湖南省株洲市醴陵市城北中学2014-2015学年八年级下期中数学试卷【解析版】

2014-2015学年湖南省株洲市醴陵市城北中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是( )
A．a0=1 B．x2÷x3= C．（﹣）2=﹣ D．a4÷2﹣1=a4
2．下列因式分解中正确的是( )
A．a4﹣8a2+16=（a﹣4）2 B．﹣a2+a﹣=﹣（2a﹣1）2
C．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）=（a﹣b）（x﹣y） D．a4﹣b4=（a2+b2）（a2﹣b2）
3．计算：（﹣1）0+（0.25）2003 42003的结果为( )
A． B．﹣2 C．2 D．﹣2
4．要使的值为0，则m的值为( )
A．m=3 B．m=﹣3 C．m=±3 D．不存在
5．一件工作甲独完成需a小时，乙单独完成需b小时，甲、乙两个合作完成这件工作需要的时间为( )
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
6．满足等式：（﹣2）3 （﹣2）x=﹣的x的值为( )
A．﹣8 B．﹣5 C．5 D．3
7．当+=2时，代数式的值为( )
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
8．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称的图形是( )
A．平等四边形 B．等边三角形 C．正五边形 D．正方形
二、填空题．（每题3分，共24分）
9．下列各式、、（x+y）、、﹣3x2、0、中，是分式的有__________，是整式的有__________．
10．要使代数式有意义，x的取值范围是__________．
11．三角形三条中位线的长分别为3cm、4cm、5cm，则此三角形的面积为__________．
12．若a2x=25，则a﹣x等于__________．
13．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=__________．
14．若分式方程式无解，则m的值为__________．
15．如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=5，BC=13，则S平行四边形ABCD的值为__________．
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16．如图所示，在 ABCD中，AC=2 ( http: / / www.21cnjy.com )1cm，BE⊥AC于E，且BE=5cm，AD=7cm，则两条平行线AD与BC间的距离为__________．
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三、解答题．（共52分）
17．分解因式
（1）x2（a2﹣b2）+4x（b2﹣a2）﹣4（b2﹣a2）
（2）x3﹣2x2+3x．
18．（16分）（1）化简：﹣+a选一个你喜欢的a值，代入并求值．
（2）解方程：=﹣．
19．如图：已知 ABCD中，DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，求证：四边形DMBN为平行四边形．
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20．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
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21．甲、乙两地相距270km，现有两辆汽 ( http: / / www.21cnjy.com )车都从甲地开往乙地，大货车比小轿车早出发4.5h，最后两车同时到达乙地，已知小轿车和大货车的速度之比为5：2，求这两辆汽车的速度各是多少？
22．如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结DF并延长交AB的延长线于点G，请解答下列问题：
（1）△BFG≌△CFD吗？为什么？
（2）试说明EF=（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
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2014-2015学年湖南省株洲市醴陵市城北中学八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列计算正确的是( )
A．a0=1 B．x2÷x3= C．（﹣）2=﹣ D．a4÷2﹣1=a4
【考点】分式的乘除法；同底数幂的除法；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】根据零指数幂：a0=1（a≠0）可得A错误；根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减可得B正确；根据分式的乘方可得C错误；根据负整数整数指数幂可得2﹣1=，进而可得a4÷2﹣1=2a4，从而可得D错误．
【解答】解：A、a0=1，应说明a≠0，故此选项错误；
B、x2÷x3=，计算正确；
C、（﹣）2=，故原题计算错误；
D、a4÷2﹣1=2a4，故原题计算错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式的乘方、同底数幂除法、负整数指数幂、以及零次幂，关键是掌握各计算法则和公式．
2．下列因式分解中正确的是( )
A．a4﹣8a2+16=（a﹣4）2 B．﹣a2+a﹣=﹣（2a﹣1）2
C．x（a﹣b）﹣y（b﹣a）=（a﹣b）（x﹣y） D．a4﹣b4=（a2+b2）（a2﹣b2）
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为a4﹣8a2+16=（a2﹣4）2=（a+2）2（a﹣2）2，故本选项错误；
B、﹣a2+a﹣=﹣（2a﹣1）2，正确；
C、应为x（a﹣b）﹣y（b﹣a）=（a﹣b）（x+y），故本选项错误；
D、应为a4﹣b4=（a2+b2）（a﹣b）（a+b），故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了公式法提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．
3．计算：（﹣1）0+（0.25）2003 42003的结果为( )
A． B．﹣2 C．2 D．﹣2
【考点】幂的乘方与积的乘方；零指数幂．
【分析】分别进行零指数幂、幂的乘方和积的乘方等运算，然后合并．
【解答】解：原式=1+（0.25×4）2003
=1+1
=2．
故选C．
【点评】本题考查了幂的乘方和积的乘方和零指数幂的运算，解答本题的关键是掌握各知识点的运算法则．
4．要使的值为0，则m的值为( )
A．m=3 B．m=﹣3 C．m=±3 D．不存在
【考点】分式的值为零的条件．
【分析】根据分式值为0的条件可得m2﹣6m+9≠0，m2﹣9=0，再解出未知数m的值即可．
【解答】解：由题意得：m2﹣6m+9≠0，m2﹣9=0，
解得：m=﹣3，
故选：B．
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
5．一件工作甲独完成需a小时，乙单独完成需b小时，甲、乙两个合作完成这件工作需要的时间为( )
A．小时 B．小时 C．小时 D．小时
【考点】列代数式（分式）．
【分析】根据“工作量=工作效率×工作时间”得A的工作效率是，B的工作效率是，则可求得两人合作需要的时间．
【解答】解：A的工作效率是，B的工作效率是，则
两人合作需要的时间是=．
故选B．
【点评】本题考查了列代数式的知识，解题时要把工作总量看作单位1，注意根据公式进行灵活变形．最后要能够熟练化简繁分式：同乘ab．
6．满足等式：（﹣2）3 （﹣2）x=﹣的x的值为( )
A．﹣8 B．﹣5 C．5 D．3
【考点】同底数幂的乘法．
【分析】先变形化成同底数幂，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，即可得出方程3+x=﹣5，求出即可．
【解答】解：（﹣2）3 （﹣2）x=﹣，
（﹣2）3 （﹣2）x=（﹣2）﹣5，
（﹣2）3+x=（﹣2）﹣5，
3+x=﹣5，
x=﹣8．
故选A．
【点评】本题考查了同底数幂的乘法的应用，能得出方程3+x=﹣5是解此题的关键．
7．当+=2时，代数式的值为( )
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】分式的化简求值．
【分析】把已知的式子可以化成x+y=2xy，然后代入所求的式子进行化简即可．
【解答】解：∵+=2即=2，
∴x+y=2xy，
∴原式===1．
故选D．
【点评】本题考查了分式的化简求值，把已知的式子进行正确的化简是关键．
8．下列图形中既是中心对称图形，又是轴对称的图形是( )
A．平等四边形 B．等边三角形 C．正五边形 D．正方形
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．
【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；
B、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
D、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确．
故选D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
二、填空题．（每题3分，共24分）
9．下列各式、、（x+y）、、﹣3x2、0、中，是分式的有、，是整式的有、（x+y）、﹣3x2、0、．
【考点】分式的定义；整式．
【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【解答】解：、（x+y）、﹣3x2、0、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
、分母中含有字母，因此是分式．
故答案是：、；、（x+y）、﹣3x2、0、．
【点评】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．
10．要使代数式有意义，x的取值范围是x≥0且x≠1．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣1≠0，再解即可
【解答】解：由题意得：x≥0，且x﹣1≠0，
解得：x≥0且x≠1，
故答案为：x≥0且x≠1．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
11．三角形三条中位线的长分别为3cm、4cm、5cm，则此三角形的面积为24cm2．
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据三角形的中位线定理即可求得△ABC的各个边长，利用勾股定理的逆定理可以判断△ABC是直角三角形，则面积即可求解．
【解答】解：设中位线DE=3cm，DF=4cm，EF=5cm．
∵DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE=2×3=6cm．
同理：AC=2DF=8cm，AB=2EF=10cm．
∵62+82=100=102，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
∴S△ABC=AC BC=×6×8=24cm2．
故答案是：24cm2．
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【点评】本题主要考查了勾股定理，以及三角形的中位线定理，正确求得△ABC的边长，判断△ABC是直角三角形是解题关键．
12．若a2x=25，则a﹣x等于．
【考点】负整数指数幂．
【分析】首先由a2x=25可得ax=±5，再根据a﹣x=可得答案．
【解答】解：∵a2x=25，
∴ax=±5，
∴a﹣x=±．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握a﹣p=（a≠0，p为正整数）．
13．若x2﹣4x+m2是完全平方式，则m=±2．
【考点】完全平方式．
【分析】先根据已知平方项和乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵x2﹣4x+m2=x2﹣2x 2+m2，
∴m2=22=4，
∴m=±2．
故答案为：±2．
【点评】本题主要考查了完全平方式，根据平方项和乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
14．若分式方程式无解，则m的值为1．
【考点】分式方程的解．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x﹣2=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【解答】解：去分母得：x﹣1=m+2x﹣4，
把x=2代入得：2﹣1=m+4﹣4，
解得：m=1，
故答案为：1．
【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．
15．如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若AB=5，BC=13，则S平行四边形ABCD的值为60．
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【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【分析】由勾股定理求出AC，平行四边形的面积=AB×AC，即可得出结果．
【解答】解：∵CA⊥AB，AB=5，BC=13，
∴AC===12，
∴S平行四边形ABCD=AB×AC=5×12=60．
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的面积公式，由勾股定理求出AC是解决问题的关键．
16．如图所示，在 ABCD中，AC=21cm，BE⊥AC于E，且BE=5cm，AD=7cm，则两条平行线AD与BC间的距离为15cm．
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【考点】平行四边形的性质．
【分析】作AF⊥CB，交CB的延长线于F，则∠F=90°，证明△ACF∽△BCE，得出对应边成比例，即可求出AF，即为两条平行线AD与BC间的距离．
【解答】解：作AF⊥CB，交CB的延长线于F，如图所示：
则∠F=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=7cm，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠F=∠BEC，
又∵∠ACF=∠BCE，
∴△ACF∽△BCE，
∴，
即，
∴AF=15；
故答案为：15cm．
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【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．
三、解答题．（共52分）
17．分解因式
（1）x2（a2﹣b2）+4x（b2﹣a2）﹣4（b2﹣a2）
（2）x3﹣2x2+3x．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题；因式分解．
【分析】（1）原式变形后，提取公因式，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式=x ( http: / / www.21cnjy.com )2（a2﹣b2）﹣4x（a2﹣b2）+4（a2﹣b2）=（a2﹣b2）（x2﹣4x+4）=（a2﹣b2）（x﹣2）2；
（2）原式=x（x2﹣6x+9）=x（x﹣3）2．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（16分）（1）化简：﹣+a选一个你喜欢的a值，代入并求值．
（2）解方程：=﹣．
【考点】分式的化简求值；解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】（1）先进行同分母的减法运算，再把分子分解因式，然后约分得到原式=，再把满足条件的a的值代入计算即可；
（2）先把方程两边都乘以2（3x﹣1）得到整式方程，然后解整式方程后进行检验即可得到原方程的解．
【解答】解：（1）原式=﹣
=
=
=，
当a=0时，原式==﹣；
（2）去分母1=3x﹣1+4，
解得x=﹣，
检验：当x=﹣时，2（3x﹣1）≠0，x=﹣是原方程的解，
所以原方程的解为x=﹣．
【点评】本题考查了分式的化简求值：先把 ( http: / / www.21cnjy.com )分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了解分式方程．
19．如图：已知 ABCD中，DM⊥AC于M，BN⊥AC于N，求证：四边形DMBN为平行四边形．
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【考点】平行四边形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】由平行四边形的性质得出AD ( http: / / www.21cnjy.com )=BC，AD∥BC，由垂线的性质得出DM∥BN，由AAS证明△ADM≌△CBN，得出对应边相等DM=BN，即可得出结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAM=∠BCN，
∵DM⊥AC，BN⊥AC，
∴DM∥BN，∠AMD=∠CNB=90°，
在△ADM和△CBN中，
，
∴△ADM≌△CBN（AAS），
∴DM=BN，
∴四边形DMBN为平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定 ( http: / / www.21cnjy.com )与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等得出DM=BN是解决问题的关键．
20．如图，已知平行四边形ABCD，DE是∠ADC的角平分线，交BC于点E．
（1）求证：CD=CE；
（2）若BE=CE，∠B=80°，求∠DAE的度数．
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【考点】平行四边形的性质．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（1）根据DE是∠ADC的角平分线得到∠1=∠2，再根据平行四边形的性质得到∠1=∠3，所以∠2=∠3，根据等角对等边即可得证；
（2）先根据BE=CE结合CD=CE得到△A ( http: / / www.21cnjy.com )BE是等腰三角形，求出∠BAE的度数，再根据平行四边形邻角互补得到∠BAD=100°，所以∠DAE可求．
【解答】（1）证明：如图，在平行四边形ABCD中，
∵AD∥BC
∴∠1=∠3
又∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CD=CE；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，
又∵CD=CE，BE=CE，
∴AB=BE，
∴∠BAE=∠BEA．
∵∠B=80°，
∴∠BAE=50°，
∴∠DAE=180°﹣50°﹣80°=50°．
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【点评】（1）由角平分线得到相等的角，再利用平行四边形的性质和等角对等边的性质求解；
（2）根据“BE=CE”得出AB=BE是解决问题的关键．
21．甲、乙两地相距270 ( http: / / www.21cnjy.com )km，现有两辆汽车都从甲地开往乙地，大货车比小轿车早出发4.5h，最后两车同时到达乙地，已知小轿车和大货车的速度之比为5：2，求这两辆汽车的速度各是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】根据小轿车和大货 ( http: / / www.21cnjy.com )车的速度之比为5：2，设每一份为x，表示出小轿车和大货车的速度，根据大货车比小轿车早出发4.5h，最后两车同时到达乙地列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：设小轿车的速度是5x千米/时，则大货车的速度为2x千米/时，
依题意得：+4.5=，
解得x=18．
经检验，x=18是原方程的根，
则5x=90，2x=36．
答：小轿车的速度是90千米/时，则大货车的速度为36千米/时．
【点评】此题考查了分式方程的应用，利用 ( http: / / www.21cnjy.com )分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
22．如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AD，BC的中点，连结DF并延长交AB的延长线于点G，请解答下列问题：
（1）△BFG≌△CFD吗？为什么？
（2）试说明EF=（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
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【考点】梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】（1）根据平行线的性质和全等三角形的判定定理证明即可；
（2）根据全等三角形的性质和三角形中位线定理进行证明即可．
【解答】解：（1）△BFG≌△CFD，
∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠G，∠C=∠FBG，
在△BFG和△CFD中，
，
∴△BFG≌△CFD；
（2）∵△BFG≌△CFD，
∴BG=CD，
∵E，F分别为AD，BC的中点，
∴EF=AG，EF∥AB，又AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴EF=（AB+CD）且EF∥AB，EF∥CD．
【点评】本题考查的是梯形中位线定理、三角形中位线定理和全等三角形的判定定理和性质定理，掌握相关定理是解题的关键．