11.1 与三角形有关的线段 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

11.1　与三角形有关的线段
任务一　三角形三边关系的应用
子任务1　判断已知的三条线段能否组成三角形
母题1　现有2 cm,3 cm,5 cm,6 cm长的四根木棒,任选其中的三根组成三角形,那么可以组成三角形的有 (　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
【关键点拨】
判断三条线段能否组成三角形的方法
变式练1：王师傅想做一个三角形框架,他有两根长度分别为8 cm和11 cm的细木条,需要将其中一根木条分为两段,如果不考虑损耗和接头部分,那么他可以分为两截的木条是 (　　)
A.8 cm的木条
B.11 cm的木条
C.两根都可以
D.两根都不行
子任务2　与等腰三角形周长(或边长)有关的计算
母题2　已知△ABC的周长为14.
(1)若AB=4,求边BC的长的取值范围.
(2)若△ABC是等腰三角形,且腰长与底边长之比为2∶3,求边AB的长.
变式练2：若△ABC的三边长分别为m-2,2m+1,8.
(1)求m的取值范围.
(2)若△ABC的三边均为整数,求△ABC的周长.
子任务3　利用三角形的三边关系进行化简
母题3　已知a,b,c为三角形的三边长,化简:|a-b+c|-|b-c-a|-|a-c+b|.
变式练3：已知△ABC的三边长分别为1,4,a,化简:|a-2|-|a-1|+|a-6|.
子任务4　利用三角形的三边关系证明线段间的不等关系
母题4　如图,D是△ABC内任意一点,连接BD,DC,求证:AB+AC>BD+CD.
变式练4：如图,D,E是△ABC内两点,求证:BD+DE+CE任务二　与三角形的高有关的计算
母题5　如图,AE⊥EC于点E,CD⊥AD于点D,AD交EC于点B.
(1)△ABC的边BC上的高为　 　,边AB上的高为　 　.
(2)若AB=5,BC=2,CD=,则AE=　 　.
【关键点拨】
(1)
(2)
变式练5：如图,已知AD⊥BC,BF⊥CF,AD=2,BC=8,BF=4,那么AC的长为 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.5
任务三　与三角形的中线有关的计算
子任务1　与三角形中线有关的面积问题
母题6　如图,在△ABC中,AD,BE分别是△ABC,△ABD的中线.
(1)若△ABD与△ADC的周长之差为3,AB=8,求AC的长.
(2)若S△ABC=8,求S△ABE.
变式练6：如图,在△ABC中,D,E,F分别为BC,AD,CE的中点,且S△ABC=12 cm2,则阴影部分的面积为 (　　)
A.3 cm2 B.4 cm2
C.6 cm2 D.8 cm2
子任务2　与三角形中线有关的周长问题
母题7　在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的中线,且BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分,求这个三角形的腰长及底边长.
【关键点拨】
变式练7：如图,△ABC的三边长均为整数,且周长为22,AM是边BC上的中线,△ABM的周长比△ACM的周长大2,则BC长的可能值有 (　　)
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
任务四　与三角形的角平分线有关的探究题
母题8　如图,若AD是△ABC的角平分线,DE∥AB.
(1)若DF∥AC,EF交AD于点O.试问:DO是否为△EDF的角平分线 并说明理由.
(2)若DO是∠EDF的平分线,试探索DF与AC的位置关系,并说明理由.
变式练8：如图,DG⊥BC,AC⊥BC,EF⊥AB,∠1=∠2.请问CD与AB有什么位置关系 并且说明理由.
参考答案
母题1　B　提示:四条木棒的所有组合有2,3,5和2,3,6和2,5,6和3,5,6,
只有2,5,6和3,5,6能组成三角形.
故选B.
变式练1　B　提示:∵三角形的任意两边之和大于第三边,
∴两根长度分别为8 cm和11 cm的细木条做一个三角形框架,可以把11 cm的木条分为两截.
故选B.
母题2　解:(1)设BC=x,则AC=14-4-x=10-x.
由三角形的三边关系可得解得3即边BC的长的取值范围是3(2)设△ABC的腰长为2a,底边长为3a,则
2a+2a+3a=14,解得a=2.
若AB是腰,则AB=2×2=4;
若AB是底边,则AB=3×2=6.
所以AB边的长为4或6.
变式练2　解:(1)根据三角形的三边关系可知,
解得3(2)∵△ABC的三边均为整数,且3∴△ABC 的周长为(m-2)+(2m+1)+8=3m+7=3×4+7=19.
母题3　解:∵a,b,c是△ABC的三边的长,
∴a+c>b,a+b>c,
∴a-b+c>0,b-c-a<0,a-c+b>0,
∴|a-b+c|-|b-c-a|-|a-c+b|
=a-b+c-[-(b-c-a)]-(a-c+b)
=a-b+c+b-c-a-a+c-b
=c-a-b.
变式练3　解:∵△ABC的三边长分别为1,4,a,
∴4-1解得3∴a-2>0,a-1>0,a-6<0,
∴原式=a-2-(a-1)+6-a=5-a.
母题4　证明:如图,延长CD交AB于点E.
在△ACE中,CD+DE在△BDE中,BD①+②得CD+DE+BD则CD+BDDB+DC.
变式练4　证明:如图,将DE向两边延长分别交AB,AC于点M,N.
在△AMN中,AM+AN>MD+DE+NE①,
在△BDM中,MB+MD>BD②,
在△CEN中,CN+NE>CE③,
将①+②+③得AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE,
故AB+AC>BD+DE+CE.
母题5　解:(1)AE,CD.
(2)　提示:∵△ABC的面积=AE·BC=AB·CD,
∴AE·BC=AB·CD,
∴AE==.
变式练5　C　提示:∵AD⊥BC,BF⊥CF,CE⊥BE,
∴S△ABC=AD·BC=BF·AC.
∵AD=2,BC=8,BF=4,
∴AC===4.
故选C.
母题6　解:(1)∵AD是BC边上的中线,
∴BD=CD,
∴△ABD与△ADC的周长差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
∵△ABD与△ADC的周长差为3,AB=8,
∴8-AC=3,解得AC=5.
(2)∵D、E分别是BC,AD的中点,S△ABC=8,
∴S△ABE=S△ABD=S△ABC=2.
变式练6　A　提示:∵E是AD的中点,
∴S△ABE=S△ABD,S△ACE=S△ADC,
∴S△ABE+S△ACE=S△ABC=×12=6(cm2),
∴S△BCE=S△ABC=×12=6(cm2).
∵F是CE的中点,
∴S阴影=S△BEF=S△BCE=×6=3(cm2).
故选A.
母题7　解:∵AB=AC,BD为腰AC上的中线,
∴AD=DC,
依题意知,AB+AC+BC=15+6=21.
①当AB>BC时,则AB+AD=15,BC+CD=6,
∴AB+AD-(BC+CD)=AB-BC=15-6=9,
∴
解得
②当AB∴BC+CD-(AB+AD)=BC-AB=15-6=9,
∴
解得
∵AB+AC=2AB=8,
而8<13,故不能构成三角形,此情形不存在,
∴AB=10,BC=1,
即等腰三角形的腰长为10,底边长为1.
变式练7　A　提示:∵△ABC的周长为22,△ABM的周长比△ACM的周长大2,
∴2解得2又∵△ABC的三边长均为整数,△ABM的周长比△ACM的周长大2,
∴AC=为整数,
∴BC边长为偶数,
∴BC=4,6,8,10,
即BC的长可能值有4个.
故选A.
母题8　解:(1)DO是△EDF的角平分线.理由如下:
如图,
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2.
又∵DE∥AB,
∴∠3=∠2.
∵DF∥AC,
∴∠1=∠4,
∴∠3=∠4,即DO是∠EDF的平分线,
∴DO是△EDF的角平分线.
(2)DF∥AC.理由如下:
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠1=∠2.
又∵DE∥AB,
∴∠3=∠2.
又∵DO是∠EDF的平分线,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠4,
∴DF∥AC.
变式练8　解:CD⊥AB,理由如下:
∵DG⊥BC,AC⊥BC,
∴∠DGB=∠ACB=90°,
∴DG∥AC,
∴∠2=∠DCA.
∵∠1=∠2,
∴∠1=∠DCA,
∴CD∥EF.
∵EF⊥AB,
∴CD⊥AB.