“简易逻辑”习题课

第二十六教时
教材：“简易逻辑”习题课
目的：通过习题的讲解与练习，努力达到熟练技巧。
过程：
一、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：
1．p：李明是高中一年级学生 q：李明是共青团员
解：p或q：李明是高中一年级学生或是共青团员
p且q：李明是高中一年级学生且是共青团员
非p：李明不是高中一年级学生
2．p： q：是无理数
解：p或q：是大于2或是无理数
p且q：是大于2且是无理数
非p： 不大于2
3．p：平行四边形对角线相等 q：平行四边形对角线互相平分
解：p或q：平行四边形对角线相等或互相平分
p且q：平行四边形对角线相等且互相平分
非p： 平行四边形对角线不一定相等
4．p：10是自然数 q：10是偶数
解：p或q：10是自然数或是偶数
p且q：10是自然数且是偶数
非p： 10不是自然数
二、分别指出下列复合命题的构成形式及构成它的简单命题：
1．x=2或x=3是方程x25x+6=0的根
解： p：x=2是方程x25x+6=0的根 q：x=3是方程x25x+6=0的根
是p或q的形式
2．既大于3又是无理数
解： p：大于3 q：是无理数 是p且q的形式
3．直角不等于90
解： p：直角等于90 是非p形式
4．x+1≥x3
解： p：x+1>x3 q：x+1=x3 是p或q的形式
5．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。
解： p：垂直于弦的直径平分这条弦
q：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧 是p且q的形式
三、分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题,并判断它们的真假：
1．p：末位数字是0的自然数能被5整除 q：5{x|x2+3x10=0}
解：p或q：末位数字是0的自然数能被5整除或5{x|x2+3x10=0}
p且q：末位数字是0的自然数能被5整除且5{x|x2+3x10=0}
非p：末位数字是0的自然数不能被5整除
∵p真q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
2．p：四边都相等的四边形是正方形 q：四个角都相等的四边形是正方形
解：p或q：四边都相等的四边形是正方形或四个角都相等的四边形是正方形
p且q：四边都相等的四边形是正方形且四个角都相等的四边形是正方形
非p：四边都相等的四边形不是正方形
∵p假q假 ∴“p或q” 为假，“ p且q”为假，“非p”为真。
3．p：0 q：{x|x23x5<0} R
解：p或q： 0或{x|x23x5<0} R
p且q： 0且{x|x23x5<0} R
非p： 0
∵p假q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为真。
4．p：5≤5 q：27不是质数
解：p或q：5≤5或27不是质数
p且q：5≤5且27不是质数
非p： 5>5
∵p真 q真 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为真，“非p”为假。
5．p：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x| x<4或x> 2}
解：p或q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
p且q：不等式x2+2x8<0的解集是：{x|4 2}
非p：不等式x2+2x8<0的解集不是：{x|4∵p真 q假 ∴“p或q” 为真，“ p且q”为假，“非p”为假。
四、把下列改写成“若p则q”的形式，并判断它们的真假：
1．实数的平方是非负数。
解：若一个数是实数，则它的平方是非负数。（真命题）
2．等底等高的两个三角形是全等三角形。
解：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形。（假命题）
3．被6整除的数既被3整除又被2整除。
解：若一个数能被6整除，则它能被3整除又能被2整除。（真命题）
4．弦的垂直平分线经过圆心，并平分弦所对的弧。
解：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧。 （真命题）
五、写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：
1．面积相等的两个三角形是全等三角形。
解：逆命题：两个全等三角形面积相等。（真命题）
否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形。（真命题）
逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等。（假命题）
2．若x=0则xy=0。
解：逆命题：若xy=0则x=0。（假命题）
否命题：若x0则xy0。（假命题）
逆否命题：若xy0则x0。（真命题）
3．当c<0时，若ac>bc则a解：逆命题：当c<0时，若abc。（真命题）
否命题：当c<0时，若ac≤bc则a≥b。（真命题）
逆否命题：当c<0时，若a≥b则ac≤bc。（真命题）
4．若mn<0，则方程mx2x+n=0有两个不相等的实数根。
解：逆命题：若方程mx2x+n=0有两个不等实数根，则mn<0。（假命题）
否命题：若mn≥0，则方程mx2x+n=0没有两个不等实数根。（假命题）
逆否命题：若方程mx2x+n=0没有两个不等实数根，则mn≥0。（真命题）
六、写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假：
1．若x,y都是奇数，则x+y是偶数。
解：命题的否定：x,y都是奇数且x+y不是偶数。（假命题）
否命题：若x,y不都是奇数，则x+y不是偶数。（假命题）
2．若xy=0则x=0或y=0
解：命题的否定：xy=0且x0又y0。（假命题）
否命题：若xy0则x0且y0。（真命题）
七、用反证法证明：
1．已知a与b均为有理数，且和都是无理数，证明+也是无理数。
证明：假设+是有理数，则（+）（）=ab
由a>0, b>0 则+>0 即+0
∴ ∵a,bQ 且+Q
∴Q 即（）Q
这样（+）+（）=2Q
从而 Q （矛盾） ∴+是无理数。
2．在同一平面内一直线的垂线与斜线一定相交。
证明： 假设l1与l2不相交，则l1∥l2
如图，设l1与l2相交所得的一对同位角为1和2
则1=2 ∵l2是l的斜线 ∴290
从而 190
说明l1与l的交角不是直角，这与l1l矛盾
∴l1和l2一定相交。
八、指出下列各组命题中p是q的什么条件（充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件）：
1．p：a2>b2 q：a>b 则p是q的 既不充分也不必要条件 。
2．p：{x|x>2或x<3} q：{x|x2x6<0} 则p是q的 必要而不充分条件 。
3．p：a与b都是奇数 q：a+b是偶数 则p是q的 充分不必要条件 。
4．p：0则p是q的 充要条件 。
九、判断下列命题的真假：
1．(x2)(x+3)=0是(x2)2+(y+3)2=0的充要条件。
解：是假命题。反例；若x=2, y3
2．x2=4x+5是 x的必要条件。
解：是假命题。{x| x2=4x+5}={1,5} {x| x}={0,5}
3．内错角相等是两直线平行的充分条件。
解：是真命题。
4．ab<0是 |a+b|<|ab| 的必要而不充分条件。
解：是假命题。|ab|>|a+b|≥0 (ab)2>(a+b)2 a22ab+b2> a2+2ab+b2
4ab<0 ab<0 ∴(ab<0是 |a+b|<|ab| 的充要条件)
十、已知关于x的方程 (1a)x2+(a+2)x4=0 aR 求：
1) 方程有两个正根的充要条件；
2) 方程至少有一个正根的充要条件。
解：1) 方程(1a)x2+(a+2)x4=0有两个实根的充要条件是：
即：
即： a≥10或a≤2且a1
设此时方程两根为x1，x2 ∴有两正根的充要条件是：
12) 从1)知1当a=1时, 方程化为 3x4=0有一个正根x=
方程有一正、一负根的充要条件是：
a<1
综上：方程(1a)x2+(a+2)x4=0至少有一正根的充要条件是a≤2或a≥10。
l2 l1
2 1
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