14.3 因式分解 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

14.3　因式分解
任务一　分解因式
子任务1　综合运用提公因式法、公式法分解因式
母题1　分解因式.
(1)2a2-18.
(2)x4-2x2+1.
变式练1：分解因式.
(1)x2y-36y.
(2)mn2+6mn+9m.
子任务2　先局部分解或展开,再用公式法分解因式
母题2　分解因式.
(1)(a-b)2-10b(a-b)+25b2.
(2)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2.
变式练2：因式分解.
(1)-3ax2+3ay2.
(2)(x+2)(x-8)+25.
任务二　因式分解的应用
母题3　阅读下列材料,解答下列问题:
因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题过程用到“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,
请你解答下列问题:
(1)因式分解:1+2(x-y)+(x-y)2=　 　.
(2)因式分解:(x+y)(x+y+18)+81.
变式练3：数学课上老师给出规定:如果两个数的平方差能被4整除,我们称这个算式是“佳偶和谐式”.
小亮写出如下算式:82-62=7×4;142-122=13×4;1062-1042=105×4.
发现:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.
(1)验证:222-202是“佳偶和谐式”.
(2)求证:任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.
(3)小红通过小亮的结论推广得到一个命题:任意两个偶数的平方差都能被4整除,他们的算式都是“佳偶和谐式”,直接判断此命题是真命题还是假命题.
变式练4：如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差,那么称这个正整数为“幸运数”.如:4=22-02,12=42-22,20=62-42,因此4,12,20都是“幸运数”.
(1)请判断:36　　　　“幸运数”.(填“是”或“不是”)
(2)下面是两个同学演算后的发现,请判断真假,并说明理由.
①佳佳发现:两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数.
②琪琪发现:2024是“幸运数”.
参考答案
母题1　解:(1)2a2-18
=2(a2-9)
=2(a-3)(a+3).
(2)x4-2x2+1
=(x2-1)2
=[(x-1)(x+1)]2
=(x-1)2(x+1)2.
变式练1　解:(1)x2y-36y
=y(x2-36)
=y(x+6)(x-6).
(2)mn2+6mn+9m
=m(n2+6n+9)
=m(n+3)2.
母题2　解:(1)(a-b)2-10b(a-b)+25b2
=(a-b-5b)2
=(a-6b)2.
(2)(x-y)2-8(x2-y2)+16(x+y)2
=(x-y)2-8(x-y)(x+y)+16(x+y)2
=[(x-y)-4(x+y)]2
=(x-y-4x-4y)2
=(-3x-5y)2
=(3x+5y)2.
变式练2　解:(1)-3ax2+3ay2
=-3a(x2-y2)
=-3a(x+y)(x-y).
(2)原式=x2-6x-16+25
=(x-3)2.
母题3　解:(1)(x-y+1)2.
(2)令A=x+y,
则原式=A(A+18)+81
=A2+18A+81
=(A+9)2,
故(x+y)(x+y+18)+81=(x+y+9)2.
变式练3　解:(1)证明:∵222-202=21×4,
∴222-202是“佳偶和谐式”.
(2)证明:设这两个连续偶数分别为n,n+2,
则(n+2)2-n2
=(n+2+n)(n+2-n)
=2(2n+2)
=4(n+1),
∴任意两个连续偶数的平方差都能被4整除,这些算式都是“佳偶和谐式”.
(3)设任意两个偶数分别为2a,2b,
∴(2a)2-(2b)2
=(2a+2b)(2a-2b)
=4(a+b)(a-b),
∴任意两个偶数的平方差都能被4整除,他们的算式都是“佳偶和谐式”,
∴该命题是真命题.
变式练4　解:(1)是.提示:∵36=102-82,
∴36是“幸运数”,
故答案为是.
(2)①佳佳的发现正确,理由如下:
∵两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造了“幸运数”,
∴(2k+2)2-(2k)2
=4k2+8k+4-4k2
=8k+4
=4(2k+1),
∴两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数.
②琪琪的发现错误,理由如下:
由①得4(2k+1)=2024,
解得k=252.5.
∵k不是整数,
∴琪琪的发现错误,2024不是“幸运数”.