2009年三角函数高考试题的命题特点与备考策略

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2009年三角函数高考试题的命题特点与备考策略
纵观近几年高考试题，我们不难发现以考查“三基”（基础知识、基本技能、基本思想和方法）为主，题型中档，稳中有变的三角函数试题呈现出以下几个显著特点：
一、考小题，重在基础运用
考查的重点在于基础知识：解析式、图象及图象变换、两域（定义域、值域）、四性（单调性、奇偶性、对称性、周期性）、反函数以及简单的三角变换（求值、化简及比较大小）.
例1.函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为 ( )(A) (B) (C) (D)
解析：由y=2cos2x+1=2+cos2x知函数y=2cos2x+1(x∈R)的最小正周期为，故选B。
例2、定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3,5]时，f(x)= 2—|x-4| ,则（ ）
解析：由已知f(x)是2为周期的偶函数，当x∈[3,5]时，
f(x)= 2—|x-4|=作出其图象。 由图易知f(x)在[0,1]是减函数，从而排除A，B, f(x)在[-1,o]是增函数，从而排除C,故选D。
二. 考大题，难度明显降低
有关三角函数的大题即解答题，通过三角公式变形、转换来考查思维能力的题目已经没有了，而是考查基础知识、基本技能和基本方法.
例3、已知的值.
解法一：由已知得： 由已知条件可知
解法二：由已知条件可知
评析：本题主要考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算技能。
三. 考应用，融入三角图形之中
这种题型既能考查解三角形的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是充分利用三角形的内角和定理、正（余）弦定理、面积公式等，并结合三角公式进行三角变换，从而获解。
例4在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值.
解: (Ⅰ) = = = =
(Ⅱ) ∵∴,又∵∴当且仅当 b=c=时,bc=,故bc的最大值是.
评析：本题主要考查三角函数的诱导公式、倍角公式、余弦定理及均值不等式等基础知识，考查运算能力。
四. 考综合，体现三角函数的工具性
由于近年高考命题突出以能力立意，加强对知识综合性和应用性的考查，故常常在知识的交汇点处命题.因而对三角知识的考查总是与平面向量、数列、立体几何、解析几何、导数等综合在一起来考查，突出三角的工具性作用.
例5．已知函数上R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求和ω的值.
解：由
评析：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力。
基于以上三角函数高考试题的命题特点，三角函数备考复习应做到以下几点：
一. 切实掌握三角函数的概念、图象和性质
近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象和性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的一个重点，在复习时应充分将数形结合起来，利用图象的直观性得出函数的性质，这样既利于掌握函数的图象和性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.
二.切实掌握三角函数的基本变换思想
三角函数的恒等变形，不仅在三角函数的化简、求值问题中必考，而且在图象与性质问题中也要考查，故有“没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用”之说，而解决三角函数的恒等变形问题，其关键在掌握基本变换思想.
三. 切实加强三角函数的应用意识
既要注意在有些实际问题中建立三角函数模型，利用三角函数知识来解决问题；更要注意在代数、平面向量、立体几何、解析几何、导数等问题中建立三角函数模型，使问题获得简捷的解法.
例6、知，则的取值范围是 .
解析：，故设又， ，而，所求的取值范围为.
评析：本题若不建立三角函数模型，则很难想到由“”来沟通“”与“”之间的联系，因而思维受阻.而三角换元后，沟通与之间的联系便是顺理成章、自然而然的思维惯性.
例7、已知0≤θ≤π，f(θ)=sin(cosθ), g(θ)=cos(sinθ),若f(θ)的最大值、最小值分别是a、b，g(θ)的最大值、最小值分别为c、d，试比较a、b、c、d的大小.
解析：∵0≤θ≤π, ∴－<－1≤cosθ≤1<,而在（－,）内y=sinx单调递增，∴－sin1≤sin(cosθ) ≤sin1, ∴a=sin1, b=－sin1; ∵0≤sinθ≤1<,而在[0, 内y=cosx单调递减，∴cos1≤cos(sinθ) ≤1,即c=1，d=cos1;∵<1<,∴sin1>cos1；综上，c>ab.
评析：本题灵活性较大，复习时除撑握一些必要的基础知识外，还要逐渐培养综合运用三角函数性质的能力。
配套训练题
1．已知且α为第二象限角，则m的允许值为（ ）
A．2．已知点P（sinα－cosα，tanα）在第一象限，则[0，2π内α的取值范围是（ ）
A．B．C． D．）
3．要得到函数y=3cos(2x－)的图象，可以将函数y=3sin2x的图象沿x轴 （ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位
4．函数f(x)=sin(x+θ)+cos(x－θ)的图象关于y轴对称，则θ的值是 （ ）
（以下k∈Z）A．kπ－B．2kπ－ C．kπ－D．2kπ－
5．下列不等式中成立的是 （ ）
A．sin(－)>sin(－) B．cos(－)>cos(－)
C．tan(－)>tan(－) D．cot(－)>cot(－)
6．为使函数y=sinωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50个最大值，则ω的最小值是（ ）
A．98π B．98.5π C．99.5π D．100π
二、填空题：
7．函数y=sin（60°－2x）+cos2x的最小正周期是
8．函数y=sin+cos在（－2π，2π）内的单调递减区间是
9．函数f(x)=cos（x+2θ）+sin(x－2θ)是奇函数，则θ=
10．已知a>,则f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最小值为
三、解答题：11．已知函数（1）求f(x)的定义域；（2）判断f(x)的奇偶性；（3）作出函数f(x)在区间[－，]上的图象；（4）求函数的单调区间.
12．化简：
13．求下述函数的最小正周期；
（1）y=cotx－tanx . （2）y=1－8cos2x +8cos4x.
14．已知的值.
15．设函数：的最小正周期为π，且当f(x)的定义域为时，值域为[－2，10]，求a、b的值.
《答案与解析》
一、1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．B 二、7．π 8．[－2π]， 9． 10．.11．
（1）∵cosx≠0，∴定义域为{x |x≠kπ+（k∈Z）}；（2）∴f(－x)==－f(x)，∴f(x)为奇函数；
（3）
（4）单调递增区间是（2kπ－,2kπ+）；单调递减区间是（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）.
12．原式=
13．（1）
∵原函数的定义域是即（k∈Z）与新函数的定义域一致，
∴原函数的最小正周期T=.
（2）
（x∈R），∴函数的最小正周期T=.
14．①当n=2k(k∈Z)时，
②当n=2k+1（k∈Z）时，
15．
综上，a=2, b=0或a=－6,b=12.
x
y
1
0
2
3
4
-1
-2
-3
-4
5
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