沪科版数学八年级上册 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 （含答案）
文档属性
| 名称 | 沪科版数学八年级上册 第13章三角形中的边角关系、命题与证明 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 358.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-14 10:07:00 | ||
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文档简介
第 13 章
知识点1 三角形中的边角关系
1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示.
2. 三角形按边长关系分类
3. 三角形中任何两边的和大于第三边.三角形中任何两边的差小于第三边.
4. 三角形按角的大小分类
5. 三角形的内角和等于180°.
6. 三角形中几条重要线段：角平分线、中线、高线.
练习
1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ( )
A.2,2,4 B.5,6,12 C.5,7,2 D.6,8,10
2. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3. 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则 ( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
4. 如图,点 D 在 BC 的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点 F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.70° C.75° D.85°
5. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C 的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
6. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC.已知∠A=74°,∠B=46°,则∠BDC的度数为 ( )
A.104° B.106° C.134° D.136°
7. 如图,在△ABC中,BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,若∠BIC=125°,则∠A= °.
8. 已知,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=60°,BD平分∠ABC,点P为边AC上一点,PO⊥BD,垂足为O,则∠APO 的度数为 .
9. 如图,将△ACB沿EF折叠,点C落在C'处.若∠BFE=65°.则∠BFC'的度数为 °.
10. 如图,在△ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高,若BC=6,AD=5,CE=4,则AB的长为 .
11. 如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且 则.
12. 如图,在△ABC中,AD 是BC边上的高,AE,BF 分别是∠BAC 和∠ABC的角平分线,它们相交于点O,∠AOB=125°,求∠CAD的度数.
13. 如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数.
(2)在△BED中,作BD边上的高.
(3)若△ABC的面积为40,BD=5,求△BDE中BD边上的高的长度.
C
知识点2 命题与证明
1. 对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.
2. 将命题“如果p，那么 q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.
3. 从基本事实或其他命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
4. 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
5. 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
6. 三角形内角和定理的推论：
推论1：直角三角形两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
练习
14. 下列命题中：①若 则 ②在同一平面内,若a⊥b,a⊥c,则b∥c;③若 ab=0,则P(a,b)表示原点;④的算术平方根是9.是真命题的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15. 能说明命题“若a>b,则 是假命题的反例是 ( )
A. a=2,b= -1 B. a= -1,b= -1 C. a= -1,b=0 D. a= -1,b= -2
16. 如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=32°,则∠C的度数是( )
A.64° B.32° C.30° D.40°
17. 如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上,点B落在直线b上,若∠1=15°,∠2=25°,则∠ABC的大小为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
18.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是 ( )
A.45° B.60° C.75° D.85°
19. 命题“内错角相等”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
20. 命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的条件为 .
21. 在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若 ACD 为直角三角形,则∠BCD的度数为 .
22. 如图,已知BD为△ABC中∠ABC的平分线,CD为△ABC的外角. 的平分线,与BD交于点D,若∠D=28°,则∠A= .
23. 补充完成下列证明，并填上推理的依据.
如图,已知∠1=∠2,∠A=∠F.
求证:∠C =∠D.
证明:因为∠1=∠2,(已知)∠1=∠3,(对顶角相等)
所以∠2=∠ .( )所以
( )
所以∠FEM=∠D.( )
因为∠A=∠F,( )
所以AC∥DF.( )
所以∠C=∠FEM.( )
又因为∠FEM=∠D,(已证)
所以∠C=∠D.(等量代换)
24. (1)如图,设 ,求证FG⊥AB.
(2)若把(1)中的题设 和结论中的. 对调后，命题还成立吗 请说明理由.
(3)若把(1)的题设中的∠1=∠3 与结论中的 3对调后，命题还成立吗 请说明理由.
25. 如图,CE 是 的外角 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点 E.
(1)若 求 的度数.
(2)请你写出. 三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程.
第 13章
1. D 2. C 3. D 4. B 5. C 6. A7.70 8.10°或170° 9.50 10.
11.3
12. 解:因为∠AOB=125°,所以∠OAB+∠OBA=55°,因为AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线.所以∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°,所以∠C=70°,
因为AD是BC边上的高,所以∠ADC=90°,所以∠CAD=20°.
13. 解:(1)因为∠AEB+∠ABE+∠BAE=180°,∠AEB+∠BED= 180°,
所以∠BED=∠ABE+∠BAE= 15°+40°=55°.
(2)如图,过 E 点作 EF⊥BC 于点 F,则 EF 即为所求.
(3)因为 AD 是△ABC 的中线,△ABC 的面积为 40,
所以 同理
由(2)知, 即 解得EF=4.
14. A 15. D 16. B 17. C 18. C
19.假 20. a+b=0 21.60°或10° 22.56°
23.解：3 等量代换 CE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 已知 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
24.解:(1)∵DE∥BC,∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3.∴∠2=∠3,∴CD∥FG.
∵CD⊥AB,∴FG⊥AB.
(2)成立，理由如下：
∵ FG⊥AB,CD⊥AB,.∴CD∥FG,
∴∠2=∠3.∵∠1=∠3,.∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
(3)成立，理由如下：
∵FG⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥FG,∴∠2=∠3.
∵DE∥BC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.
25. 解:(1)∵∠ECD=∠B+∠E,∠B=35°,∠E=25°,∴∠ECD=60°,
∵EC平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°.
(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如下:
∵∠BAC=∠ACE+∠E,∠ECD=∠ACE=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.
知识点1 三角形中的边角关系
1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形.三角形用符号“△”表示.
2. 三角形按边长关系分类
3. 三角形中任何两边的和大于第三边.三角形中任何两边的差小于第三边.
4. 三角形按角的大小分类
5. 三角形的内角和等于180°.
6. 三角形中几条重要线段：角平分线、中线、高线.
练习
1. 下列长度的三条线段，能组成三角形的是 ( )
A.2,2,4 B.5,6,12 C.5,7,2 D.6,8,10
2. 已知三角形的两边长分别为1和4，第三边长为整数，则该三角形的周长为 ( )
A.7 B.8 C.9 D.10
3. 在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则 ( )
A.必有一个内角等于30° B.必有一个内角等于45°
C.必有一个内角等于60° D.必有一个内角等于90°
4. 如图,点 D 在 BC 的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点 F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.70° C.75° D.85°
5. 如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,∠B=30°,∠ADC=70°,则∠C 的度数是( )
A.50° B.60° C.70° D.80°
6. 如图,在△ABC中,CD平分∠ACB,DE∥BC.已知∠A=74°,∠B=46°,则∠BDC的度数为 ( )
A.104° B.106° C.134° D.136°
7. 如图,在△ABC中,BI,CI分别平分∠ABC,∠ACB,若∠BIC=125°,则∠A= °.
8. 已知,在△ABC中,∠ABC=40°,∠BAC=60°,BD平分∠ABC,点P为边AC上一点,PO⊥BD,垂足为O,则∠APO 的度数为 .
9. 如图,将△ACB沿EF折叠,点C落在C'处.若∠BFE=65°.则∠BFC'的度数为 °.
10. 如图,在△ABC中,AD,CE分别为BC,AB边上的高,若BC=6,AD=5,CE=4,则AB的长为 .
11. 如图,在△ABC中E是BC上的一点,EC=2BE,点D是AC的中点,设△ABC,△ADF,△BEF的面积分别为S△ABC,S△ADF,S△BEF,且 则.
12. 如图,在△ABC中,AD 是BC边上的高,AE,BF 分别是∠BAC 和∠ABC的角平分线,它们相交于点O,∠AOB=125°,求∠CAD的度数.
13. 如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线.
(1)若∠ABE=15°,∠BAD=40°,求∠BED的度数.
(2)在△BED中,作BD边上的高.
(3)若△ABC的面积为40,BD=5,求△BDE中BD边上的高的长度.
C
知识点2 命题与证明
1. 对某一事件作出正确或不正确判断的语句(或式子)叫做命题.
2. 将命题“如果p，那么 q”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果q，那么p”，我们把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫做原命题，另一个就叫做原命题的逆命题.
3. 从基本事实或其他命题出发，用推理方法判断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫做定理.
4. 从已知条件出发，依据定义、基本事实、已证定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这一方法称为演绎推理，演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
5. 由三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
6. 三角形内角和定理的推论：
推论1：直角三角形两锐角互余.
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形.
推论3：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
推论4：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角.
练习
14. 下列命题中：①若 则 ②在同一平面内,若a⊥b,a⊥c,则b∥c;③若 ab=0,则P(a,b)表示原点;④的算术平方根是9.是真命题的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
15. 能说明命题“若a>b,则 是假命题的反例是 ( )
A. a=2,b= -1 B. a= -1,b= -1 C. a= -1,b=0 D. a= -1,b= -2
16. 如图,AD是△ABC的外角∠EAC的平分线,AD∥BC,∠B=32°,则∠C的度数是( )
A.64° B.32° C.30° D.40°
17. 如图,直线a∥b,Rt△ABC的直角顶点A落在直线a上,点B落在直线b上,若∠1=15°,∠2=25°,则∠ABC的大小为 ( )
A.40° B.45° C.50° D.55°
18.将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是 ( )
A.45° B.60° C.75° D.85°
19. 命题“内错角相等”的逆命题是 命题.(填“真”或“假”)
20. 命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的条件为 .
21. 在△ABC中,∠A=50°,∠B=30°,点D在AB边上,连接CD,若 ACD 为直角三角形,则∠BCD的度数为 .
22. 如图,已知BD为△ABC中∠ABC的平分线,CD为△ABC的外角. 的平分线,与BD交于点D,若∠D=28°,则∠A= .
23. 补充完成下列证明，并填上推理的依据.
如图,已知∠1=∠2,∠A=∠F.
求证:∠C =∠D.
证明:因为∠1=∠2,(已知)∠1=∠3,(对顶角相等)
所以∠2=∠ .( )所以
( )
所以∠FEM=∠D.( )
因为∠A=∠F,( )
所以AC∥DF.( )
所以∠C=∠FEM.( )
又因为∠FEM=∠D,(已证)
所以∠C=∠D.(等量代换)
24. (1)如图,设 ,求证FG⊥AB.
(2)若把(1)中的题设 和结论中的. 对调后，命题还成立吗 请说明理由.
(3)若把(1)的题设中的∠1=∠3 与结论中的 3对调后，命题还成立吗 请说明理由.
25. 如图,CE 是 的外角 的平分线，且CE 交BA 的延长线于点 E.
(1)若 求 的度数.
(2)请你写出. 三个角之间存在的等量关系，并写出证明过程.
第 13章
1. D 2. C 3. D 4. B 5. C 6. A7.70 8.10°或170° 9.50 10.
11.3
12. 解:因为∠AOB=125°,所以∠OAB+∠OBA=55°,因为AE,BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线.所以∠BAC+∠ABC=2(∠OAB+∠OBA)=110°,所以∠C=70°,
因为AD是BC边上的高,所以∠ADC=90°,所以∠CAD=20°.
13. 解:(1)因为∠AEB+∠ABE+∠BAE=180°,∠AEB+∠BED= 180°,
所以∠BED=∠ABE+∠BAE= 15°+40°=55°.
(2)如图,过 E 点作 EF⊥BC 于点 F,则 EF 即为所求.
(3)因为 AD 是△ABC 的中线,△ABC 的面积为 40,
所以 同理
由(2)知, 即 解得EF=4.
14. A 15. D 16. B 17. C 18. C
19.假 20. a+b=0 21.60°或10° 22.56°
23.解：3 等量代换 CE 同位角相等，两直线平行 两直线平行，同位角相等 已知 内错角相等，两直线平行 两直线平行，内错角相等
24.解:(1)∵DE∥BC,∴∠1=∠2.
∵∠1=∠3.∴∠2=∠3,∴CD∥FG.
∵CD⊥AB,∴FG⊥AB.
(2)成立，理由如下：
∵ FG⊥AB,CD⊥AB,.∴CD∥FG,
∴∠2=∠3.∵∠1=∠3,.∴∠1=∠2,∴DE∥BC.
(3)成立，理由如下：
∵FG⊥AB,CD⊥AB,∴CD∥FG,∴∠2=∠3.
∵DE∥BC,∴∠1=∠2,∴∠2=∠3.
25. 解:(1)∵∠ECD=∠B+∠E,∠B=35°,∠E=25°,∴∠ECD=60°,
∵EC平分∠ACD,∴∠ACE=∠ECD=60°,
∴∠BAC=∠ACE+∠E=60°+25°=85°.
(2)∠BAC=∠B+2∠E.证明如下:
∵∠BAC=∠ACE+∠E,∠ECD=∠ACE=∠B+∠E,
∴∠BAC=∠B+∠E+∠E=∠B+2∠E.