6.3.1直线的方向向量与平面的法向量（同步测试）（含解析）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2
文档属性
| 名称 | 6.3.1直线的方向向量与平面的法向量（同步测试）（含解析）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2 |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 847.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-14 12:06:22 | ||
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文档简介
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6.3.1直线的方向向量与平面的法向量（同步测试）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2
一、选择题
1．若是平面a的一个法向量,且,与平面a都平行,则向量( )
A. B.
C. D.
2．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
3．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
4．已知是直线l的一个方向向量，点和点均在直线l上，则y的值为( )
A.-9 B.10 C.4 D.-2
5．已知A是空间内一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是( )
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
6．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在二维空间中，它表示一个平面.那么，过点且以为法向量的平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．给定下列命题，其中不正确的有( )
A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则
B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则
C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则
D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则
8．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
三、填空题
9．经过,两点的直线的方向向量为,则____________.
10．已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线l的方程为______________.
11．若是平面的一个法向量，且向量，与平面都平行，则向量__________.
四、解答题
12．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量.
13．某种礼物降落伞的示意图如图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小均相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取，精确到).
参考答案
1．答案：D
解析：由题意, 知,,
即,
解得
所以
2．答案：D
解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为，
则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D.
3．答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
4．答案：D
解析：由题意可知，，，且，解得，，故选D.
5．答案：C
解析：点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面.
6．答案：D
解析：设是该平面内的任意一点，则，所以过点且法向量为的平面的方程为，整理得.故选D.
7．答案：ABC
解析：对于A，b必须在内才满足.对于B，b也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立.对于C，b应垂直于a在内的射影.D正确，故选ABC.
8．答案：ABC
解析：，.连接（图略），，.直线平面，且，平面的一个法向量为.连接（图略），则，显然与平面不垂直.ABC正确，D错误.
9．答案：2
解析：
10．答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,
则直线的斜率,又直线过点,
故所求直线方程为,即.
故答案为：.
11．答案：
解析：由题意得
所以解得
所以.
12．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为x轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
(2)因为正方体的棱长为3，，
所以，，，
所以，.
设是平面的法向量，
则，，
所以
令，则，.
所以是平面的一个法向量.
13．答案：1.41 N
解析：如图，设水平面的单位法向量为n，其中一根绳子的拉力为F，
因为，所以F在n上的投影向量为.
8根绳子拉力的合力，
又因为降落全匀速下落，
所以，
解得.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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6.3.1直线的方向向量与平面的法向量（同步测试）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2
一、选择题
1．若是平面a的一个法向量,且,与平面a都平行,则向量( )
A. B.
C. D.
2．已知，，，则平面ABC的一个单位法向量是( )
A. B.
C. D.
3．已知，，，若平面的一个法向量为，则( )
A. B. C. D.
4．已知是直线l的一个方向向量，点和点均在直线l上，则y的值为( )
A.-9 B.10 C.4 D.-2
5．已知A是空间内一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件的点M构成的图形是( )
A.圆 B.直线 C.平面 D.线段
6．17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何.我们知道，方程在一维空间中表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线；在二维空间中，它表示一个平面.那么，过点且以为法向量的平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
7．给定下列命题，其中不正确的有( )
A.若a是平面的斜线，直线b垂直于a在内的射影，则
B.若a是平面的斜线，平面内的一条直线b垂直于a在内的射影，则
C.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在另一个平面内的射影，则
D.若a是平面的斜线，，且b垂直于a在内的射影，则
8．如图，在空间直角坐标系中，为单位正方体，下列结论中正确的有( )
A.直线的一个方向向量为 B.直线的一个方向向量为
C.平面的一个法向量为 D.平面的一个法向量为
三、填空题
9．经过,两点的直线的方向向量为,则____________.
10．已知直线l经过点,且其一个方向向量为,则直线l的方程为______________.
11．若是平面的一个法向量，且向量，与平面都平行，则向量__________.
四、解答题
12．如图，在棱长为3的正方体中，点M在棱上，且.以D为原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面的一个法向量；
(2)求平面的一个法向量.
13．某种礼物降落伞的示意图如图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子和水平面的法向量的夹角均为.已知礼物的质量为，每根绳子的拉力大小均相同.求降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小(重力加速度g取，精确到).
参考答案
1．答案：D
解析：由题意, 知,,
即,
解得
所以
2．答案：D
解析：依题意，，，设平面ABC的法向量为，
则令，得，于是得与n同向的单位向量为，与n反向的单位向量为，D满足，显然选项A，B，C中的向量与不共线，即A，B，C不满足.故选D.
3．答案：C
解析：，，所以，，即，，解得，，所以，故选C.
4．答案：D
解析：由题意可知，，，且，解得，，故选D.
5．答案：C
解析：点M构成的图形是经过点A，且以n为法向量的平面.
6．答案：D
解析：设是该平面内的任意一点，则，所以过点且法向量为的平面的方程为，整理得.故选D.
7．答案：ABC
解析：对于A，b必须在内才满足.对于B，b也必须在内，或者此时与重合，否则结论不成立.对于C，b应垂直于a在内的射影.D正确，故选ABC.
8．答案：ABC
解析：，.连接（图略），，.直线平面，且，平面的一个法向量为.连接（图略），则，显然与平面不垂直.ABC正确，D错误.
9．答案：2
解析：
10．答案：
解析：因为直线l的一个方向向量为,
则直线的斜率,又直线过点,
故所求直线方程为,即.
故答案为：.
11．答案：
解析：由题意得
所以解得
所以.
12．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为x轴垂直于平面，
所以是平面的一个法向量.
(2)因为正方体的棱长为3，，
所以，，，
所以，.
设是平面的法向量，
则，，
所以
令，则，.
所以是平面的一个法向量.
13．答案：1.41 N
解析：如图，设水平面的单位法向量为n，其中一根绳子的拉力为F，
因为，所以F在n上的投影向量为.
8根绳子拉力的合力，
又因为降落全匀速下落，
所以，
解得.
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