《勾股定理》 学情分析
本节课的教学对象是八年级学生，他们参与意识强，思维活跃，对事物充满好奇心。对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。初步具备了有条理地思考与表达的能力，基本的数形知识，归纳信息的能力；但由于生活经验少，在综合分析事物时，考虑问题可能不会很全面，需要教师引导。
学生对基础知识基本掌握，但可能时间隔的比较长会有所遗忘，不能构建知识体系；另外本章的应用问题非常多，也非常重要，而学生利用数学知识解决实际问题的能力是较低的，往往看不懂题目的意思或不能很好的理解题意。因此如何通过本节课帮助学生进一步巩固基础知识，构建知识体系；提高学生分析解决实际问题的能力是本节课所要面临的两大问题。学生解答问题的条理性，书写的规范性也是一个问题。因此，我采用 “以学生为主体，以问题为中心，以活动为基础，以培养学生提出问题和解决问题为目标”的方法进行探索——讨论法，本节课，我从学生已有的知识基础和生活经验出发，创设生动有趣的学习情境，本着疑难让学生议，思路让学生想，错误让学生析，规律让学生找，小结让学生讲的原则，在教学方法的设计上，把重点放在了探究构建数学模型的过程上，激发学生对数学学习的兴趣。
《勾股定理》效果分析
????? 我在《勾股定理》一节中，我先向学生提出该堂课的学习目标：回顾熟知勾股定理，勾股定理逆定理，能运用勾股定理及逆定理解决实际问题。这样，上课开始学生心里便有了数，如果没有给学生制定学习目标，学生在学习时就没有目的，没有重点，更谈不上通过学习达到预定的目标了。因此，为了使学生学习时有一定的目的性，达到良好的学习效果，必须给学生制定切实可行的学习目标。
一上课，我先让学生做了几个简单的练习题，激起了学生的兴趣，学生通过轻松解答很快回忆出勾股定理和勾股定理逆定理的内容。我觉得效果不错。数学“源于现实，寓于现实，高于现实”，数学知识来源于生活实际，生活本身就是一个巨大的数学课堂。如果脱离生活现实谈数学，数学给人感觉往往是枯燥的、抽象的。并且勾股定理和勾股定理逆定理的应用是本章的重点和难点，因此，在复习这方面时，我找了一些有实际背景的问题，例如旗杆的问题、巡逻艇的航向问题，还有菜地的面积问题，意把知识内容与生活实践结合起来，而趣味性的知识总能吸引人，趣味性的问题总能引发学生对问题的探究和深层次的思考。在新课引人时，多为学生提供一些数学或其它有趣的知识，既能激发学生的学习兴趣，又能扩大学生的知识面。
在解决问题的过程中，精心设问，一方面是能激发起学生的学习积极性，另一方面使学生迫切想知道如何运用所学知识解决问题，能唤起学生的求知欲。例如折叠问题中从6和8入手，让学生思考有这两个数并且结合题目中的条件能得到什么结论，这些结论之间和我们要求的EC的长有什么关系，有了旗杆问题解方程做铺垫，学生不难想到通过列方程求出EC的长。并且通过我展示折叠的过程，学生有了更直观的感受，就能很顺利的解决。
练习是数学课堂教学的重要组成部分。练习可以使学生掌握熟练的解题技能，同时为了培养学生的思维品质，提高学生的创新能力，所以我在求不规则图形紧跟了一个变式训练，一方面巩固所学的解决问题的技能，另一方面拓展学生的知识面。让学生不仅学会通过“割”的方式求不规则图形的面积，还可以同过“补”的方式求不规则图形的面积。
总之，在数学课堂教学中，教师应当根据学生的具体情况，充分调动学生的学习兴趣，让学生在有限的课堂教学中迸发出无限的创造力和想象力，要把课堂还给学生，让他们成为课堂的主人，使他们享受到学习的快乐，成为真正的发展中的、有着创造力的人！
《勾股定理》教学设计
课题
勾股定理教学设计
教学
目标
回顾熟知勾股定理，勾股定理逆定理，能运用勾股定理及逆定理解决实际问题。
教学
重难点
1．重点：勾股定理及逆定理的应用。
2．难点：勾股定理及逆定理的应用。
教 学 过 程
一、基础训练
1. 在Rt△ABC中，已知其两直角边长a =1，b=3，那么斜边c的长为____.
2. 已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长是_________．
3.判断由线段a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1） a=5，b=12，c=13；
（2） a=11，b=7，c=9；
解：（1）是 （2）不是
二、基础知识点：
１．勾股定理
内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么
勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中，，则，，②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
2、勾股定理的逆定理
如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；
②定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边
教 学 过 程
二、经典例题精讲
题型一：利用勾股定理测量长度
例题1小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m，当它把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高。
解析：把实物模型转化为数学模型后，这是典型的利用勾股定理“知二求一”的类型。直角三角形中，当无法已知两边求第三边时，应采用间接求法，灵活的寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。
解：设旗杆的高为xm，根据勾股定理得
x2+52=（x+1）2
x2+25=x2+2x+1
2x =24
x =12
答：旗杆的高为12m。
提示：利用方程思想。
题型二：利用勾股定理求线段长度——“折叠”问题
例题2如图， 小红将一张长方形纸片ABCD折叠，已知该纸片宽AB=8cm，BC=10cm，当小红折叠时，顶点D落在BC边上点F处，折痕为AE，试求EC的长。
解析：折叠和轴对称密不可分，利用折叠前后的图形全等，找到对应边、对应角相等便可顺利解决折叠问题。解题之前先弄清楚折叠中的不变量。合理设元是关键。
详细解题过程如下：
解：解：设EC的长为xcm。
∵ AB=8， BC=10
∴AB=CD=8，BC=AD=AF=10，
在Rt△ABF中,由勾股定理得：
∴CF=BC-BF=10-6=4
∵ CD=8， EC=x
∴DE=EF=CD-EC=8-x
在Rt△ECF中,由勾股定理得：
x2+42=（8-x）2
解得 x =3
∴EC=3(cm)
注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。
题型三：关于勾股定理求方位角的问题
如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A、B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截。已知甲巡逻艇每小时航行120海里；乙巡逻艇每小时航行50海里，航向为北偏西30°，问：甲巡逻艇的航向？
解析：首先根据题目中的已知条件得到相应的结论，再根据勾股定理的逆定理判断三角形是否是直角三角形。
解：由题意得：6分钟= 小时
AB=13
∵122+52=132
∴ AC2+BC2=AB2
∴∠C=90°
∵乙巡逻艇航向为北偏西30°
∴∠CBF=30°，∠CBA=60°
∴∠CAB=30°
∴∠4=60°
∴甲巡逻艇航向为北偏东60°
题型四：求不规则图形的面积
如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得AB=4米，BC=3米，CD=13米，DA=12米，又已知∠B=90°.根据小明的测量数据，你能算出这块菜地的面积吗？
解析：求不规则图形的面积时我们往往割补成规则的图形,再由部分求整体，此题既运用了勾股定理又运用了勾股定理的逆定理，是勾股定理和勾股定理逆定理的综合应用。
解：连接AC
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
又∵CD=13 ，AD=12 ， 52+122=132
∴AC2+AD2=CD2 ∴△ACD是直角三角形
则S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD
=36（m2）
变式训练：如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠D=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．
题型九：关于最短路径问题
有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处食物，它爬行的最短路线长为多少？
解析：由于老鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线
段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图)
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 × = 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
变式训练:如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？
4．在一
棵树的1
《勾股定理》教材分析
勾股定理这章内容是人民教育出版社八年级下册第17章的内容,它是学生在已经掌握了直角三角形有关性质的基础上进行学习的，它是我国古代数学的一项伟大成就,勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，对现代数学的发展也产生了重要而深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。因此，勾股定理不仅被认为是平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。勾股定理为我们提供了直角三角形的三边间的数量关系，这就搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。它的逆定理为我们提供了判断三角形是否属于直角三角形的依据，也是判定两条直线是否互相垂直的一个重要方法。这些成果被广泛应用于数学和实际生活的各个方面。同时，也为九年级学习解直角三角形奠定基础。
本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富，勾股定理及其逆定理不仅在数学理论体系中有重要的地位，定理本身也有重要的实际应用价值，在生产生活中用途很广，不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用，对培养学生逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力发挥了重要的作用。
课堂内容、教学效果点评及观察记录
上课
教师
王露莹
班级
8.1
2015年4月21日
观课主题
提高学生分析问题、解决实际问题的能力
学科
数学
课题
第十七章勾股定理
观 察 记 录
点评人
点评
一、出示教学目标：明确本节课的重难点，以达到学生心中有数
二、预习展示：通过几道简单的练习题自然过渡到本节课要复习的勾股定理和勾股定理的逆定理上。
三、知识点回顾：回顾勾股定理和勾股定理的知识点及用途，为解决有关的问题做准备。
四、典例解析：教师用不同的实际问题，提高学生的学习兴趣和解题技能，同时锻炼学生对知识的灵活运用能力和分析问题、解决问题的能力。而且对每一种解题技巧及使用的数学思想和方法进行及时的总结。
五、变式训练：锻炼学生从不同角度考虑问题，同时拓展了学生的解题方法。
六、拓展练习：关于最短路径问题，立体图形的最短路线问题要先展开成平面图形。
宋仪伟
优点：1、教学过程环环相扣，衔接自然；2、自主学习与合作探究相结合，充分体现了学生的主体性；3、课堂气氛活跃，学生的学习积极性高；4、精讲点拨到位；以小组为载体，合作与竞争同行；5、理论与实践相结合，注重培养学生运用知识、解决问题的能力。
建议：合理分配时间，给学生更多的展示时间。
王聪
优点：1、授课思路清晰，学生能积极主动思考回答。2、解题思路清晰，学生板演较好。3、重点突出，分别利用勾股定理和勾股定理逆定理及其两种定理的综合应用。4、总结解题方法，能抓住学生的疑点。
建议：题型不够丰富
高凤英
优点：1、采用鼓励性语言，鼓励表扬使学生有成就感，调动学生学习积极性。2、小组合作探究，“生帮生”，学生回答答案准确全面。3、大多学生能主动参与课堂教学，学生兴趣指数高。
建议：课堂气氛不够热烈。
王媛媛
优点：1、通过预习激发学生自主学习的欲望，培养学生良好的学习习惯；2、认定目标及时，充分调动学生上课的积极性；3、给学生充分自主的学习时间，小组内交流，教师点拨及时。
改进建议：如果解题步骤更多的板书出来，便于学生更好地掌握
张晗
优点：1、使用多媒体和几何画板进行演示，引发学生的学习兴趣；2、鼓励学生大胆展示，教师总结，并及时给予学生鼓励，增强学生信心；3、学生讨论，扎实有效，教师精讲、点拨到位。
建议：语速放慢
数学学科课时作业
八 年级 班 姓名 组别 号码
友情提示：字体端正、格式规范的作业，给人以美感，彰显你的素质。请用蓝黑色笔及正楷字工整地书写作业，可不要忘了对齐方式并及时改错哟！
基础知识过关题
★已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）
A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
★★已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？
二、综合能力提高题
★★如图，等腰△ABC中，底边BC＝20，D为AB上一点CD＝16，BD＝12， 求△ABC的面积。
《勾股定理》课后反思
在教学中我采用的是“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题。以导为主,采用设疑的形式，让学生逐步进行探究性学习。这种教学理念紧随新课改理念，也反映了时代精神。?同时鼓励学生采用自主探索，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。”授之以鱼,不如授之以渔”这才是中学教育的真正目标.
软件几何画板在教学中的应用,在以往的数学教学中，教师往往只强调“问题解决”这一教学环节，而不太考虑学生直接的感性经验和直觉思维致使学生难以理解几何的概念与几何的逻辑。而通过几何画板做“图形的折叠”，让每一个学生利用“几何画板”作一个动态变化的折叠过程，通过观察，学生对折叠产生很感性的认识；从而加深了对折叠得到一系列对应角和对应边相等更好的理解和应用。在此过程中，学生通过计算机从“听数学”到 “感受数学”,学生从中可以直观而自然地得到折叠的相应结论，并不需要由老师像传统教学中那样滔滔不绝地讲解，这样，在信息化环境下学生从传统的被动接受、机械训练中解脱出来，极大调动了学生学习的主观能动性。
本节课的教学设计能较充分体现 “以学生的发展为本” 的教育理念，借助多媒体手段提高课堂教学效率， 激发学生的学习兴趣，能充分调动学生学习的主观能动性，有效的解决了教材重点和难点两大问题，达到了预期的教学目的，同时教师给学生提供充分的活动空间和思维空间，在开放、多样、交互的教学活动中，培养学生自主、合作、互动的能力，培养学生对数学的兴趣和爱好。较好地体现了新课程标准及素质教育的精神。但存在的不足：由于学生层次不同，对于基础弱的同学学起来还有点吃力，基础好的同学还吃不饱，让学生展示的时间还太少。
《勾股定理》课标分析
本节课是在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册“勾股定理“的基础上设计的一节课。对“勾股定理”一章来说，《数学课程标准》的要求本章需掌握的知识点:勾股定理的内容及应用；判断一个三角形是直角三角形的条件；曲面上的最短路线问题。与本科相关的学科知识为：三角形，圆柱体的有关知识;代数公式：平方差公式，完全平方公式；两点间的距离。
通过本章的学习，在对勾股定理的探索和验证过程中体会数形结合的思想，发展空间观念和合情推理的能力，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力；在对直角三角形判断条件的研究中培养学生大胆猜想，勇于探索的精神，介绍一些有关勾股定理的知识培养学生学习数学的兴趣及克服困难的毅力。
教学中立足于学生的生活经验和已有的数学活动经验，无论在方格纸上还是拼图鼓励学生充分参与活动，通过观察，实践，推理，交流。由易到难，由浅入深地获得结论，尽可能多的介绍有关历史，引导学生自己从书籍，网络上查阅，了解更多有关知识，在拼图的过程中鼓励学生大胆联想，培养数形结合的思想，并从中获得学习的快乐，提高学习的兴趣。
因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。为后面的学习打下良好的基础。
体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；
2、会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形；
3、通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
直角三角形是一种特殊的三角形，它有许多重要的性质，如两个锐角互余，30°的角所对的直角边等于斜边的一半.本章所研究的勾股定理，也是直角三角形的性质，而且是一条非常重要的性质，它是几何中几个最重要的定理之一，揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大.它不仅在数学中，而且在其他自然科学中也被广泛地应用.
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