14.1 整式的乘法 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册
文档属性
| 名称 | 14.1 整式的乘法 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 131.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-13 19:53:41 | ||
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文档简介
14.1 整式的乘法
任务一 幂的运算性质的逆用
子任务1 同底数幂的乘法的性质的逆用
母题1 已知ax=3,ay=5,求ax+y的值.
变式练1：已知2a=3,2b=5,2c=30,求a,b,c之间的关系.
子任务2 幂的乘方的性质的逆用
母题2 已知a2n=5,求a4n-a6n的值.
变式练2：已知9n+1-32n=72,求n的值.
子任务3 积的乘方的性质的逆用
母题3 下图是东东同学完成的一道作业题,请你参考东东的方法解答下列问题.
东东的作业 计算:45×(-0.25)5. 解:原式=(-4×0.25)5=(-1)5=-1.
(1)计算:①82028×(-0.125)2028;
②11×13×12.
(2)若3×9n×81n=325,请求出n的值.
变式练3：计算:14×-5.
任务二 与幂的运算相关的大小比较
子任务1 底数比较法
母题4 若a=255,b=344,c=433,请比较a,b,c的大小.
【关键点拨】
变式练4：在比较215和312的大小时,我们可以这样来处理:
∵215=(25)3=323,312=(34)3=813,
又∵32<81,
∴323<813,
即215<312.
请利用上述方法比较下列各组数的大小.
(1)2100与375.
(2)3555,4444与5333.
子任务2 指数比较法
母题5 已知 a=166,b=89,c=413,试比较a,b,c的大小.
【关键点拨】
变式练5：已知a=8131,b=2741,c=961,试比较a,b,c的大小.
子任务3 乘方比较法
母题6 若a3=2,b5=3,比较a,b的大小.
变式练6：已知a、b为正数,且a2=2,b3=3,试比较a、b的大小.
任务三 整式的混合运算
母题7 计算:(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2·a2.
变式练7：计算:[(2a2bc)3-6a3b-(-4ab2)2]÷2a2b.
任务四 整式乘法中的“不含”问题
母题8 若多项式2x-m与x2+3x-n的乘积中不含x的一次项和二次项,则求m、n的值.
【关键点拨】
变式练8：阅读材料:
在学习多项式乘以多项式时,我们知道(2x+5)(3x-6)的展开结果是一个多项式,并且最高次项为2x·3x=6x2,常数项为5×(-6)=-30,那么一次项是多少呢
要解决这个问题,就是要确定该一次项的系数.通过观察,我们发现一次项系数就是2×(-6)+3×5=3,即一次项为3x.
参考材料中用到的方法,解决下列问题:
(1)求(3x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数.
(2)已知(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中不含x的二次项,求a的值.
任务五 整式乘法中的“看错”问题
母题9 小马、小虎两人共同计算一道题:(x+a)(2x+b).由于小马抄错了a的符号,得到的结果是2x2-7x+3,小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x-3.
(1)求a,b的值.
(2)细心的你请计算这道题的正确结果.
(3)当x=-1时,计算(2)中的代数式的值.
变式练9：甲、乙两人共同计算一道整式乘法:(2x+a)·(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10,由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)你能否知道式子中的a,b的值各是多少
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案.
任务六 面积的表示
母题10 现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张,卡片的边长如图所示(a>1).某同学分别拼出了两个长方形(不重叠且无缝隙),如图1和图2所示,其面积分别为S1,S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2.
(2)当a=3时,求S1+S2的值.
变式练10：我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,现有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.
例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示.
(1)请你写出图3所表示的一个等式: .
(2)如果要拼一个长为(a+3b),宽为(a+b)的长方形,那么需要A类卡片 张,B类卡片 张,C类卡片 张.
(3)试画出(2)中长方形的一种拼法,并把它的面积用等式表示出来.
任务七 化简求值
母题11 先化简,再求值:(x-2)(x-6)·(6x4-4x2-2x2)÷(-2x2),其中x=-1.
变式练11：已知2a-b=6,求[(a2+b2)+2b(a-b)-(a-b)2]÷4b的值.
参考答案
母题1 解:∵ax=3,ay=5,
∴ax+y=ax·ay=3×5=15.
变式练1 解:∵2a=3,2b=5,2c=30,
∴2a·2b=15,
∴2·2a·2b=30,
∴2a+b+1=2c,
∴a+b+1=c.
母题2 解:a4n-a6n=(a2n)2-(a2n)3=52-53=-100.
变式练2 解:∵9n+1-32n=9n+1-9n=9n(9-1)=9n×8,而72=9×8,
∴当9n+1-32n=72时,9n×8=9×8,
∴9n=9,
∴n=1.
母题3 解:(1)①82028×(-0.125)2028
=82028×0.1252028
=(8×0.125)2028
=12028
=1.
②××
=××××
=××
=111×
=1×
=.
(2)∵3×9n×81n=325,
∴3×(32)n×(34)n=325,
∴3×32n×34n=325,
∴31+2n+4n=325,
∴1+2n+4n=25,
∴n=4.
变式练3 解:×
=×
=1×
=-.
母题4 解:a=255=(25)11=3211,
b=344=(34)11=8111,
c=433=(43)11=6411.
又∵81>64>32,∴b>c>a.
变式练4 解:(1)2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725.
∵16<27,
∴1625<2725,
∴2100<375.
(2)3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.
∵125<243<256,
∴125111<243111<256111,
∴5333<3555<4444.
母题5 解:a=166=(24)6=224,
b=89=(23)9=227,
c=413=(22)13=226.
因为24<26<27,
所以224<226<227,
即a变式练5 解:∵a=8131=3124,b=2741=3123,c=961=3122,
∴a>b>c.
母题6 解:因为a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,且32>27,所以a15>b15,所以a>b.
变式练6 解:∵a2=2,
∴a6=8.
∵b3=3,
∴b6=9,
∴b6>a6,且a、b均为正数,
∴b>a.
母题7 解:(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2·a2
=23·(a2)3+(-3)2·(a3)2+(a2)2·a2
=8a6+9a6+a6
=18a6.
变式练7 解:原式=(8a6b3c3-6a3b-16a2b4)÷2a2b=4a4b2c3-3a-8b3.
母题8 解:∵(2x-m)(x2+3x-n)=2x3+(6-m)x2+(-2n-3m)x+mn,
又∵不含x、x2项,
∴6-m=0,-2n-3m=0,
解得m=6,n=-9,
故m的值为6,n的值为-9.
变式练8 解:(1)由题意可知(3x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数为
3×(-3)+(-1)×5
=-9-5
=-14.
(2)由题意得(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中二次项系数为
1×a+1×(-3)+1×1
=a-3+1
=a-2.
∵(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中不含x的二次项,
∴a-2=0,
解得a=2.
母题9 解:(1)根据题意得小马抄错所得(x-a)(2x+b)=2x2+bx-2ax-ab=2x2+(b-2a)x-ab=2x2-7x+3,
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+2x-3,
所以
联立得
(2)由(1)得正确的算式是(x+3)(2x-1)=2x2-x+6x-3=2x2+5x-3.
(3)当x=-1时,2x2+5x-3=2×1+5×(-1)-3=-6.
变式练9 解:(1)∵甲得到的算式(2x-a)·(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10,
对应的系数相等,2b-3a=11,ab=10,
乙得到的算式为(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10,
对应的系数相等,2b+a=-9,ab=10,
∴
解得
(2)由(1)得(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
母题10 解:(1)由题意得
S1=(a+a)(a+1)
=2a(a+1)
=2a2+2a,
S2=a(a+4)=a2+4a,
即S1=2a2+2a,S2=a2+4a.
(2)由(1)可得
S1+S2=2a2+2a+a2+4a
=3a2+6a,
当a=3时,
S1+S2=3×32+6×3
=3×9+18
=27+18
=45.
变式练10 解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
(2)1,3,4 提示:∵(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2,
∴需要A类卡片1张,B类卡片3张,C类卡片4张.
(3)拼图可为:
面积表示为(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2.
母题11 解:(x-2)(x-6)·(6x4-4x2-2x2)÷(-2x2)
=(x2-8x+12)·(6x4-6x2)·
=(x2-8x+12)·(-3x2+3)
=-3x4+3x2+24x3-24x-36x2+36
=-3x4+24x3-33x2-24x+36,
当x=-1时,
原式=-3×(-1)4+24×(-1)3-33×(-1)2-24×(-1)+36
=-3-24-33+24+36
=0.
变式练11 解:[(a2+b2)+2b(a-b)-(a-b)2]÷4b
=(a2+b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b
=(4ab-2b2)÷4b
=4ab÷4b-2b2÷4b
=a-.
∵2a-b=6,
∴原式===3.
任务一 幂的运算性质的逆用
子任务1 同底数幂的乘法的性质的逆用
母题1 已知ax=3,ay=5,求ax+y的值.
变式练1：已知2a=3,2b=5,2c=30,求a,b,c之间的关系.
子任务2 幂的乘方的性质的逆用
母题2 已知a2n=5,求a4n-a6n的值.
变式练2：已知9n+1-32n=72,求n的值.
子任务3 积的乘方的性质的逆用
母题3 下图是东东同学完成的一道作业题,请你参考东东的方法解答下列问题.
东东的作业 计算:45×(-0.25)5. 解:原式=(-4×0.25)5=(-1)5=-1.
(1)计算:①82028×(-0.125)2028;
②11×13×12.
(2)若3×9n×81n=325,请求出n的值.
变式练3：计算:14×-5.
任务二 与幂的运算相关的大小比较
子任务1 底数比较法
母题4 若a=255,b=344,c=433,请比较a,b,c的大小.
【关键点拨】
变式练4：在比较215和312的大小时,我们可以这样来处理:
∵215=(25)3=323,312=(34)3=813,
又∵32<81,
∴323<813,
即215<312.
请利用上述方法比较下列各组数的大小.
(1)2100与375.
(2)3555,4444与5333.
子任务2 指数比较法
母题5 已知 a=166,b=89,c=413,试比较a,b,c的大小.
【关键点拨】
变式练5：已知a=8131,b=2741,c=961,试比较a,b,c的大小.
子任务3 乘方比较法
母题6 若a3=2,b5=3,比较a,b的大小.
变式练6：已知a、b为正数,且a2=2,b3=3,试比较a、b的大小.
任务三 整式的混合运算
母题7 计算:(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2·a2.
变式练7：计算:[(2a2bc)3-6a3b-(-4ab2)2]÷2a2b.
任务四 整式乘法中的“不含”问题
母题8 若多项式2x-m与x2+3x-n的乘积中不含x的一次项和二次项,则求m、n的值.
【关键点拨】
变式练8：阅读材料:
在学习多项式乘以多项式时,我们知道(2x+5)(3x-6)的展开结果是一个多项式,并且最高次项为2x·3x=6x2,常数项为5×(-6)=-30,那么一次项是多少呢
要解决这个问题,就是要确定该一次项的系数.通过观察,我们发现一次项系数就是2×(-6)+3×5=3,即一次项为3x.
参考材料中用到的方法,解决下列问题:
(1)求(3x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数.
(2)已知(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中不含x的二次项,求a的值.
任务五 整式乘法中的“看错”问题
母题9 小马、小虎两人共同计算一道题:(x+a)(2x+b).由于小马抄错了a的符号,得到的结果是2x2-7x+3,小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到的结果是x2+2x-3.
(1)求a,b的值.
(2)细心的你请计算这道题的正确结果.
(3)当x=-1时,计算(2)中的代数式的值.
变式练9：甲、乙两人共同计算一道整式乘法:(2x+a)·(3x+b),由于甲抄错了第一个多项式中a的符号,得到的结果为6x2+11x-10,由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数,得到的结果为2x2-9x+10.
(1)你能否知道式子中的a,b的值各是多少
(2)请你计算出这道整式乘法题的正确答案.
任务六 面积的表示
母题10 现有甲种正方形、乙种长方形卡片各若干张,卡片的边长如图所示(a>1).某同学分别拼出了两个长方形(不重叠且无缝隙),如图1和图2所示,其面积分别为S1,S2.
(1)请用含a的式子分别表示S1,S2.
(2)当a=3时,求S1+S2的值.
变式练10：我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释,现有若干张如图所示的正方形和长方形卡片.
例如:(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示.
(1)请你写出图3所表示的一个等式: .
(2)如果要拼一个长为(a+3b),宽为(a+b)的长方形,那么需要A类卡片 张,B类卡片 张,C类卡片 张.
(3)试画出(2)中长方形的一种拼法,并把它的面积用等式表示出来.
任务七 化简求值
母题11 先化简,再求值:(x-2)(x-6)·(6x4-4x2-2x2)÷(-2x2),其中x=-1.
变式练11：已知2a-b=6,求[(a2+b2)+2b(a-b)-(a-b)2]÷4b的值.
参考答案
母题1 解:∵ax=3,ay=5,
∴ax+y=ax·ay=3×5=15.
变式练1 解:∵2a=3,2b=5,2c=30,
∴2a·2b=15,
∴2·2a·2b=30,
∴2a+b+1=2c,
∴a+b+1=c.
母题2 解:a4n-a6n=(a2n)2-(a2n)3=52-53=-100.
变式练2 解:∵9n+1-32n=9n+1-9n=9n(9-1)=9n×8,而72=9×8,
∴当9n+1-32n=72时,9n×8=9×8,
∴9n=9,
∴n=1.
母题3 解:(1)①82028×(-0.125)2028
=82028×0.1252028
=(8×0.125)2028
=12028
=1.
②××
=××××
=××
=111×
=1×
=.
(2)∵3×9n×81n=325,
∴3×(32)n×(34)n=325,
∴3×32n×34n=325,
∴31+2n+4n=325,
∴1+2n+4n=25,
∴n=4.
变式练3 解:×
=×
=1×
=-.
母题4 解:a=255=(25)11=3211,
b=344=(34)11=8111,
c=433=(43)11=6411.
又∵81>64>32,∴b>c>a.
变式练4 解:(1)2100=(24)25=1625,375=(33)25=2725.
∵16<27,
∴1625<2725,
∴2100<375.
(2)3555=(35)111=243111,4444=(44)111=256111,5333=(53)111=125111.
∵125<243<256,
∴125111<243111<256111,
∴5333<3555<4444.
母题5 解:a=166=(24)6=224,
b=89=(23)9=227,
c=413=(22)13=226.
因为24<26<27,
所以224<226<227,
即a
∴a>b>c.
母题6 解:因为a15=(a3)5=25=32,b15=(b5)3=33=27,且32>27,所以a15>b15,所以a>b.
变式练6 解:∵a2=2,
∴a6=8.
∵b3=3,
∴b6=9,
∴b6>a6,且a、b均为正数,
∴b>a.
母题7 解:(2a2)3+(-3a3)2+(a2)2·a2
=23·(a2)3+(-3)2·(a3)2+(a2)2·a2
=8a6+9a6+a6
=18a6.
变式练7 解:原式=(8a6b3c3-6a3b-16a2b4)÷2a2b=4a4b2c3-3a-8b3.
母题8 解:∵(2x-m)(x2+3x-n)=2x3+(6-m)x2+(-2n-3m)x+mn,
又∵不含x、x2项,
∴6-m=0,-2n-3m=0,
解得m=6,n=-9,
故m的值为6,n的值为-9.
变式练8 解:(1)由题意可知(3x-1)(5x-3)展开所得多项式中的一次项系数为
3×(-3)+(-1)×5
=-9-5
=-14.
(2)由题意得(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中二次项系数为
1×a+1×(-3)+1×1
=a-3+1
=a-2.
∵(x2+x+1)(x2-3x+a)展开所得多项式中不含x的二次项,
∴a-2=0,
解得a=2.
母题9 解:(1)根据题意得小马抄错所得(x-a)(2x+b)=2x2+bx-2ax-ab=2x2+(b-2a)x-ab=2x2-7x+3,
小虎漏抄了第二个多项式中x的系数得到(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab=x2+2x-3,
所以
联立得
(2)由(1)得正确的算式是(x+3)(2x-1)=2x2-x+6x-3=2x2+5x-3.
(3)当x=-1时,2x2+5x-3=2×1+5×(-1)-3=-6.
变式练9 解:(1)∵甲得到的算式(2x-a)·(3x+b)=6x2+(2b-3a)x-ab=6x2+11x-10,
对应的系数相等,2b-3a=11,ab=10,
乙得到的算式为(2x+a)(x+b)=2x2+(2b+a)x+ab=2x2-9x+10,
对应的系数相等,2b+a=-9,ab=10,
∴
解得
(2)由(1)得(2x-5)(3x-2)=6x2-19x+10.
母题10 解:(1)由题意得
S1=(a+a)(a+1)
=2a(a+1)
=2a2+2a,
S2=a(a+4)=a2+4a,
即S1=2a2+2a,S2=a2+4a.
(2)由(1)可得
S1+S2=2a2+2a+a2+4a
=3a2+6a,
当a=3时,
S1+S2=3×32+6×3
=3×9+18
=27+18
=45.
变式练10 解:(1)(2a+b)(a+2b)=2a2+5ab+2b2.
(2)1,3,4 提示:∵(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2,
∴需要A类卡片1张,B类卡片3张,C类卡片4张.
(3)拼图可为:
面积表示为(a+3b)(a+b)=a2+4ab+3b2.
母题11 解:(x-2)(x-6)·(6x4-4x2-2x2)÷(-2x2)
=(x2-8x+12)·(6x4-6x2)·
=(x2-8x+12)·(-3x2+3)
=-3x4+3x2+24x3-24x-36x2+36
=-3x4+24x3-33x2-24x+36,
当x=-1时,
原式=-3×(-1)4+24×(-1)3-33×(-1)2-24×(-1)+36
=-3-24-33+24+36
=0.
变式练11 解:[(a2+b2)+2b(a-b)-(a-b)2]÷4b
=(a2+b2+2ab-2b2-a2+2ab-b2)÷4b
=(4ab-2b2)÷4b
=4ab÷4b-2b2÷4b
=a-.
∵2a-b=6,
∴原式===3.