高考三角函数中数学思想方法归纳解析

高考三角函数中数学思想方法归纳解析
在三角函数这一章的学习和复习过程中，熟练掌握以下几种数学思想方法，有助于提高同学们灵活处理问题和解决问题的能力。下面通过例题透视三角函数中的数学思想。
1、 数形结合思想
由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深同学们对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。
例1．求不等式在上的解集。
解析：设，，在同一坐标系中作出在上两函数图像(如图1)，在上解得的解为或
，故由图像得要使得，即，由于，在上为偶函数，故在上的解为，得原不等式的解集为
2、 分类讨论思想
分类是根据对象的本质属性的异同将其划分为不同种类，即根据对象的共同性与差异性，把具有相同属性的归入一类，把具有不同属性的归入另一类。分类讨论是数学解题的重要手段，如果对学过的知识恰当地进行分类，就可以使大量纷繁的知识具有条理性。
例2．设，且恒成立，求的取值范围。
解析：令
令，由，得，则，，在上恒成立，在上恒成立。由二次函数图像分类讨论得，
1） 当时，需得；
2） 当时，需，得；
3） 当时，需得
综上所述，得
3、 整体思想
整体思想方法是一种常见的数学方法，它把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过观察与分析，找出整体与局部的有机联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。往往能起到化繁为简，化难为易的效果。
例3．求函数的最大、最小值。
解析：由条件和问题联想到公式，可实施整体代换求最值。
令，，则
，故当时，有最大值，且为；当时，有最小值，且为
4、 方程思想
方程是研究数量关系的重要工具。我们把所要研究的问题中的已知与未知量之间的相等关系，通过建立方程或方程组，并求出未知量的值，从而使问题得到解决的思想方法称为方程思想。
例4．已知，求的值
解：令，则，，故解得
，解得，，
5、 化归转化思想
化归转化思想是解决数学问题的一种重要思想方法。处理数学问题的实质就是实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。
例5．若，，试确定的大小。
解析：当一个问题直接难以入手或相对比较困难时，我们可以等价转化为我们熟知或容易解答的题型。要比较的大小可转化为与比较大小就容易多了。
，又，故，
，
6、 函数思想
函数思想就是在解决问题的过程中，把变量之间的关系抽象成函数关系，把具体问题转化为函数问题，通过对函数相应问题的解决，达到解决变量之间具体问题的目的。
例6．已知，求证：
解析：由得，构造函数：
显然，故，即得
7、 逆向思想
逆向思想通常是指从问题的反向进行思考，运用于正面考虑繁琐或难以进行时的一种解题思维策略，正确使用这种策略，往往能问题绝处逢生，找到求解的新途径。
例7．将函数的图像向右平移个单位后，再作关于轴的对称变换，得到函数的图像，求的解析式。
解析：我们可以采用倒推的方法，即将整个变化过程逆过来考虑。
关于轴的对称变换为，然后再向左平移个单位得，对照比较原函数得，
图1
y
x
o
y1
y2