专项 集合创新题 课件(共20张PPT) 2024-2025学年数学-必修第一册-人教A版

(共20张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
专项 集合创新题
数学-必修第一册-人教A版
题型一 新定义运算
1.（2023山东省实验中学期中）设集合,,，集合 ，定义
,，则 子集的个数是( )
B
A. B. C. D.10
【解析】 因为,0,,,所以,0,1,2,, ,又
, ,
则有2种情况,有5种情况,则的元素个数有个,所以 子集的个数是
.
2.（2024上海市行知中学期末）定义集合运算，且为集合 与集
合的差集；定义集合运算为集合与集合 的对称差.有以下4
个等式，， ，
，则4个等式中恒成立的是( )
B
A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④
【解析】 由对称差的定义,知
,①正确；
由差集的定义,知 ,且
,且 ,
同理,则 ,
所以 ,表示的集合为图（1）中阴影部分所示,
同理 ,表示的集合也为图（1）中阴影部分所示,
所以 ,②正确；
结合②知 ,③正确；
,如图（2）阴影部分所示,
,如图（3）阴影部分所示,则
,④错误.
3.（2024上海复旦大学附属中学期中）设为全集，对集合， ，定义运算“*”，满足
.若集合，，， ，
则 __________.
【解析】 由于,,,,则 ,所
以,则 ,
因此 .
题型二 新定义关系
4.（2024陕西榆林期中）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”，
若两个集合有公共元素，且互不为对方的子集，则称两个集合构成“蚕食”.对于集合
,，,，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则 的取值集
合为( )
C
A.,} B. C.,, D.{,
【解析】 分, 两种情况讨论.
当时, ,此时 ,即两个集合构成“鲸吞”；
当时,, },此时两个集合不能构成“鲸吞”,则两个集合构成“蚕食”,所以
或,解得或 ,
当时,,,两个集合构成“蚕食”,当时,, ,两个集合构成“蚕食”.
综上可得，的取值集合为,, .
5.（2023山东德州一中月考）设是整数集的一个非空子集，若存在 ，满足
或，则称是含“姊妹元素”的集合.对于给定的集合 ，
由的3个元素构成的所有子集中,含“姊妹元素”的集合 共有____ 个.
16
【解析】 由中的3个元素构成的子集有,,,,, ,
,,,,,,,,,,, ,
, ,共20个,
其中不含“姊妹元素”的集合有,,, ，共4个,所以含“姊妹元素”的
集合共有 个.
6.（2023广东梅州期末）是正整数集的非空子集，称集合, ，且
为集合的生成集.当时，集合的生成集_______；若 是由5个正
整数构成的集合，则其生成集 中元素个数的最小值为 ___ .
4
【解析】 若,则,,,所以 .
若是由5个正整数构成的集合,不妨设中元素为 ,且
,
可得,则 中至少有4个元素.
例如,则 ,
,,,此时 ，有4
个元素,所以生成集 中元素个数的最小值为4.
题型三 新定义概念
7.（2024山西省际名校联考）设是一个数集，且至少含有两个数，若对任意的, ，
都有,,,（除数），则称 是一个数域，则下列集合为数域的是
( )
C
A. B. C. D., }
【解析】 1,,但,故 不是数域,A错误,同理B错误；
任意的,,都有,,,,故 是一个数域,C正确；
对于集合,,,但,故, }不是数域,D错误.
8.（2024广东佛山一中月考，多选）给定数集，若对于任意， ，都有
，且，则称集合 为闭集合，则下列说法正确的是( )
BC
A.集合，，0，2， 为闭集合
B.整数集是闭集合
C.集合， }为闭集合
D.若集合，为闭集合，则 也为闭集合
【解析】 ,,,但 ；
整数加减整数的结果为整数；
的倍数的整数加减结果为3的倍数的整数；
如,,,},其中, ,
.
9.（2024浙江杭州期中）定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族.
定义2：集合的一个拓扑是以的子集为元素的一个族.它满足以下条件：和 都
在中；的任意子集的并集在中；的任意有限子集的交集在 中.
（1）族,，族，判断族与族是否为集合 的拓扑；
【解】经检验,族和族满足定义2中的三个条件,则族,,
都是集合 的拓扑.
（2）设有限集 为全集，
（ⅰ）证明 ；
【证明】 设,则 ,
故存在整数使,因此,得 .
设,则存在整数使,故 ,
因此 ,
得 ,即证.
（ⅱ）族 为集合的一个拓扑，证明：由族 所有元素的补集构成的族为集合 的
一个拓扑.
因为,,,,所以, ,符合条件①；
设,, ,为的任意子集,则,, ,,
由知 ,
因为,所以 ,符合条件③；
,
因为,所以 ,符合条件②.即证.
题型四 新定义性质
10.（2024上海市位育中学期中）设全集 ，对其子集引进“势”的概念：①
空集的“势”最小；②非空子集中的元素越多，其“势”越大；③若两个子集中的元素个数
相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，若最大的元素相同，则第二大的
元素越大，子集的“势”就越大，依次类推.若将全集 全部的子集按“势”从小到大的顺序
排列，则排在第12位的子集是______ .
【解析】 元素个数为0的集合有1个, ；
元素个数为1的集合有5个,,,,, ；
元素个数为2的集合有10个,,,,,,,,,, .所以排
在第12位的子集是 .
11.（2024北京四中期中）若非空数集满足,,都有，则称集合 为无和集.
（1）判断集合， 是否为无和集，直接写出结论；
【解】集合是无和集,集合 不是无和集.
（2）给定正整数，集合，满足,2,,，且 ，求证：集
合， 不可能都是无和集；
假设,都是无和集,且,2,,, .
因为,所以1和2不能属于同一集合,不妨设,,又,所以 ,则
,,所以,则 ,
此时如果,则,则不是无和集,如果,则,则 不是无和集,与假
设矛盾,所以集合, 不可能都是无和集.
（3）给定正整数，集合,2, ,，且为无和集，求集合 中元素个数的
最大值（用含 的表达式表示）.
当集合是由,2,3, , 中所有偶数组成的集合时,不符合无和集的定义,则可
设集合是由,2,3, ,中所有奇数组成的集合,易知集合是无和集.下面说明 是集
合 元素个数最多的情况.
假设加任意一个偶数到集合中,由于,因此1和 中有一个不属于
集合,即集合中的奇数至少减去一个,则元素个数不会比 中元素个数多.
故是偶数时,中元素个数的最大值为；是奇数时,中元素个数的最大值为 .
谢谢
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