江苏省南京市零模2025届高三学情调研数学试题（含答案）

江苏省南京市零模 2025 届高三学情调研
数学试题及参考答案
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
2
1.已知集合 A x x 3 0 ， B x x 5x 4 0 ，则 A B （ ）
A. ，1 B. ，3 C. 3， D. 4，
x x y
2.已知 a 4， log a 3 y，则 a （ ）
A.5 B.6 C.7 D.12

3.已知 a 3 b 1 ， .若 a 2b a，则 cos a,b （ ）
3 3 3 3
A. B. C. D.
2 3 3 2
4.已知数列 an 为等差数列，前 n项和为 Sn .若 S3 6， S6 3，则 S9 （ ）
A. 18 B. 9 C.9 D.18
5.若 是第二象限， 4sin 2 tan ，则 tan （ ）
7 7
A. 7 B. C. D. 7
7 7
6.甲、乙、丙、丁共 4 名同学参加某知识竞赛，已决出了第 1 名到第 4 名（没有并列名次）.
甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，
你没有得到第 1 名”.从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为（ ）
A. 4 B.6 C.8 D.12
7.若正四棱锥的高为8，且所有顶点都在半径为5的球面上，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A. 24 B.32 C.96 D.128
2
8.已知抛物线C：y 8x的焦点为 F ，准线为 l，点 P在C行，点Q在 l上.若 PF 2QF ，
PF QF ，则 PFQ的面积为（ ）
25
A. B. 25 55C. D.55
4 2
1
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6分，共 18 分，在每小题给出的四个选
项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上，全部选对得 6
分，部分选对得部分分，不选或有错选的得 0分.
9.已知复数 z，下列命题正确的是（ ）
A.若 z 1 R，则 z R B.若 z i R，则 z的虚部为 1
2
C.若 z 1,则 z 1 D.若 z R，则 z R
10.对于随机事件 A,B，若 P A 2 , P B 3 ， P B A 1 ，则（ ）
5 5 4
A. P AB 3 B. P AB 1 9 C.P A B D.P AB 1
20 6 10 2
11.设函数 f x 1 8 ，则（ ）
sin x cos x
k
A. f x 的定义域为 x ,k Z B. f x 的图象关于 x 对称
2 4
C. f x 的最小值为5 5 D.方程 f x 12在 0,2 上所有根的和为8
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.请把答案填写在答题卡
相应位置上.
6

12. 2 x
1
展开式中的常数项是 .
x
13.与圆柱底面成 45°角的平面截圆柱得到如图所示的几何体，截面上的点到圆柱底面距离
的最大值为 4，最小值为 2，则该几何体的体积为 .
14.已知椭圆C的左、右焦点分别为 F1 ,F2，上顶点为B，直线 BF2与C相交于另一点 A，
当 cos F1AB最小时，C的离心率为 .
2
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时
应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分 13 分）
小王早晨 7:30 从甲出发上班，有 A,B两个出行方案供其选择，他统计了最近 100 天分别
选择 A,B两个出行方案到达单位的时间，制成如下表格：
（1）判断并说明理由：是否有 95%的把握认为在 8点前到单位与方案选择有关；
（2）小王准备下周一选择 A 方案上班，下周二至下周五选择 B 方案上班，记小王下周一
至下周五这五天中，8 点前到单位的天数为随机变量 X ，若用频率估计概率，求 P X 3 .
2 n ad bc
2
附： ，其中 n a b c d .a b c d a c b d
16.（本小题满分 15 分）
如图，在四面体 ABCD中， ACD是边长为 3的正三角形， ABC是以 AB为斜边的等
腰直角三角形， E,F分别为线段 AB,BC的中点， AM 2MD ,CN 2ND .
（1）求证： EF∥平面MNB；
（2）若平面 ACD 平面 ABC，求直线 BD与平面MNB所成角的正弦值.
3
17.（本小题满分 15 分）
n n
已知数列 an , bn ， an 1 2 ，bn an 1 an 0 ，且 bn 为等比数列.
（1）求 的值；
（2）记数列 bn n 2 *的前 n项和为Tn，若Ti Ti 2 15Ti 1 i N ，求 i的值.
18.（本小题满分 17 分）
x 2 y 2
已知 F1 ,F2 是双曲线 C： 2 2 1 a 0,b 0 的左、右焦点， F1F2 2 6 ，点a b
T 2 6, 10 在C上.
（1）求C的方程；
（2）设直线 l过点D 1，0 ，且与C交于 A,B两点.
①若DA 3DB，求 F1F2A的面积；
②以线段 AB为直径的圆交 x轴于 P,Q两点，若 PQ 2，求直线 l的方程.
19.（本小题满分 17 分）
已知函数 f x e x a ax 2 3ax 1,a R .
（1）当 a 1时，求曲线 y f x 在 x 1处切线的方程；
（2）当 a 1时，试判断 f x 在 1， 上零点的个数，并说明理由.
4
参考答案
一、选择题
二、选择题
三、填空题
12. 240 13.3 314.
3
四、解答题
15.解：（1）假设H 0 ：8点前到单位与方案选择无关，则
2 100 28 30 12 30
2 800
3.94 3.841.
40 60 42 58 203
∴有 95%的把握认为 8点前到单位与路线选择有关.
（2）选择 A 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.7，
选则 B 方案上班，8 点前到单位的概率为 0.5.
当 X 3时，则分两种情况：
2 2 2 21
①若周一 8 点前到单位，则 P1 0.7 C4 1 0.5 0.5 .80
P 1 0.7 C 3 1 0.5 0.53 6②若周一 8 点前没有到单位，则 2 4 .80
综上， P X 3 27 P1 P2 .80
16.解：（1）∵ E,F分别为线段 AB,BC的中点，∴ EF∥ AC .
∵ AM 2MD ,CN DM DN 1 2ND，即 ,∴MN∥ AC，∴ EF∥MN .
DA DC 3
又MN 平面MNB， EF 平面MNB，∴EF∥平面MNB .
（2）取 AC中点O，连接DO,OE .
∵ ACD为正三角形，∴DO AC .
∵平面 ACD⊥平面 ABC，平面 ACD∩平面 ABC AC，DO 平面 ACD，
5
∴DO 平面 ABC .
∵O,E分别为 AC, AB中点，∴OE∥BC .
又∵ AC BC，∴OE AC .
以O为坐标原点，
OE,OC,OD所在直线分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，

D 0 0 3 3 B 3 3 ,0 M 0 1 , 3 1 则 ，， ， ， ， ， ，N 0，，3 ，
2 2 2 2
故 BM 3， 2，3 ，MN 0，1，0 ,BD 3 3 3 3， , .
2 2
设平面MNB 的法向量为 n x, y, z ，直线BD与平面MNB所成角为 ，
n

BM 3x 2y 3z 0
n 则 ，取 3,0,3 . n MN y 0
9 3
3 3 0
sin cos BD,n
BD n 2
则 2 .
BD n 9 9 27
8
3 9
4 4
∴直线 BD与平面MNB 2所成角的正弦值为 .
8
17.解：（1）∵ an 1 n 2n，则 a1 1,a2 5,a3 7,a4 17 .
又bn an 1 an，
则b1 a2 a1 5 ，b2 a3 a2 7 5 ，b3 a4 a3 17 7 .
∵ b 2n 为等比数列，则b2 b1 b3，即 7 5 2 5 17 7 .
2
整理得 2 0，解得 1或 2 .
∵ 0，故 2 .
2 b n 1 n 1 n n n当 时， n an 1 2an 1 2 2 1 2 3 1 .
bn 1 3 1 n 1则 1，故 b 为等比数列，∴ 2符合题意.
bn 3 1 n n
6
（2）b n 2n 3 1 n n 2 ，
当 n为偶数时，
Tn 3 12 22 32 42 3 n 1 2 n 2 3 1 2 n n n 1 2
当 n为奇数时，
Tn Tn 1 b
3 3
n 1 n 1 2 n 1 n 2 3 n 1 2 n n 1 .2 2
3
n n 1 ， n为奇数
综上，T 2n ，
3
n n 1 ， n为偶数 2
∵Ti Ti 2 0，又Ti Ti 2 15Ti 1，∴Ti 1 0，∴ i我偶数，
3
∴ i i 1
3
i 2 i 3

15
3
i 1 i 2 ，
2 2 2
2
整理得 i 3i 10 0，解得 i 2或 i 5（舍），∴ i 2 .
18.解：（1）由题意可知 c 6 ，点T 在C行，根据双曲线的定义可知 TF1 TF2 2a，
即 2a 3 6 2 10 2 2 26 10 4 2 2 2，∴ a 2，则b c a 2，
2 2
∴C x y的方程为 1.
4 2
（2）①设B x0 , y0 ，DB x0 1, y0 . ∵DA 3DB，∴DA 3x0 3,3y0 ，
∴A点坐标为 3x0 2,3y0 .
x 2 2
0
y
0 1
4 2
∵ A,B 在双曲线C上，∴ 2 2 3x0 2 3y0 ，
1 4 2
10 3 10
解得 x0 3, y0 ，∴ A点坐标为 7， ，2 2
S 1 y F F 1 3 10∴ F F A A 1 2 2 6 3 15 .1 2 2 2 2
7
②当直线 l与 y轴垂直时，此时 PQ 4不满足条件.
设直线 l的方程为 x ty 1， A x1 , y1 ，B x2 , y2 ， P xP ,0 ，Q xQ ,0 .
x 2 y 2
l C 14 2 2 2直线 与 联立 ，消去 x，得 t 2 y 2ty 3 0，
x ty 1
∴ y 2t 31 y2 2 ，y1 y .t 2 2 t 2 2
4t 2 12 t 2 2 0 2 3 2
由 ，得 t 且 t 2.
2 t 2 0 2
以 AB为直径的圆方程为 x x1 x x2 y y1 y y2 0，
令 y 0 2，可得 x x1 x2 x x1x2 y1 y2 0，则 xP , xQ为方程的两个根，
∴ xP xQ x1 x2，xP xQ x1x2 y1 y2 ，
2 2
∴ PQ xP xQ xP xQ 4xP xQ x1 x2 4 x1x2 y1 y2
x x 2 4y y t 2 y y 21 2 1 2 1 2 4y1 y2
4 2
t 2 y y 2 4 t 2 1 y y 4t 12 t 1 16t
4 12t 2 24
1 2 1 2 2 2 2 . t 2 2 t 2 t 2 2 2
t 2 2 t 2 5 15解得 （舍）或 ，即 t ，
3 3
∴直线 l的方程为：3x 15y 3 0 .
x 1 2 x 1
19.解：（1）当 a 1时， f x e x 3x 1，则 f x e 2x 3，
∴曲线 y f x 在 x 1处切线的斜率 k f 1 0 .
又∵ f 1 0，∴曲线 y f x 在 x 1处切线的方程为 y 0 .
（2） f 1 e1 a 2a 1， f x e x a 2ax 3a，则 f 1 e1 a a，
x a
当 a 1时， f x e 2a 0，则 f x 在 1， 上单调递增.
∵ f 1 e1 a a e1 1 1 0， f a 1 2a 2 3a 2a 1 a 1 0，
∴存在唯一的 x0 1,a ，使得 f x0 0 .
8
当 x 1, x0 时， f x 0，∴ f x 在 1，x0 上单调递减；
当 x x0， 时， f x 0，∴ f x 在 x0， 上单调递增.
1 a
又∵ f 1 e 2a 1 e0 2 1 0，∴ f x0 f 1 0 .
f 3 e3 a又∵ 1 0，∴当 a 1时， f x 在 1， 上有且只有一个零点.
a 1 f 1 e1 a（3）①当 时， 2a 1 e0 2 1 0，
与当 x 0时， f x 0矛盾，∴ a 1不满足题意.
②当 a 1 f 0 e a时， 1 0，
f x e x a 2ax 3a， f x e x a 2a， f 0 e a 2a .
x
记函数 q x e 2x , x 1，则 q x e x 2，
当 x ln 2,1 时， q x 0，∴ q x 在 ln 2,1 单调递增；
当 x ， ln 2 时， q x 0，∴ q x 在 ， ln 2 单调递减.
∴ q x q ln 2 2 2ln 2 0，∴ f 0 0 .
又∵ f x 在 0， 上单调递增，
∴ f x f 0 0，∴ f x 在 0， 上单调递增，
（ⅰ）若 f 0 e a 3a 0，则 f x f 0 0，∴ f x 在 0， 上单调递增，
则 f x f 0 0，符合题意；
a
（ⅱ）若 f 0 e 3a 0，可得 a 0，则0 a 1.
∵ f 1 e1 a a 0，且 f x 在 0， 上单调递增，
∴存在唯一的 x1 0,1 ，使得 f x1 0 .
当 x 0, x1 时， f x 0，∴ f x 在 0, x1 上单调递减；
当 x x1， 时， f x 0，∴ f x 在 x1， 上单调递增，
其中 x1 0,1 ，且 e x1 a 2ax1 3a 0 .
9
f x f x e x1 a∴ 1 ax 21 3ax1 1
3a 2ax1 ax
2
1 3ax1 1 ax
2
1 8ax1 3a 1 a x 21 5x1 3 1，
x 0,1 2∵ 1 ，∴ x1 5x1 3 1,3 .
又∵ a 0,1 ，∴ a x 21 5x1 3 1.
∴ f x 0，满足题意.
结合①②可知，当 a 1时，满足题意.
综上， a的取值范围为 ，1 .
10