15.3 分式方程 重难点突破 任务式练习（含答案） 2024-2025学年数学人教版八年级上册

15.3　分式方程
任务一　解分式方程
母题1　解分式方程: =.
变式练1：解方程:=.
母题2　解方程:-=.
变式练2：解分式方程:=-.
任务二　分式方程的应用
母题3　为推动乡村振兴,政府大力扶持小型企业.根据市场需求,某小型企业为加快生产速度,需要更新生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,设更新设备前每天生产x件产品.解答下列问题:
(1)更新设备后每天生产　 　件产品.(用含x的式子表示)
(2)更新设备前生产5000件产品比更新设备后生产6000件产品多用2天,则更新设备后每天生产多少件产品
变式练3：为进行某项数学综合与实践活动,小明到一个批发兼零售的商店购买所需工具.该商店规定一次性购买该工具达到一定数量后可以按批发价付款,否则按零售价付款.小明如果给学校九年级学生每人购买一个,只能按零售价付款,需用3600元;如果多购买60个,则可以按批发价付款,同样需用3600元,若按批发价购买60个与按零售价购买50个所付款相同,则这个学校九年级学生有多少人
母题4　为了践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念,某地计划在规定时间内种植梨树6000棵.开始种植时,由于志愿者的加入,实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%,结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵
变式练4：随着中国网民规模突破10亿,博物馆美育不断向线上拓展.敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”,受到广大敦煌文化爱好者的好评.某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件,为了尽快完成任务,实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍,结果提前5天完成任务,问原计划平均每天制作多少个摆件
母题5　在进一步发展国民经济,努力实现全体人民共同富裕的大背景下,“提高农民的收入,提升农民的幸福感”成为了某镇政府的核心任务.2023年,该镇主要的两种作物总产量如下表:
类别 小麦 大豆
总产量/万公斤 1440 270
通过统计与计算,发现小麦的亩产量是大豆亩产量的4倍,小麦的种植面积比大豆的种植面积多5000亩.
(1)求小麦的种植面积.
(2)为提高农民收入,镇政府决定从种植小麦的土地中,拨出一部分土地改种经济价值更高的蔬菜,要求改种蔬菜的面积不超过剩余种植小麦面积的四分之一.求改种蔬菜的土地的最大面积.
变式练5：某企业用A,B两种原料组装成一种产品.已知A原料每千克的费用比B原料每千克的费用多10元,用45000元购进的A原料数量是用25000元购进的B原料数量的1.5倍.
(1)求A原料和B原料每千克的费用.
(2)组装1盒该产品需A原料1 kg和B原料2 kg,每盒还需其他成本20元.
①直接写出每盒产品的成本价(成本=原料费+其他成本).
②该企业请甲、乙两位主播进行直播销售,每盒销售价格为320元,每月共销售1800件,其中,甲主播销售量不低于600件,且不高于乙主播销售量的两倍.已知甲主播每盒提成5元,企业每个月还需要另付2000元给甲主播;乙主播每盒提成10元,问该企业应该如何将这1800件产品分配给甲、乙两位主播直播销售,才能使该企业的每月总收益最大
参考答案
母题1　解:=,
方程两边同时乘x(x-1)得2x=x-1,
移项得x=-1.
将x=-1代入,得x(x-1)≠0,
∴x=-1是原分式方程的解.
变式练1　解:原方程去分母得3(x-2)=2(x-3),
整理得3x-6=2x-6,
解得x=0,
经检验,x=0是原方程的解.
母题2　解:去分母得12-2(x+3)=x-3,
去括号得12-2x-6=x-3,
移项合并得3x=9,
解得x=3,
经检验,x=3是增根,原分式方程无解.
变式练2　解:去分母得2x=3-(x-2),
去括号得2x=3-x+2,
移项得2x+x=3+2,
合并同类项得3x=5,
解得x=,
把x=代入,得2(x-2)≠0,
∴分式方程的解为x=.
母题3　解:(1)1.25x　提示:更新设备前每天生产 x 件产品,更新设备后生产效率比更新前提高了25%,
故更新设备后每天生产产品的数量为(1+25%)x=1.25x(件).
(2)由题意知-2=,
去分母,得6250-2.5x=6000,
解得x=100,
经检验,x=100是所列分式方程的解,
1.25×100=125(件).
答:更新设备后每天生产125件产品.
变式练3　解:设这个学校九年级学生有x人,
根据题意得×50=×60,
解得x=300,
经检验,x=300是所列方程的解,且符合题意.
答:这个学校九年级学生有300人.
母题4　解:设原计划每天种植梨树x棵,则实际每天种植梨树(1+20%)x棵,
根据题意得-=2,
解得x=500,
经检验,x=500是所列方程的解,且符合题意.
答:原计划每天种植梨树500棵.
变式练4　解:设原计划平均每天制作x个摆件,
根据题意,得-=5,
解得x=200,
经检验,x=200是原方程的解,且符合题意.
答:原计划平均每天制作200个摆件.
母题5　解:(1)设小麦的种植面积为x亩,
由题意得4×=,
即=,
方程两边同时乘x(x-5000),得1080x=1440·(x-5000),
解得x=20000.
检验:当x=20000时,x(x-5000)≠0,
∴x=20000是分式方程的解.
答:小麦的种植面积为20000亩.
(2)设改种蔬菜的面积为y亩,
根据题意得y≤(20000-y),
解得y≤4000.
答:改种蔬菜的最大面积为4000亩.
变式练5　解:(1)设A原料每千克x元,则B原料每千克(x-10)元,
根据题意得=×1.5,
解得x=60,
经检验,x=60是原方程的解,也符合题意,
∴x-10=60-10=50,
∴A原料每千克60元,B原料每千克50元.
(2)①∵1×60+2×50+20=180(元),
∴每盒产品的成本价为180元;
②设分配给甲主播m盒,企业的每月总收益为y元,则分配给乙主播(1800-m)盒.
∵甲主播销售量不低于600件,且不高于乙主播销售量的两倍,
∴ m≥600,m≤2(1800-m),
解得600≤m≤1200,
根据题意得y=1800×(320-180)-5m-2000-10(1800-m)=5m+232000.
∵5>0,
∴y随m的增大而增大,
∴当m=1200时,y取最大值5×1200+232000=238000(元),
此时1800-m=1800-1200=600,
∴分配给甲主播1200盒,乙主播600盒,才能使该企业的每月总收益最大.