江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 江苏省镇江市2025届高三期初质量监测数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 738.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-13 19:03:43 | ||
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文档简介
江苏省镇江市2025届高三期初质量监测
数学试题及参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知一组数据：4,5,7,9,11,13，则驻足数据的第50百分位数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.由数字2,3,4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.随机变量服从，若,则下列选项一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知正方形的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，满足，且，，则以下选项错误的是（ ）
A. B.图象关于对称
C.图象关于对称 D.为偶函数
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.函数的定义域为，区间，对于任意，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格，若他答每道题的正确率为0.5，并且答对每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 .
13.已二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 .
14.勒洛四面体时一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间象球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）.勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体的正四面体的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体内放入一个球，则该球的球半径最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某自主餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同个，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
（2）某自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，，平面，，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，成立.
（1）证明“三元不等式”：；
（2）已知函数.
①解不等式；
②对任意，恒成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在如图所示的平行六面体中，，，,，.
（1）求的长度；
（2）求二面体的大小；
（3）求平行六面体的体积.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）函数是否具有奇偶性？为什么？
（2）当时，求的单调区间；
（3）若有两个不同极值点，证明：.
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A C C D B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 CD BD AD
三、填空题
12.； 13.（答案不唯一）； 14..
四、解答题
15.解：（1）设以为顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的事件记为，
从6张中任取2张有种方法，
取到的折扣均不相同的取法有，
则.
∴以为顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
（2）的所有取值为80,85,90，
.
∴的分布列为：
80 85 90
∴数学期望.
16.解：（1）连接. ∵分别是棱的中点，∴.
∵，则，
∴四边形是平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面.
（2）∵平面,，则平面,
又平面，则平面⊥平面,
∵平面,平面,
∴由三垂线定理可得：，
∵是的中点，则， 取中点，则，
面⊥面,面∩面，面,∴面，
过点作交于点，连接，由三垂线定理得，
∴为二面角的平面角.
∵，即，
∵是棱的中点，则，为等边三角形，，
在中，∵，得，
在中，，则.
∴二面角的正弦值为.
17.解：（1）证明：∵
，
又∵均为正实数，∴，且
∴成立，当且仅当时等号成立.
（2）①解：，∴，∴
∴，∴，
解得或或.
②取，且，
则
，
当时，，，
∴，即，∴在上单调递减.
当时，，，
∴，即，∴在上单调递增.
∴在上有最小值，为，
要使时，不等式恒成立，
则，解得. ∴的取值范围为.
18.解：（1）设，，，则，
∴.
（2）设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
设平面的法向量为，同理可得
设二面角的大小为，则
，∴，
∴二面角的大小为90°.
（3）设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
设到平面的距离为，
，
故.
19.解：（1），定义域为，则，
显然，，∴函数是非奇非偶函数.
（2）当时，，定义域为，
，
由得，解得，
∴的递增区间为，递减区间为.
（3），
∵有两个不同极值点，
∴有两个不同的实数解，
令，，
即有两个大于0的实根，
∴ ，解得，
其中，
，
.
令，则，
∴在上单调递增，
∴，
即.
数学试题及参考答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知一组数据：4,5,7,9,11,13，则驻足数据的第50百分位数为（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
2.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
4.由数字2,3,4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
6.随机变量服从，若,则下列选项一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
7.已知正方形的棱长为2，点为侧面四边形的中心，则四面体的外接球的体积为（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义域为的函数，满足，且，，则以下选项错误的是（ ）
A. B.图象关于对称
C.图象关于对称 D.为偶函数
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.已知，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
11.函数的定义域为，区间，对于任意，恒满足，则称函数在区间上为“凸函数”.下列函数在定义域上为凸函数的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格，若他答每道题的正确率为0.5，并且答对每道题之间相互独立，则他能合格的概率为 .
13.已二次函数从1到的平均变化率为，请写出满足条件的一个二次函数的表达式 .
14.勒洛四面体时一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间象球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触（如图）.勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体的正四面体的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体内放入一个球，则该球的球半径最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
某自主餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同个，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算.
（1）求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；
（2）某自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为，求的分布列及数学期望.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，，，，平面，，分别是棱的中点.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
17.（本小题满分15分）
我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：，当且仅当时，成立.
（1）证明“三元不等式”：；
（2）已知函数.
①解不等式；
②对任意，恒成立，求实数的取值范围.
18.（本小题满分17分）
在如图所示的平行六面体中，，，,，.
（1）求的长度；
（2）求二面体的大小；
（3）求平行六面体的体积.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）函数是否具有奇偶性？为什么？
（2）当时，求的单调区间；
（3）若有两个不同极值点，证明：.
参考答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B B A C C D B
二、多选题
题号 9 10 11
答案 CD BD AD
三、填空题
12.； 13.（答案不唯一）； 14..
四、解答题
15.解：（1）设以为顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的事件记为，
从6张中任取2张有种方法，
取到的折扣均不相同的取法有，
则.
∴以为顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为.
（2）的所有取值为80,85,90，
.
∴的分布列为：
80 85 90
∴数学期望.
16.解：（1）连接. ∵分别是棱的中点，∴.
∵，则，
∴四边形是平行四边形，则，
∵平面，平面，∴平面.
（2）∵平面,，则平面,
又平面，则平面⊥平面,
∵平面,平面,
∴由三垂线定理可得：，
∵是的中点，则， 取中点，则，
面⊥面,面∩面，面,∴面，
过点作交于点，连接，由三垂线定理得，
∴为二面角的平面角.
∵，即，
∵是棱的中点，则，为等边三角形，，
在中，∵，得，
在中，，则.
∴二面角的正弦值为.
17.解：（1）证明：∵
，
又∵均为正实数，∴，且
∴成立，当且仅当时等号成立.
（2）①解：，∴，∴
∴，∴，
解得或或.
②取，且，
则
，
当时，，，
∴，即，∴在上单调递减.
当时，，，
∴，即，∴在上单调递增.
∴在上有最小值，为，
要使时，不等式恒成立，
则，解得. ∴的取值范围为.
18.解：（1）设，，，则，
∴.
（2）设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
设平面的法向量为，同理可得
设二面角的大小为，则
，∴，
∴二面角的大小为90°.
（3）设平面的法向量为，
则，
令，则，则，
设到平面的距离为，
，
故.
19.解：（1），定义域为，则，
显然，，∴函数是非奇非偶函数.
（2）当时，，定义域为，
，
由得，解得，
∴的递增区间为，递减区间为.
（3），
∵有两个不同极值点，
∴有两个不同的实数解，
令，，
即有两个大于0的实根，
∴ ，解得，
其中，
，
.
令，则，
∴在上单调递增，
∴，
即.
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