2010年高考三角函数难点解析

2010年高考三角函数难点解析
一、求三角函数的值域
求三角函数的值域是高考热点，主要考查将所给的三角函数式化为单角三角函数式的能力。纵观近几年的高考，归纳起来主要有以下四种类型：
1： 形如，其特点是齐次式。若为一次齐次式，则提出，利用两角和与差的三角函数公式化简为 的形式，其中；若为二次齐次式，则先利用半角公式降次为一次齐次式后再利用前面的方法进行化简求解。其终极目标是化为一个三角函数的一次式的形式。
例1：（05年高考广东卷第15题）化简 ，
并求函数的值域。
函数f(x)的值域为;
练习：（05年高考重庆卷文科17题）若函数的最大值为，试确定常数a的值。 （答案：）
2： 形如 或 ，其特点是关于三角函数的一元二次形式。解此类题的方法是先配方，然后利用二次函数的性质求解。
例2：（05年高考浙江卷理科第8题）已知 ，则函数的最小值是（ ）
A．1 B．-1 C．2k+1 D．-2k+1
解：
设，，则
，则在为单调递减函数，
，函数有最小值1。选A
练习：（04年高考全国卷4第15题）函数 （）的最大值等于
（答案：）
3： 形如，其特点是关于三角函数的二元二次的形式。解此类题的方法是利用整体代换法求解，即设，则，这样就将原式转化为关于t的代数式，然后可利用二次函数的性质求解。
例3：求函数的值域
解：设，，则
当时，函数的最大值为，当时，函数的最小值为
函数的值域为
练习：（05年高考福建卷理科17题）已知－＜x＜0，sinx＋cosx＝ （Ⅰ）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值. （答案：，）
4： 形如，其特点是分式的形式，分子与分母均为齐次式。化简的方法是分子与分母同时除以（一次齐次）或（二次齐次），变形成关于的形式后求解。
例4：（05年高考全国卷1第7题）当0＜x＜时，函数的最小值为（ ）
A.2 B. C.4 D.
解：
又0＜x＜，
因此 （当时等号成立）。所以选C。
练习：（04年高考天津卷第17题）已知，求的值。（答案：）
说明：通过以上的化归方法化简了三角函数式以后，不仅能求其值域，还能求周期、单调区间、最值等性质。
二：已知三角函数值求角的方法
新教材对于“已知三角函数值求角”的要求已经降低，只需要会求形如或的题目，以便为解三角不等式奠定基础。下面以为例说明已知三角函数值求角的一般方法。
①无论a>0或a<0，先求内的，使
②若a>0，则 x 在一、二象限；若a<0，则 x 在三、四象限。根据诱导公式求内满足条件的2个象限的值：第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为。
③利用终边相同的角的关系，写出所有满足条件的x, 若a>0，则；若a<0，则。
余弦也可按以上步骤进行，如果遇到的情况，只须先利用换元法令，然后按照以上步骤操作完成得到t的解后再求出x的结果即可。
例5：已知，（），求x
解：，在二、三象限
又
即
练习：已知，（），求。 （答案：）
三：解三角不等式的方法
解三角不等式时，要充分利用三角函数的图像或三角函数线来求解。若是在求定义域时遇到三角不等式组，则利用单位圆中的三角函数线求解更具有优越性，因为不需要进行周期的转化；若利用三角函数的图像来求解三角不等式，难点在于一个周期起点的选择，对于，选取，，选取；对于，选取 ，，选取，就能够使得所求的范围在一个周期内不被分为2个区间。突破了这一难点后，利用已知三角函数求角的方法，在以上区间求出不等式取等号时的三角方程的2个解，然后利用三角函数的图像写出使得不等式成立的区间。
例6：求的定义域。
解：
又 在上的解为
由余弦函数的图像可知定义域为：
练习：（05年高考全国卷3文科第17题）已知函数，，求使 为正值的的集合。 （答案：）
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