11.2 与三角形有关的角 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

11.2　与三角形有关的角
任务一　三角形的内角和
母题1　如图,在△ABC中,∠BAC∶∠ABC=7∶6,∠ABC比∠C大10°,BE,AD是△ABC的高,交点为H,求∠DHB的度数.
变式练1：在锐角△ABC中,∠BAC=50°,将∠α的顶点P放置在BC边上,使∠α的两边分别与边AB,AC交于点E,F(点E不与点B重合,点F不与点C重合).设∠BEP=x,∠CFP=y.
(1)【发现】若∠α=40°.
①如图1,当点F与点A重合,x=60°时,y=　　　;
②如图2,当点E,F均不与点A重合时,x+y=　　　.
(2)【探究】判断x,y和∠α之间满足怎样的数量关系 并写出你的理由.
【关键点拨】
任务二　直角三角形的性质和判定
母题2　如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=62°,AE平分∠BAC.
(1)求∠BAE的度数.
(2)若AD⊥BC于点D,∠ADF=74°,求证:△ADF是直角三角形.
变式练2：如图,已知D是线段BC的延长线上一点,∠ACD=∠ACB,∠COD=∠B,求证:△AOE是直角三角形.
任务三　三角形的外角性质
母题3　如图,在△ABC中,已知∠ABC=66°,∠ACB=54°,BE是AC边上的高,CF是AB边上的高,H是BE和CF的交点,求∠EHF的度数.
【关键点拨】
变式练3：如图,在△ABE中,∠EAD=∠EDA,∠EAC=∠B.
(1)AD是∠BAC的平分线吗 为什么
(2)若∠B=50°,∠E=40°,求∠ACE和∠BAD的度数.
母题4　如图,将长方形ABCD沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'的位置,ED'的延长线交BC于点G.若∠EFG=64°,求∠BGE的度数.
【关键点拨】
变式练4：在三角形纸片ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,沿DE折叠,点A落在点A'的位置.
(1)如图1,当点A'落在CD边上时,∠DAE与∠1之间的数量关系为　　　　.(只填序号)
①∠DAE=∠1;②∠DAE=2∠1;③∠1=2∠DAE.
(2)如图2,当点A落在△ABC内部时,请写出∠DAE与∠1,∠2之间的数量关系,并说明理由.
任务四　三角形内角和与外角相关的探究性问题
母题5　如图1,∠MON=80°,点A,B在∠MON的两条边上运动,∠OAB与∠OBA的平分线交于点C.
(1)点A,B在运动过程中,∠ACB的大小会变吗 如果不会,求出∠ACB的度数;如果会,请说明理由.
(2)如图2,AD是∠MAB的平分线,AD的反向延长线交BC的延长线于点E,点A,B在运动过程中,∠E的大小会变吗 如果不会,求出∠E的度数;如果会,请说明理由.
(3)如图2,若∠MON=n,请直接写出∠ACB=　　　　,∠E=　　　　.
变式练5：【概念理解】在一个三角形中,如果一个角的度数是另一个角度数的4倍,那么这样的三角形我们称之为“完美三角形”.如:三个内角分别为130°,40°,10°的三角形是“完美三角形”.
【简单应用】如图1,∠MON=72°,在射线OM上找一点A,过点A作AB⊥OM交ON于点B,以A为端点作射线AD,交线段OB于点C(点C不与点O,B重合).
(1)∠ABO=　　　　°,△AOB　　　　(填“是”或“不是”)“完美三角形”.
(2)若∠ACB=90°,求证:△AOC是“完美三角形”.
【应用拓展】(3)如图2,点D在△ABC的边AB上,连接DC,作∠ADC的平分线交AC于点E,在DC上取一点F,使∠EFC+∠BDC=180°,∠DEF=∠B.若△BCD是“完美三角形”,求∠B的度数.
任务五　利用三角形的内角和或外角的性质求角度
母题6　如图,AD是∠CAE的平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,求∠ACD的度数.
变式练6：如图,AD是△ABC的外角平分线,∠B=35°,∠DAE=60°,求∠C的度数.
参考答案
母题1　解:设∠BAC=7x,∠ABC=6x,则∠C=6x-10°.
在△ABC中,7x+6x+(6x-10°)=180°,解得x=10°,
∴∠C=6×10°-10°=50°.
∵BE是△ABC的高,
∴∠BEC=90°,
∴∠CBE=180°-∠BEC-∠C=180°-90°-50°=40°.
∵AD是△ABC的高,
∴∠ADB=90°,
∴∠DHB=180°-∠ADB-∠CBE=180°-90°-40°=50°.
变式练1　解:(1)①30°.
提示:∵∠BEP=60°,∠α=40°,
∴∠EAP=60°-40°=20°.
∵∠BAC=50°,
∴y=∠BAC-∠EAP=50°-20°=30°.
②90°.
提示:∵∠BAC=50°,
∴∠B+∠C=130°.
在△BEP中,∠B+∠BEP+∠BPE=180°①,
在△PFC中,∠C+∠CFP+∠CPF=180°②.
∵∠α=40°,
∴∠CPF+∠BPE=140°.
①+②,得∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+∠BEP+∠CFP=360°.
∵∠BEP=x,∠CFP=y,
∴x+y=360°-140°-130°=90°.
(2)x+y=50°+∠α.
理由:在△BEP中,∠B+∠BEP+∠BPE=180°①,
在△PFC中,∠C+∠CFP+∠CPF=180°②,
①+②,得∠B+∠C+∠CPF+∠BPE+∠BEP+∠CFP=360°,
130°+180°-∠α+x+y=360°,
∴x+y=50°+∠α.
母题2　解:(1)∵∠B=30°,∠C=62°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-62°=88°.
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠BAC=×88°=44°.
(2)证明:∵AD⊥BC,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°,
∴∠EAD=∠BAD-∠BAE=60°-44°=16°.
∵∠ADF=74°,
∴∠ADF+∠EAD=74°+16°=90°,
∴∠AFD=90°,
∴△ADF是直角三角形.
变式练2　证明:∵∠ACD+∠ACB=180°,∠ACD=∠ACB,
∴∠ACD=∠ACB=90°.
∵∠AOE=∠COD,∠COD=∠B,
∴∠AOE=∠B.
∵∠BAC+∠B=90°,
∴∠BAC+∠AOE=90°,
∴∠AEO=90°,即△AOE是直角三角形.
母题3　解:∵∠ABC=66°,∠ACB=54°,
∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60°.
∵CF是AB边上的高,∴∠AFC=90°,
∴∠ACF=90°-∠A=30°.
在△CEH中,∠ACF=30°,∠CEH=90°,
∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°.
变式练3　解:(1)AD是∠BAC的平分线.
理由:∵∠EDA是△ABD的外角,
∴∠EDA=∠B+∠BAD.
∵∠EDA=∠EAD=∠EAC+∠CAD,∠EAC=∠B,
∴∠BAD=∠CAD,即AD是∠BAC的平分线.
(2)∵∠B=50°,∠EAC=∠B,
∴∠EAC=50°.
∵∠E=40°,
∴∠ACE=180°-50°-40°=90°,
∴∠BAC=90°-∠B=40°.
∵AD是∠BAC的平分线,
∴∠BAD=∠BAC=20°.
故∠ACE=90°,∠BAD=20°.
母题4　解:(解法不唯一)∵AD∥BC,∠EFG=64°,
∴∠DEF=∠EFG=64°.
由折叠的性质可得∠FEG=∠DEF=64°,
∴∠BGE=∠FEG+∠EFG=64°+64°=128°.
变式练4　解:(1)③.
(2)∠1+∠2=2∠DAE.
理由:如图,连接AA'.
由题意知∠EAD=∠EA'D.
∵∠1=∠A'AE+∠AA'E,∠2=∠A'AD+∠AA'D,
∴∠1+∠2=∠A'AE+∠A'AD+∠AA'E+∠AA'D=∠EAD+∠EA'D=2∠EAD.
母题5　解:(1)∠ACB的大小不变.
在△AOB中,由∠AOB=80°,得∠OAB+∠OBA=100°.
∵AC,BC分别平分∠OAB和∠OBA,
∴∠CAB=∠OAB,∠CBA=∠OBA,
∴∠CAB+∠CBA=(∠OAB+∠OBA)=×100°=50°,
∴∠ACB=180°-(∠CAB+∠CBA)=180°-50°=130°.
(2)∠E的大小不变.
∵AC,AD分别平分∠OAB和∠BAM,
∴∠CAB=∠OAB,∠DAB=∠BAM,
∴∠CAB+∠DAB=(∠OAB+∠BAM)=×180°=90°.
即∠CAD=90°,∴∠CAE=90°.
又由(1)可知∠ACB=130°,∴∠ACE=50°.
在△AEC中,由∠CAE=90°,∠ACE=50°,
得∠E=180°-90°-50°=40°.
(3)∠ACB=90°+n;∠E=n.
变式练5　解:(1)18;是.
(2)证明:∵∠MON=72°,∠ACB=90°,
∠ACB=∠OAC+∠MON,
∴∠OAC=90°-72°=18°.
∵∠AOC=72°=4×18°=4∠OAC,
∴△AOC是“完美三角形”.
(3)∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°,
∴∠EFC=∠ADC,
∴AD∥EF,∴∠DEF=∠ADE.
∵∠DEF=∠B,∴∠B=∠ADE,
∴DE∥BC,∴∠CDE=∠BCD.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE,
∴∠B=∠BCD.
∵△BCD是“完美三角形”,
∴∠BDC=4∠B或∠B=4∠BDC.
∵∠BDC+∠BCD+∠B=180°,
∴∠B=30°或∠B=80°.
母题6　解:∵AD是∠CAE的平分线,∠DAE=60°,
∴∠CAE=2∠DAE=2×60°=120°,
∴∠BAC=180-∠CAE=180°-120°=60°.
∵∠ACD是△ABC的一个外角,
∴∠ACD=∠B+∠BAC=35°+60°=95°.
变式练6　解:∵AD平分∠CAE,
∴∠DAE=∠CAD=60°,
∴∠CAE=120°.
∵∠CAE=∠B+∠C,
∴∠C=∠CAE-∠B=120°-35°=85°.