，勾股定理是直角三角形的一个性质定理，而其逆定理是直角三角形的一个判定定理．要通过这两个定理的学习，使学生进一步加深对性质和判定之间关系的认识．
2．勾股定理的逆定理所给出的判定一个三角形是直角三角形的方法，和前面学过的一些判定方法不同，它通过计算来作判断．学生对利用计算证明几何结论比较陌生，实际上计算在几何中也是很重要的．从数学方法这个意义上讲，学习勾股定理的逆定理，对拓展学生思维，进一步体会数学中的各种方法有很大的意义．
3．勾股定理的逆定理的证明对学生来说是一个难点，证明方法学生不太容易想到，在教学中应该注意启发、引导．勾股定理的逆定理的题设实际上是给出了三条边的条件，其形式和勾股定理的结论形式一致，便想到去证明在此条件下的三角形也必然是一个直角三角形．证明的途径是借助三角形全等，先作一个合适的直角三角形，然后证明有已知条件的三角形和次直角三角形全等．在作此直角三角形时，应根据已经学过的三角形的作法，不可以直接要求既作三边分别等于a、b、c，又有一个角是直角，这样条件太多不能保证作得出．
4．《课程标准》的要求是“结合具体事例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念．会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立”，不要求学生自己编制一个命题的逆命题，特别是条件和结论多于一个的命题的逆命题．事实上，学生在这部分内容学习中的困难主要源于对文字语言的理解能力、表述和句式的变换（简单句变换为复合句），加强文字语言与结合图形的符号语言之间的“翻译”，是帮助学生克服这种困难的有效途径．
