不等式的基本性质 学情分析
1．知识基础
学生已经深入、系统的学习了等式的基本性质的相关知识，且了解了类比思想、数形结合思想和分类讨论的三大数学思想，还熟知数学中的三大数学语言：文字语言、图形语言和几何语言。同时还具备了有条理地思考与表达的能力，为本节的学习奠定了基础。在本节知识的教学中要利用学生已有的知识，类比等式的基本性质来探究，这样易于学生对新知识的接受。
2. 活动经验
通过初中近一年多的学习，学生已经在观察、类比、探索等活动中，获得了一定的数学活动经验和体验。通过动手参与，培养了学生的合作意识和分析、抽象概括的能力。
不等式的基本性质 效果分析
本节课我采用类比等式性质的方法引导学生的自主探究活动，教给学生类比、猜想、验证的问题研究方法，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯。利用学生的好奇心设疑、解疑，鼓励学生大胆积极参与，使学生在自主探究和合作交流中理解和掌握本节课的内容。
课上我注重知识的形成过程，以不等式的基本性质的形成为主线，给学生充分从事数学活动和互相交流的机会。根据学生的差异性，设计了不同层次的练习题，满足多层次学习的需要，使不同学生在数学上有不同的发展。
在教学中我采用让学生师徒学习和探究式教学方法，让整个探究学习的过程充满师生之间，生生之间的交流和互动。体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者，是参与探究的重要一员；学生是学习的主体的理念。??让学生通过类比已学的等式的性质去尝试猜想不等式的基本性质，让学生感受发现新知识探索新知识的成就感和乐趣。通过他们自己的猜想和验证，本节课大部分学生都能比较好地理解和掌握了不等式的基本性质，尤其是不等式的基本性质3，在通过与等式的性质2类比后，归纳出不等式的性质，应分成两种情况来讨论，大部分学生都有比较切身的体验。通过这节课类比教学的尝试，发现以往学生比较容易忘掉乘以（或除以）是负数时情况所造成的错误，在本班学生中出现的比较少。
由于录课教室缺少黑板，所以缺少学生大面积的黑板展示和展示后的交流学习。后面练习题处理的比较仓促，若能针对学生的情况开展一对一的师徒学习活动，效果会更好。
不等式的基本性质 教学设计
【教学目标】
（一）知识与技能
1．掌握不等式的三条基本性质。
2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。
（二）过程与方法
1．通过类比等式的基本性质，探索不等式的基本性质，进一步体会类比、数形结合和分类讨论的数学思想。
2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。
（三）情感态度与价值观
通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。
【教学重难点】
教学重点： 探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。
教学难点： 不等式基本性质3的探索与运用。
【教学过程】
（一）创设情景，引入新知
PPT出示小幽默，由两个学生分别饰演兄弟俩。哥哥（7岁）：我比你大两岁。弟弟（5岁）：三年后我就比你大了。
师：你是如何看待哥俩的对话的？
生：弟弟年龄在增长的同时哥哥的年龄也在增长。
师：要是弟弟顿悟这个道理的话会很失望吧。你能用数学知识解释这个问题吗？那就请跟我一起学习不等式的基本性质吧。
【设计意图】通过哥弟俩幽默的对话，再次体会生活中处处有数学，且利用数学可以解决生活中的实际问题，还能自然的引出今天的所学的内容，同时为探索不等式的基本性质1提供验证的方向和素材。
（二）合作探究，领略新知
探究一．不等式的基本性质1
你能用式子表示哥俩现在的年龄关系吗？三年后呢？半年后呢？两年前呢？x年后呢？仔细观察后四个式子与第一个式子相比式子的两边各发生了怎样的变化？不等号的方向改变了吗？通过以上式子你得到的规律是什么？
生：不等式两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
师：刚才同学们准确的表述了不等式的基本性质1，我们还可以利用数轴简洁明了的表示不等式的基本性质1。（借助PPT得出不等式基本性质1的符号语言：如果a＞b,那么a±c＞b±c）
师：由不等式的基本性质1，我想到了等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。请观察这两个性质有没有本质上的不同之处。
生：……
师： “＝”没有方向性，所以可以说所得结果仍是等式，而不等号：“＞，＜，≥，≤”具有方向性，我们研究不等式的基本性质应该重点研究它在方向上的变化。
【设计意图】通过得到的不等式总结归纳不等式的基本性质1，提高学生的观察、归纳、表达能力。同时类比等式的基本性质1，重点强调研究不等式的基本性质应该重点研究它在方向上的变化。为后面探索不等式的基本性质2提供方法，指明研究重点，更好的突破难点。向学生逐步的渗透三种数学语言：文字语言、图形语言、符号语言三者之间的练习和转化，为后面的探究做好铺垫。
探究二．不等式的基本性质2，不等式的基本性质3
不等式还有其他的基本性质吗？你能类比等式的基本性质2，探究不等式的基本性质吗？
先独立思考，再小组交流得到的结论。并把得到的结论用符号语言在学案上写出，最后小组代表展示交流。
在讨论交流的时候，教师要引导学生展开议论、交流合作，激励他们从多个角度进行探索、验证。同时关注学生个体差异，实施有效指导。这样，在师生的共同努力下，得到了不等式的基本性质2和不等式的基本性质3，学生在探索中体会到成功的乐趣！
让学生观察两个性质的不同之处，再一次体会和强化不等号符号的变化情况。
【设计意图】
1.引导学生把二者进行比较，有助于加深对不等式基本性质的理解，促成知识的“正迁移”。
2.让学生在探索的过程中进一步体会类比方法在数学中的应用，提高数学学习能力和技巧。
3.通过实物投影展示小组交流的成果，让学生在说、写和交流的过程中强化正确的认识，矫正错误的认识，补偿未得到的认识，共享成功的体验，并形成较完整的知识结构。
典例分析
例 将下列不等式化成“x＜a”或“x＞a”的形式：
x-5>-1; (2)-2x>3 教师引导学生观察每个问题应该应用不等式的哪条基本性质。由学生思考后口答。教师板书规范的解题步骤。
巩固练习：将下列不等式化成"x＜a"或"x＞a"的形式： (1)-8x>10； (2)2x-1>3x-2.
（三）应用迁移，训练思维
为了培养数学应用意识。我按照：“理解→掌握→运用”的梯度设计了以下练习题。
1.已知a＜b，用“＞”或“＜”填空；
a-3 b-3 (2)6a 6b (3)-a -b (4)a-b 0 (5) 3a+1 3b+1
2. 判断正误,并说明理由.
(1)已知2x+1＞2y+1,则x＞y. ( )
(2)已知a+8＞4 , 可得a＞-4. ( )
(3)已知-3m＞-3n,可得 m＞n. ( )
(4)若a＞b，则ac＞bc. ( )
(5)若a＞b,则ac2＞bc2.
(6)已知4a＞5a，两边同除a,得:4＞5.
3. 若（m-1）x < m-1，则x>1，那么m满足（ ）
A m<-1 B m>-1 C m<1 D m>1
变式练习：
1.若（m-1）x < m-1，则x<1，那么m满足（ ）
2.若m≠1,（m-1）x < (m-1) y.试比较x和y的大小.
【设计意图】根据因材施教，面向全体的原则，分层练习，满足多层次学习的需要，让不同的人在数学得到不同的发展。通过变式训练，加深学生对新知的理解，培养学生分析、探究问题的能力。
（四）总结反思，拓展升华
一个完美的数学学习过程，是在学习与反思中达到理性数学与现实生活统一的。我引导学生从知识、思想方法等方面小结，使学生提升对本课新知的认识，培养学生良好的反思意识。
这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？教师引导学生回顾、思考、交流。
【设计意图】回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络。
附：导学案
《11.2不等式的基本性质》导学案
学习目标：
通过等式的基本性质，探索不等式的基本性质，进一步体会类比和数形结合的数学思想。
运用不等式的基本性质对不等式进行变形。
通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。
学习过程
不等式的基本性质1：
符号语言：
二．探索不等式的基本性质2、3.
填写下表：
不等式
不等式的两边都乘（或除以）同一个数
结果
与原不等式比较不等号的方向是否改变了
7 ＞ 4
除以2
3.5＞2
没有改变
-8＜2
0.3＜6
-1＞-3
5＞0
-6＜0.9
你得到了什么结论？
三．练习.
1.将下列不等式化成"x＜a"或"x＞a"的形式： (1)-8x>10； (2)2x-1>3x-2.
2.已知a＜b，用“＞”或“＜”填空；
（1）a-3 b-3 (2) 6a 6b (3)-a -b (4) a-b 0 (5) 3a+1 3b+1
3. 判断正误,并说明理由.
(1)已知2x+1＞2y+1,则x＞y. ( )
(2)已知a+8＞4 , 可得a＞-4. ( )
(3)已知-3m＞-3n,可得 m＞n. ( )
(4)若a＞b，则ac＞bc. ( )
(5)若a＞b,则ac2＞bc2.
(6)已知4a＞5a，两边同除a,得:4＞5.
4. 若（m-1）x < m-1，则x>1，那么m满足（ ）
A m<-1 B m>-1 C m<1 D m>1
变式练习：
1.若（m-1）x < m-1，则x<1，那么m满足（ ）
2.若m≠1,（m-1）x < (m-1) y.试比较x和y的大小.
【设计意图】根据因材施教，面向全体的原则，分层练习，
四．小结。
课件14张PPT。义务教育教科书（五·四学制）七年级下册等式的基本性质1 等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，
不等号的方向不变。不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，
不等号的方向不变。a＞bb+ca+ca+c＞b+ca-c＞b-ca-cb-c不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，
不等号的方向不变。如果a＞b,那么a±c＞b±c符号语言：等式的基本性质2 等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。探索发现不等式的基本性质2不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。不等式的基本性质3不等式的基本性质2不等式的基本性质3不等式的基本性质1不等式的两边都加（或减）同一个整式，
不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，
不等号的方向不变。不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变。 解：(1)根据不等式基本性质1，两边都加5,得：
x-5+5>-1+5
即
x>4 例 将下列不等式化成"x＜a"或"x＞a"的形式： (1)x-5>-1； (2)-2x>3.
解：(1)根据不等式基本性质3，两边都除以-2,得：
x<-
将下列不等式化成"x＜a"或"x＞a"的形式： (1)-8x>10； (2)2x-1>3x-2.
练习：已知a＜b，用“＞”或“＜”填空；
a-3 b-3 (2)6a 6b
(3)-a -b (4)a-b 0
(5) 3a+1 3b+1
解：(1) 因为a＜b,两边都减去3，由不等式基本性质1,得a-3＜b-3
＜＜＞＜＜ 判断正误,并说明理由.
(1)已知a+8＞4 , 可得a＞-4. ( )
(2)已知-3m＞-3n,可得 m＞n. ( )√ ×(4)若a＞b，则ac＞bc. ( )×(5)若a＞b,则ac2＞bc2. ( )×(6)已知4a＞5a，两边同除a,得:4＞5. ( )×(3)已知2x+1＞2y+1,则x＞y. ( )√ 若（m-1）x < m-1，则x>1，那么m满足（ ）
A m<-1 B m>-1 C m<1 D m>1 C1.若（m-1）x < m-1，则x<1，那么m满足（ ）
D变式练习：2.若m≠1,（m-1）x < (m-1) y.试比较x和y的大小.
通过本节课的学习，你对不等式有了哪些新的认识？
在探究不等式的基本性质的过程中，你用到了那些思想方法？ 你还有什么问题吗？不等式的基本性质 教材分析
一、教材分析
1．从在教材中的地位与作用来看
初中阶段对不等式的研究以一元一次不等式和一元一次不等式组的解集及应用为主，它是解决更复杂的不等式的基础。
本节课是在学生掌握了等式基本性质的基础上学习的。从教学内容上看起着“承上启下”的作用。“承上”，在探索方式上运用了类比等式基本性质的方法。“起下”，不等式的基本性质既是研究不等式的解集的基础，对后继知识的学习奠定了基础。
2．从教材编写角度看
按教材编排看，不等式的基本性质用一课时完成，重点是探究不等式的基本性质，并初步运用这些性质进行有关的计算。这样处理教材，既符合知识的系统性原则，又能让学生整体把握数学学习的一般方法，还符合学生的认知规律。同时更能培养学生主动探求知识的精神和思维的条理性。同时我从学生的实际水平出发，让学生动手操作，动脑思考，交流、探索、总结归纳，得出不等式的性质。这样的安排比抽象的说理更易于让学生接受。
二、教学目标
新课程理念的宗旨是“以人为本”，具体表现在“三位一体”的理念，即“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”三个方面，我从这三个方面确定了本节课的教学目标。
（一）知识与技能
1．掌握不等式的三条基本性质。
2．运用不等式的基本性质对不等式进行变形。
（二）过程与方法
1．通过类比等式的基本性质，探索不等式的基本性质，进一步体会类比、数形结合和分类讨论的数学思想。
2．通过观察、猜想、验证、归纳等数学活动，经历从特殊到一般、由具体到抽象的认知过程，感受数学思考过程的条理性，发展思维能力和语言表达能力。
（三）情感态度与价值观
通过探究不等式基本性质的活动，培养学生合作交流的意识和大胆猜想，乐于探究的良好思维品质。
三、教学的重点、难点
依据课程标准、本节课的教学目标以及学生的认知水平和思维规律，确定本节课的教学重点、难点如下：
教学重点：探索不等式的三条基本性质并能正确运用它们将不等式变形。
教学难点：不等式基本性质3的探索与运用。
不等式的基本性质 观评记录
授课人：??郭文颖
授课内容：?鲁教版七下不等式的基本性质
时间：??????2015年4月30日
参加评课人员：全体七年级数学教师
主持人：????刘玲
会议议题：??评郭文颖老师的课
发言内容：
刘玲:郭老师这节课从生活中常见的年龄问题入手，通过用不等式表示年龄问题，引出所学的基本内容，既体现了生活中处处有数学，有把生活中的问题巧妙的和数学知识解决，并且还能做到前后呼应，设计的新颖别致。教学内容由易到难，层层递进，实现了学生做课堂主人，通过小组合作学习，培养了学生的合作学习能力。
赵月南：郭老师注重数学思想方法的教学，通过类比等式的基本性质得出不等式的基本性质，给学生以理论层次的拔高和学法上的指导，同时也为后面学习不等式的解（解集）提供了学习方向，值得我学习。
建议：可能因为课堂时间的限制，小组活动后的展示的学生可再多一点。
赵翠云：郭老师的课一直比较擅长利用兵教兵和学生的互助学习小组，通过学生的学习和讲题的表达能力上都足以看出郭老师平时训练有素。学生的课堂参与度很高。
建议：给学生更多展示交流的机会。
孙晶晶：
1. 在突破不等号的符号是否变号这个难点上处理的很到位。
2.教师对教材挖掘深。注重三种数学语言，即文字语言、图形语言和符号语言的转换。 同时向学生渗透数学中常用的数学思想方法：数形结合、类比、分类讨论，使学生更能了解学习数学的思路和方法，既能让学生学到知识同时还能给予学习方法的指导这是难能可贵的。
3.教师备课细致，过渡自然，注重培养学生的发散思维和小组互助学习。
4.本节课可能受到录课场地的影响和平时教室上课想比，不如平时让学生展示的多，不如平时让学生说的多。
不等式的基本性质 评测练习
1.将下列不等式化成"x＜a"或"x＞a"的形式： (1)-8x>10； (2)2x-1>3x-2.
2.已知a＜b，用“＞”或“＜”填空；
（1）a-3 b-3 (2) 6a 6b (3)-a -b (4) a-b 0 (5) 3a+1 3b+1
3. 判断正误,并说明理由.
(1)已知2x+1＞2y+1,则x＞y. ( )
(2)已知a+8＞4 , 可得a＞-4. ( )
(3)已知-3m＞-3n,可得 m＞n. ( )
(4)若a＞b，则ac＞bc. ( )
(5)若a＞b,则ac2＞bc2.
(6)已知4a＞5a，两边同除a,得:4＞5.
4. 若（m-1）x < m-1，则x>1，那么m满足（ ）
A m<-1 B m>-1 C m<1 D m>1
变式练习：
1.若（m-1）x < m-1，则x<1，那么m满足（ ）
2.若m≠1,（m-1）x < (m-1) y.试比较x和y的大小.
不等式的基本性质 课后反思
本节课通过兄弟俩的对话引出要学习的内容，引发学生的学习兴趣。因为有了以前数学学习的经验和平时课堂中的引导，学生对数学中常用的比较重要的三种数学思想方法：类比、数形结合、分类讨论比较熟悉并能灵活的运用以上思想方法解决实际问题。同时在平时的教学中比较注重数学中的三大数学语言：文字语言、图形语言和几何语言的转化和叙述。注重循序渐进的结合实例向学生渗透和补充。基于以上原因所以学生通过课伊始给出的几个不等式能快速准确的说出不等式的基本性质1.通过不等式的基本性质1和等式的基本性质1的对比，明确研究性质的实质实际上就是研究不等号方向是否发生了改变，为后面的探究奠定基础。
在探究不等式的性质2,3时给了学生一个半开放的表格，通过学生填写表格，结合实数的分类，类比等式的基本性质2也很容易的得出第2,3条性质。半开放的表格给出了探索的方向，实际上降低了学生探索的难度。以后的教学中可以尝试全部开放，类比等式的基本性质2估计学生也能得出后面的两条不等式的基本性质。类比法是人们获得新知识的有效途径之一，有意识地、合理地运用类比法，学生可以在问题质疑和研究过程中，体验到“真正的创新”所带来的愉悦，这是创新精神的“源动力”。并且比较这两条基本性质再次明确不等号方向问题。发现以往学生比较容易忘掉乘以（或除以）是负数时情况所造成的错误，在本班学生中出现的比较少。有效的突破本节课的难点。在展示探究活动环节，感觉处理有点仓促，应该给更多的学生展示交流的机会，让学生充分的说，大胆的表达自己的观点。
利用不等式的基本性质对不等式进行适当的变形，巩固所学的知识，明确应该如何利用所学知识解决实际问题，因为提问的都是每组的后两号同学，所学生的回答来看学生掌握的情况还是不错的，尽管有些同学出错，但都能找到原因并能纠错。学生通过独立思考、小组合租和师徒学习的方式更好的理解和掌握知识。在最后的总结环节，引导学生总结，学生既能总结出学习到的知识点，又能从思想方法上加以归纳概括，值得表扬。
学生因录课比较傲紧张所以在讨论环节时显得较拘谨，和平时相比有好多不同。并且录课教室缺少黑板缺少了大面积展示和学生互相交流的机会。评价手段和语言略显单调，需要以后注意。
总之，本节课教学设计渗透着数学课程标准的要求，贯彻着“以生为本”的课堂理念，努力激发和培养学生学习数学的兴趣，发展学生自主学习的能力和合作精神，培养乐于探究的良好思维品质。在今后的教学中会结合实际情况，创造更加扎实有效的课堂。
不等式的基本性质 课标分析
《数学课程标准》中不仅使用了“了解（认识）、理解、掌握、灵活运用”等刻画知识技能的目标动词，而且使用了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等刻画数学活动水平的过程性目标动词，从而更好地体现了对学生在数学思考、解决问题以及情感与态度等方面的要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。因此，教师在教学活动中更应该要扮演好组织者、引导者与合作者的角色。在这种形式下，除了要让学生掌握好基础知识和基本技能，更要让学生在学习过程中体会学习经验，总结学习方法。只有让学生自己掌握了有效的学习方法，才能让他们对数学学习产生莫大的兴趣，才能让他们开展有效的自主学习。
纵观鲁教版数学教材，我们会发现许多知识和内容之间存在着巧妙的联系，如等式的性质和不等式的性质，方程的解法和不等式的解法，三角形的性质和多边形的性质等，如果在教学中能够很好启发利用这些联系，让学生在已有的知识基础上猜测未学的知识，并在学习运用中进行不断的检验修正，不仅能帮助学生理解和掌握前后知识的衔接运用，更能激发出学生的学习主动性并碰撞出智慧的火花。因此在这些知识的教学处理上，我比较重视利用类比的教学方法，这样既复习了已学知识，又能比较自然地引出新知的内容，通过几年的教学尝试，我不时地收获惊喜。
不等式的基本性质这一节掌握的好坏，将直接影响到后面的教学内容。而对于不等式的基本性质1和2，相信绝大部分的学生都不会有很大困难，而不等式的基本性质3，通过对以往学生的了解，发现很多学生会忘记分正负两种情况，如果按照以往的那种方法教，先让学生知道性质内容再让他们通过题目加以巩固，教学效果不会有多大突破。因此在本节新课教学中，我采用了将不等式未知的性质与等式已知的性质进行类比教学，让学生自己去发现验证不等式的性质。
波利亚指出：“类比似乎在一切发现中有作用，在某些发现中它有最大的作用。”“不论是在初等数学，高等数学中的发现，或者在任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这个思维过程，特别是不能没有类比”（《数学的发现》）
从学习的角度来看，初中学生正处于体能智力的发展阶段，他们对世界感到陌生和好奇，在学习新知识和解决新问题中，不是缺乏已有的知识，而是缺少把新知识与旧知识的恰当类比，把已有的方法与新方法适当类比的能力，缺乏较好的解题思路。因此，注重类比教学，培养学生的思维能力，是我们面临的一个重要任务。在本节课中，我采用让学生通过类比已学的等式的性质去尝试猜想不等式的基本性质，让学生感受发现新知识探索新知识的成就感和乐趣。
教学角度来看，类比法符合辩证唯物论的认识论，它有简化教学，明确思路，加深理解，增强记忆，训练思维等作用，更主要的是它能让学生在教师的引导下，从“学会”起步，达到“会学”的目的，从“得一鱼”中达到“获以渔”的效果。因此，本节课教学上，采用通过让学生在已经掌握的等式的性质基础上，自己对不等式的性质进行类比猜想，教师进行适当的引导，让学生自己主动去发现新知感受新知掌握新知。这样一来，学生成了学习的主人，体现了新课程的理念。
