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课题：5.3.2 命题、定理、证明
教学目标：
1．理解命题、定理、证明的概念，能区分命题的题设和结论；
2．会判断命题的真假，能写出简单的推理过程．
重点：
命题的概念和区分命题的题设与结论.
难点：
表述推理过程．
教学流程：
一、情境引入
问题：下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
答案：有，没有，有，没有，没有，有，没有，有，
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
练习1：
判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；( )
（2）请画出两条互相平行的直线； ( )
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；( )
（4）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余.( )
答案：是，不是，不是，是
追问：你能举出一些命题的例子吗？
二、探究1
观察下面命题：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余；
问题1：命题是由几部分组成的？
命题由题设和结论两部分组成.
题设是已知事项，
结论是由已知事项推出的事项．
数学命题表达：
“如果……那么……”的形式
( http: / / www.21cnjy.com )
问题2：说一说下面命题的题设和结论？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余；
练习2：
请将下列命题改为：“如果……那么……”的形式：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）对顶角相等．
答：（1）两条平行线被第三条直线所截，如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（2）如果两个角是对顶角相等，那么这两个角相等．
三、探究2
情境回顾：
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；（有）
3. 两直线平行，同位角相等；（有）
6. 玫瑰花是动物；（有）
8. 若a2＝b2，则a＝b. （有）
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
问题：下面的命题，哪些是正确的，哪些是错误的？
1. 对顶角相等；
3. 两直线平行，同位角相等；
6. 玫瑰花是动物；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
答案：√，√，×，×
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
追问：你能再举出真命题和假命题的例子吗？
练习3：
判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 |a|＝|b|，那么a＝b；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
答：真命题，假命题，假命题，真命题，真命题
四、探究3
真命题：
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行
线中的一条，那么也垂直于另一条；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
定理：上面命题正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理．
※定理也可以作为继续推理的依据．
追问：你能说几个学习过的定理吗？
五、探究4
例：在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
问题：这是一个真命题，你说一说理由吗？
已知：b∥c，a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
又∵ b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2＝∠1＝90 （等量代换）．
∴∠1＝90 （垂直的定义）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
证明：一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
注意：判断一个命题是假命题，也可举出一个例子（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题
解：如图所示，
OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是假命题
练习4：
命题：“同位角相等”是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请用反例说明.
答：假命题，理由如下
如图所示，
∵∠1、∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角
且∠1≠∠2
∴“同位角相等”是假命题
六、应用提高
在下面的括号里，填上推理的依据.
已知：如图所示，∠1＝∠2，∠3＝∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1＝∠2（已知）
∠AEF＝∠1 （对顶角相等）；
∴∠AEF＝∠2 （等量代换）．
∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）．
∴∠BEF＝∠CFE （两直线平行，内错角相等）．
∵∠3＝∠4（已知）；
∴∠BEF－∠4＝∠CFE－∠3．
即∠GEF＝∠HFE （等式性质）．
∴EG∥FH （内错角相等，两直线平行）．
七、体验收获
今天我们学习了哪些知识？
1. 什么叫做命题？命题是由哪两部分组成的？
2. 举例说明什么是真命题，什么是假命题．如何判断一个命题的真假？
3. 谈一谈你对证明的理解.
八、达标测评
1.判断下列语句是不是命题？如果是命题，请判断其真假.
（1）两点之间，线段最短；
答：是命题，真命题
（2）请画出两条互相平行的直线；
答：不是命题
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；
答：不是命题
（4）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余．
答：是命题，真命题
（5）内错角相等
答：是命题，假命题
2.将下面推理过程，补充完整.
已知：如图，AB∥CD，∠A＝∠C，
求证：∠E＝∠F.
解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠C＝∠ABF(两直线平行，同位角相等)，
又∵∠A＝∠C(已知)，
∴∠A＝__∠ABF__(等量代换)，
∴AE∥FC(内错角相等，两直线平行)，
∴∠E＝∠F(两直线平行，内错角相等).
九、布置作业
教材24页习题5.3第12、13题．
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【义务教育教科书人教版七年级下册】
5.3.2 命题、定理、证明
学校：________
教师：________
情境引入
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
2. 画一个角等于已知角；
3. 两直线平行，同位角相等；
4. a、b两条直线平行吗？
5. 温柔的小莉；
6. 玫瑰花是动物；
7. 若a2＝4，求a的值；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
没有
有
没有
没有
有
没有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
练习1
判断下列语句是不是命题？
（1）两点之间，线段最短；( )
（2）请画出两条互相平行的直线； ( )
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；( )
（4）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余.( )
是
不是
不是
是
你能举出一些命题的例子吗？
探究1
观察下面命题：
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行；
（2）如果两个角的和是90 ，
那么这两个角互余；
命题是由几部分组成的？
命题由题设和结论两部分组成.
题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
数学命题表达：
如果……那么……
题设
结论
说一说下面命题的题设和结论？
练习2
请将下列命题改为：“如果……那么……”的形式：
（1）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（2）对顶角相等．
答：（1）两条平行线被第三条直线所截，如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补；
（2）如果两个角是对顶角相等，那么这两个角相等．
下列语句在表述形式上，哪些是对事情作了判断？哪些没有？
1. 对顶角相等；
3. 两直线平行，同位角相等；
6. 玫瑰花是动物；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
有
有
有
有
概念：像这样判断一件事情的语句，叫做命题.
探究2
情境回顾
下面的命题，哪些是正确的，哪些是错误的？
下面的命题，哪些是正确的，哪些是错误的？
1. 对顶角相等；
3. 两直线平行，同位角相等；
6. 玫瑰花是动物；
8. 若a2＝b2，则a＝b.
探究2
情境回顾
√
√
×
×
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题．
假命题：如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题．
你能再举出真命题和假命题的例子吗？
练习3
判断下列命题哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行
线中的一条，那么也垂直于另一条；
（2）如果两个角互补，那么它们是邻补角；
（3）如果 |a|=|b|，那么a=b；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
真命题
假命题
假命题
真命题
真命题
探究3
（1）在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行
线中的一条，那么也垂直于另一条；
（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；
（5）两点确定一条直线．
上面命题正确性是经过推理证实的，这样得到的真命题叫做定理．
※定理也可以作为继续推理的依据．
你能说几个学习过的定理吗？
探究4
在同一平面内，如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条.
已知：b∥c，a⊥b ．
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
又∵ b∥c（已知），
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）.
∴∠2=∠1=90 （等量代换）．
∴∠1=90 （垂直的定义）．
∴ a⊥c（垂直的定义）．
这是一个真命题，你说一说理由吗？
一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明.
探究4
判断一个命题是假命题，也可举出一个例子
（反例），它符合命题的题设，但不满足结论就可以了.
举反例说明：“相等的角是对顶角”是假命题
解：如图所示，
OC是∠AOB的平分线
∴ ∠1＝∠2
但∠1和∠2不是对顶角
∴“相等的角是对顶角”是假命题
练习4
命题：“同位角相等”是真命题吗？如果是，请说明理由；如果不是，请用反例说明.
答：假命题，理由如下
如图所示，
∵∠1、∠2是直线a、b被直线c所截形成的同位角
且∠1≠∠2
∴“同位角相等”是假命题
应用提高
在下面的括号里，填上推理的依据.
已知：如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，
求证：EG∥FH．
证明：∵∠1=∠2（已知）
∠AEF=∠1 （ ）；
∴∠AEF=∠2 （ ）．
∴AB∥CD （ ）．
∴∠BEF=∠CFE （ ）．
∵∠3=∠4（已知）；
∴∠BEF－∠4=∠CFE－∠3．
即∠GEF=∠HFE （ ）．
∴EG∥FH （ ）．
对顶角相等
等量代换
同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
等式性质
内错角相等，两直线平行
今天我们学习了哪些知识？
1. 什么叫做命题？命题是由哪两部分组成的？
2. 举例说明什么是真命题，什么是假命题．如何判断一个命题的真假？
3. 谈一谈你对证明的理解.
体验收获
达标测评
1.判断下列语句是不是命题？如果是命题，请判断其真假.
（1）两点之间，线段最短；
答：是命题，真命题
（2）请画出两条互相平行的直线；
答：不是命题
（3）过直线外一点作已知直线的垂线；
答：不是命题
（4）如果两个角的和是90 ，那么这两个角互余．
答：是命题，真命题
（5）内错角相等
答：是命题，假命题
达标测评
解：∵AB∥CD(已知)，
∴∠C=∠ABF( )，
又∵∠A=∠C(已知)，
∴∠A=__________( )，
∴AE∥FC( )，
∴∠E=∠F( ).
两直线平行，同位角相等
∠ABF
等量代换
内错角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
2.将下面推理过程，补充完整.
已知：如图，AB∥CD，∠A=∠C，
求证：∠E=∠F.
布置作业
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5.3.2 命题、定理、证明
班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________
一、填空题（每小题6分，共30分）
1.下列语句中，不是命题的是（ ）
A.内错角相等 B.如果a＋b＝0，那么a、b互为相反数
C.已知a2＝4，求a的值 D.这件衣服是红色的
2.命题“度数之和为180°的两个角互为补角”的题设是（ ）
A.180° B.两个角
C.度数之和为180° D.度数之和为180°的两个角
3.两条直线被第三条直线所截，则（ ）
A.同位角的邻补角相等
B.内错角的对顶角相等
C.同旁内角互补
D.如果有一对同旁内角互补，那么所有的同位角相等，内错角相等
4.下列命题是假命题的是( )
A.等角的补角相等 B.内错角相等
C.两点之间，线段最短 D.两点确定一条直线
5.如图，下列推理及所注明的理由都正确的是（ ）
A.因为DE∥BC，所以∠1＝∠C（同位角相等，两直线平行）
B.因为∠2＝∠3，所以DE∥BC（两直线平行，内错角相等）
C.因为DE∥BC，所以∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）
D.因为∠1＝∠C，所以DE∥BC（两直线平行，同位角相等） 第5题图
二、填空题（每小题6分，共30分）
6.“两数之和始终是正数”是________命题.
7.把命题“平行于同一条直线的两条直线互 ( http: / / www.21cnjy.com )相平行”改写成“如果……，那么……”的形式为_______________________________________________.2·1·c·n·j·y
8.如图，是我们生活中经常接触的小刀，刀片 ( http: / / www.21cnjy.com )的外形是一个直角梯形，刀片上、下是平行的，转动刀片时会形成∠1和∠2，则∠1＋∠2＝ 度.【来源：21·世纪·教育·网】
( http: / / www.21cnjy.com )
第8题图 第9题图
9.如图，AB∥CD，OE平分∠BOC，O ( http: / / www.21cnjy.com )F⊥OE, OP⊥CD，∠ABO＝40°，则下列结论：①∠BOE＝70°；②OF平分∠BOD；③∠POE＝∠BOF；④∠POB＝2∠DOF.其中正确结论有 （只填序号）21·世纪*教育网
10.已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c.
其中真命题的是 .（填写所有真命题的序号）
三、解答题（每小题20分，共40分）
11.如图, 已知∠1＋∠2＝180o, ∠3＝∠B, 试说明∠DEC＋∠C＝180o. 请完成下列填空：21世纪教育网版权所有
解：∵∠1＋∠2＝180o（已知）
又∵∠1＋ ＝180o（平角定义）
∴∠2＝ （同角的补角相等）
∴ （内错角相等，两直线平行）
∴∠3 ＝ （两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴ （等量代换） 第11题图
∴ ∥ （ ）
∴∠DEC＋∠C＝180o（ ）
12.已知，如图所示，DE⊥AC，∠AGF＝∠ABC，∠1＋∠2＝180°，试判断BF与AC的位置关系，并说明理由.21教育网
( http: / / www.21cnjy.com )
第12题图
( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】A.的理由应是两直线平行，同位角相等；
B.的理由应是内错角相等，两直线平行；
D.的理由应是同位角相等，两直线平行；
所以正确的是C.
二、填空题
6.假
【解析】举反例，如5＋（－6）＝－1
7.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【解析】“平行于同一条直线 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条直线互相平行”的题设为：两条直线都和第三条直线平行，结论为：这两条直线也互相平行.所以改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.21cnjy.com
8.90
【解析】如图所示，过M作MN∥a，则M ( http: / / www.21cnjy.com )N∥b，根据平行线的性质：两条直线平行，内错角相等.得∠1＝∠AMN，∠2＝∠BMN，∴∠1＋∠2＝∠3＝90°.21·cn·jy·com
9. ①②③
【解析】由于AB∥ CD，则∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )O＝∠BOD＝40°，利用平角等于得到∠BOC＝140°，再根据角平分线定义得到∠BOE＝70°；利用OF⊥OE，可计算出∠BOF＝20°，则∠BOF＝∠BOD，即OF平分∠BOD； 利用OP⊥CD，可计算出∠POE＝20°，则∠POE＝∠BOF； 根据∠POB＝70°﹣∠POE＝50°，∠DOF＝20°，可知④不正确.www.21-cn-jy.com
解：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠BOD＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOE＝×140°＝70°；所以①正确；
∵OF⊥OE，
∴∠EOF＝90°，
∴∠ BOF＝90°﹣70°＝20°，
∴∠BOF＝∠BOD，所以②正确；
∵OP⊥CD，
∴∠COP＝90°，
∴∠POE＝90°﹣∠EOC＝20°，
∴∠POE＝∠BOF； 所以③正确；
∴∠POB＝70°﹣∠POE＝50°，
而∠DOF＝20 °，所以④错误.
故答案为①②③.
10.①②④
【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案.
解：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；
②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确.
故答案为：①②④.
11. 答案见解析
【解析】
解：∵∠1＋∠2＝180°（已知）
又∵∠1＋ ∠4 ＝180°（平角定义）
∴∠2＝ ∠4 （同角的补角相等）
∴ AB∥EF （内错角相等，两直线平行）
∴∠3＝ ∠ADE （两直线平行，内错角相等）
又∵∠3＝∠B（已知）
∴ ∠ADE＝∠B （等量代换）
DE ∥ BC （ 同位角相等，两直线平行 ）
∴∠DEC＋∠C ＝180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
( http: / / www.21cnjy.com )
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