22.2二次函数与一元二次方程预习检测卷（含解析）-数学九年级上册人教版

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22.2二次函数与一元二次方程预习检测卷-数学九年级上册人教版
一、单选题
1．抛物线与x轴的交点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．二次函数的图象的最高点在轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．顶点坐标是
C．图象与轴交点的坐标是 D．图象在轴上截得的线段长度是4
4．已知抛物线与x轴交于，两点，则线段的长度为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．观察下面的表格：
判断方程的一个解的范围是（　　）
A． B． C． D．
6．如图是二次函数和一次函数的图象，观察图象，当时，x的取值范围是（ ）
A． B．或 C． D．
7．已知二次函数的图象交轴于，两点，若其图象上有且只有、、三点满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，抛物线与x轴交于点，顶点坐标，与y轴的交点在、之间（包含端点），则下列结论：①；②若，是抛物线上两点，则；③对于任意实数m，总成立；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．抛物线与坐标轴交点的个数为 ．
10．已知方程的两个解满足，则抛物线的对称轴为直线 ．
11．已知二次函数的图象与一次函数的图象有交点，则k的取值范围是 ．
12．已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ．
13．已知函数的大致图象如图所示，对于方程（m为实数），若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是 ．
14．已知，二次函数与x轴有两个交点、，则代数式的最小值是 ．
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线，则：
（1）该拋物线的对称轴为直线 ；
（2）已知该抛物线与轴有交点，现有点，若线段与拋物线只有一个公共点，结合函数图像，则的取值范围为 ．
16．已知二次函数的图象过定点，，下列结论：
①当时，该函数图象的顶点坐标为；②该函数图象与x轴始终有两个不同的交点；③当时，该函数在时，y随x增大而增大；④该函数图象截x轴所得线段长度小于．其中正确的结论是 ．（只填序号）
三、解答题
17．已知二次函数的顶点坐标为，求此二次函数的解析式，并求出该函数图像与x轴的交点坐标．
18．已知二次函数的图象如图所示．
(1)用配方法求该函数图象的顶点坐标和对称轴．
(2)结合函数图象，直接写出当时的取值范围．
19．已知关于x的方程．
(1)求证：不论m为任何实数， 此方程总有实数根；
(2)若抛物线与轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；
(3)若点与在（2）中抛物线上，且，求的值．
20．如图，抛物线与直线交于点A和点B，直线与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求点A的坐标，并结合图象直接写出关于x不等式的解集．
(3)若关于x的方程在的范围内只有一个实数根或两个相等的实数根，直接写出n的取值范围．
21．已知抛物线为常数，且与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与轴交于点，经过点B的直线与抛物线的另一交点为点D，与轴的交点为点．
(1)如图1，若点D的横坐标为3，试求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若，试确定a的值；
(3)如图3，在（1）的情形下，连接，，点P为抛物线在第一象限内的点，连接交于点Q，当取最大值时，试求点P的坐标．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B D B B B C C
1．C
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，抛物线与x轴的交点个数即为对应的一元二次方程实数解的个数，据此利用判别式求解即可．
【详解】解：由题意得，，
∴抛物线与x轴的交点个数是2个，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查二次函数图象与性质，由二次函数有最高点得到，求出抛物线顶点坐标为，由题意得方程求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键．
【详解】解：二次函数的图象有最高点，
二次函数图象开口向下，即，
二次函数的顶点坐标为，
当二次函数的图象的最高点在轴上时，，即，解得或（正值舍去），
故选：B．
3．D
【分析】根据得顶点坐标是， ，判定抛物线开口向下；令，得，图象与轴交点的坐标是；令，得，求得交点坐标，后计算距离解答即可．
本题考查了抛物线的开口，与坐标轴的交点，与x轴相交的两交点间的距离，熟练掌握性质和交点的计算是解题的关键．
【详解】解：根据得顶点坐标是， ，
∴抛物线开口向下；
故A，B错误；
令，得，
∴图象与轴交点的坐标是；
故C错误；
令，得，
解得，
∴，
故D正确，
故选D．
4．B
【分析】此题考查了抛物线与x轴的交点，解题的关键是根据抛物线的对称轴求出点A的坐标；
先求出抛物线的对称轴，再根据，两点，关于直线对称，求出A点的坐标，即可得出答案．
【详解】解：的对称轴为，
与关于直线对称．A点的坐标是∶，
线段的长度；
故选：B．
5．B
【分析】本题考查了求一元二次方程的近似解．根据表格中的数据，可以发现：时，；时，，故一元二次方程的一个解的范围是．
【详解】解：根据表格中的数据，知：
方程的一个解的范围是：．
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了二次函数与一次函数图象，根据图象得出二次函数和一次函数相交于两点的横坐标分别为，1，即可得．
【详解】解：根据图象得，二次函数和一次函数相交于两点，两点的横坐标分别为，1，
则当时，x的取值范围为或．
故选：B．
7．C
【分析】根据二次函数与轴的交点可知，，再利用数轴上两点之间的距离公式及二次函数的性质解答即可．本题考查二次函数图象上点的坐标特征，两点之间的距离公式，二次函数的性质，二次函数与方程，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．
【详解】解：∵二次函数的图象交轴于，两点，
∴，
解得，，
∴，，
∴，
∵，
∴抛物线顶点坐标为，
∴当点，，中有点为抛物线顶点时满足题意，
∴，
故选：．
8．C
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．根据二次函数的开口方向和对称轴可判断①；根据两个点离对对称轴的远近可判断②；根据抛物线的顶点坐标和开口方向可判断③；根据直线与抛物线的交点个数可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由图象知抛物线的开口向下，则，
∵抛物线的顶点坐标，
∴抛物线的对称轴为直线，则，
∴，故①正确；
∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，且，
∴，故②错误；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标，
∴当时，二次函数有最大值，
∴对于任意实数m，，即，
故③正确；
∵抛物线的开口向下，顶点坐标，
∴直线与抛物线有且只有一个交点，
则直线与抛物线有两个交点，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故④正确，
综上，结论正确的有3个，
故选：C．
9．
【分析】本题考查了抛物线与轴交点、二次函数图象上点的坐标特征，根据，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴有个交点；，抛物线与轴没有交点，来解决此题．
【详解】解：，，，
，
抛物线与轴交点的个数为，
当时，，
抛物线与轴交点的个数为，
抛物线与坐标轴交点的个数为；
故答案为：3．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线与轴的交点求对称轴是解题的关键．若抛物线与轴的交点为和，则其对称轴为直线，即可得解．
【详解】解：依题意，抛物线与轴的交点为和，
对称轴为直线，即，
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的交点问题，理解方程组的解与函数交点的关系是解题的关键．
联立两解析式，然后根据判别式大于等于0求解即可．
【详解】解：把代入得：，
整理得，
∵二次函数的图象与一次函数的图象有交点，
∴，解得：．
故答案为：．
12．/0.5
【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标．
根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值．
【详解】解：抛物线的顶点为点，
，
抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧），
，抛物线开口向上，
当时，，
整理得：，
解得，
点在点左侧，
，，
，
抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为，
，
，
∵四边形是正方形，
∴，
则，
，
经检验，是方程的解，也符合题意，
故答案为：．
13．4
【分析】此题考查函数图象的应用，解题的关键是求出函数与y轴的交点．先求出函数与y轴的交点，再根据函数图象的特点即可求解．
【详解】解：令得，，
所以函数的图象与y轴的交点坐标为．
方程的实数根可以看成函数的图象与直线交点的横坐标．
因为该方程恰有3个不相等的实数根，
所以函数的图象与直线有3个不同的交点．
如图所示，
当时，两个图象有3个不同的交点，
所以m的值为4．
故答案为：4．
14．18
【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，抛物线的图象与性质，先求解，，对称轴为直线，求解，结合，再建立二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
【详解】解：∵二次函数与x轴有两个交点、，
∴，，对称轴为直线，
∴顶点纵坐标为：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
当时，
的最小值为：；
故答案为：18．
15． 1 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与x轴交点，数形结合思想；
（1）把解析式配方即可求解；
（2）首先由抛物线与x轴有交点可确定m的取值范围为；分及两种情况讨论，结合图象即可求解．
【详解】解：（1）∵，
∴拋物线的对称轴为直线；
故答案为：1；
（2）∵抛物线与x轴有交点，
∴，
即；
当时，，即抛物线与y轴的交点C的坐标为，
∵点Q的纵坐标也为m，
∴抛物线与y轴的交点与点Q在同一直线上，即轴；
①当分时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
故答案为：1；
②当时，如图，
则或时，线段与抛物线只有一个公共点；
解得：或；
∴；
综上，满足条件的m取值范围为：或．
故答案为：或．
16．①③
【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标，两点间的距离公式，以及二次函数图象上点的坐标特征．①利用待定系数法求得，设，则，，则二次函数的解析式为，把，即代入求得解析式，利用顶点坐标公式解答即可；②求得判别式的值，即可判断；③首先求得对称轴，利用二次函数的性质解答即可；④令函数值为0，求得与轴交点坐标，利用两点间距离公式解决问题．
【详解】解：∵二次函数的图象过定点，，
∴，解得，
设，则，，
∴二次函数的解析式为，
当，即时，则，，
∴，
顶点坐标是；①正确；
∵，
∴该函数图象与x轴始终有交点，②不正确；
当即时，是一个开口向下的抛物线，其对称轴是：直线，在对称轴的左边随的增大而增大．
因为当时，，
∴该函数在时，y随x增大而增大；③正确；
令，有，
解得：，，
，
所以当时，函数图象截轴所得的线段长度大于，④错误；
综上，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
17．；
【分析】本题主要考查求二次函数解析式,与x轴交点坐标，解一元二次方程，根据顶点坐标求出关于为未知数的方程组，求出的值可得二次函数解析式，再令，利用因式分解法解方程求出x的值，进一步得出抛物线与x轴的交点坐标
【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为，
∴，
解得，，
∴二次函数解析式为：；
令，则，
则,
解得，
∴抛物线与x轴的交点坐标为
18．(1)顶点坐标为，对称轴为直线；
(2)或．
【分析】（）利用配方法把二次函数解析式转化为顶点式即可求解；
（）利用对称性求出抛物线与轴的另外一个交点坐标，再观察函数图象即可求解；
本题考查了二次函数的顶点式，二次函数与不等式，运用配方法把二次函数解析式转化为顶点式是解题的关键．
【详解】（1）解：，
∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
（2）解：根据函数的对称性，抛物线和轴的另外一个交点坐标为，
观察函数图象知，当时，的取值范围为或．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查一元二次方程以及一元二次函数，熟练掌握定理是解题的关键．
（1）计算一元二次方程的即可进行判断；
（2）令，解得 ，，求出即可得到答案；
（3）求出抛物线的对称轴为直线，得到点 P， Q关于直线 对称，即可得到答案．
【详解】（1）解：当时，原方程化为 此时方程有实数根．
当时，原方程为一元二次方程
此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程 总有实数根．
（2）解：令， 则
解得 ，．
抛物线与轴交于两个不同的整数点，且为正整数，
抛物线的解析式为．
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线．
点与在抛物线上， 点P，Q不重合， 且
点 P， Q关于直线 对称．
．
20．(1)，顶点坐标为
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数与不等式、用待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，（1）将点代入求得，再求得，再利用待定系数法求解即可；
（2）联立方程组求得，再根据图象求解即可；
（3）方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，在结合图象求解即可．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴．
当时，，
解得，
∴点．
将点代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点坐标为．
（2）解：∵直线与抛物线的交点在第三象限，
∴，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴，
∴，
∴点A的坐标为，
观察图象，得不等式的解集为或；
（3）解：方程在的范围内只有一个实数根，可以理解为抛物线与直线在的范围内只有一个交点，
如图，当时，直线与抛物线始终有一个交点；
当直线经过抛物线顶点时，直线与抛物线有一个交点，
∴n的取值范围为或．
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）令，则，求出，，将代入一次函数求出，从而得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（2）由（1）得：，，设点的坐标为，由得出点的横坐标为2，代入一次函数解析式得出点的坐标，再将的坐标代入二次函数即可得解；
（3）由（1）知：，，，得出，求出点的坐标得出，根据，得出关系式，根据二次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，令，则，
解得：，，
，，
将代入得：，
解得：，
，
点的横坐标为3，
当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
；
（2）解：由（1）得：，，
设点的坐标为，
，
为的中点，
在轴上，
，
，
在中，当时，，
，
将代入抛物线解析式得：，
解得：；
（3）解：由（1）知：，，，
，
在中，当时，，
，
，
设，
，
，
当时，的值最大，此时．
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的交点问题、二次函数综合—面积问题，待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质．熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
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