6.3.3空间角的计算（同步测试）（含解析）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2

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6.3.3空间角的计算（同步测试）-高中数学苏教版（2019）选择性必修2
一、选择题
1．如图，平面平面，四边形为正方形，四边形为菱形，，则直线，所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
2．如图，在正方体中，E，F分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3．已知向量,,且平面,平面,若平面与平面的夹角的余弦值为,则实数t的值为( )
A.或 B.或1 C.或2 D.
4．在直三棱柱中,,,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
5．在三棱锥中,已知平面ABC,,,D,E分别为的中点,则异面直线AE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6．若直线l的方向向量,平面的法向量为,则直线l和平面的位置关系是( )
A. B. C.或 D.
二、多项选择题
7．已知空间直角坐标系中的四个点,,,,E,F分别为线段上的动点,则下列结论正确的是( )
A.三棱锥的体积为 B.三棱锥的外接球表面积为
C.的最小值为 D.的最小值为
8．在正三棱锥中,SA,SB,SC两两垂直,,点M是侧棱SC的中点,AC在平面内,记直线BM与平面所成角为,则当该三棱锥绕AC旋转时的取值可能是( )
A.53° B.60° C.75° D.89°
三、填空题
9．在直棱柱中,,D,分别是,的中点,,,则二面角的余弦值是_________．
10．在正四面体中，E、F分别是、中点，则异面直线与所成角的余弦值是________.
11．已知点，，，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为________.
四、解答题
12．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，.
(1)点E在侧棱上，且平面，确定E在侧棱上的位置；
(2)若平面平面，且，求二面角的余弦值.
13．在如图所示的四棱锥中,四边形ABCD为矩形,平面ABCD,E为线段PD上的动点.
（1）若平面AEC,求的值;
（2）在（1）的条件下,若,,求平面ABC与平面AEC夹角的余弦值.
参考答案
1．答案：C
解析：取的中点O，连接，
四边形为的菱形，所以，
由于平面平面，且两平面交线为，，平面，
故平面，又四边形为正方形，故建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为2，则，，，，
故，，
则，又
故，
故直线，所成角的正弦值，
故选：C
2．答案：C
解析：建立如图所示空间直角坐标系：
设边长为1，则，，，，
所以，，
则，
故选：C
3．答案：B
解析：因为,,
所以,,,
因为平面,平面,若平面与平面的夹角的余弦值为,
所以,化简得,解得或1.
故选:B
4．答案：C
解析：由题意可知,,,三线两两垂直,所以可建立空间直角坐标系,如图所示：
则,,,．
,．
．
异面直线与所成角的余弦值为．
故选：C．
5．答案：C
解析：以A为原点,以,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系（图略）,则,,,,,,,.设异面直线AE与BD所成角的大小为,则.
6．答案：A
解析：由,,,
所以,即,所以.
故选：A.
7．答案：ABC
解析:空间中四个点,,,,
所以,,,,,
对于,因为,所以,所以,设平面法向量为,则,取,则,所以,
则点到平面的距离为:,所以,故A正确;
对于,因为,所以,又,所以,所以外接球球心为CD中点,设CD中点球心,则,所以外接球表面积为,故B正确;
对于C,E,F分别为线段AB,CD上的动点,所以EF的最小值为异面直线AB,CD之间的距离,设为垂直于AB,CD的向量,,取,则,,所以,则在上投影长为,故C正确;
对于D,的最小值即为直线AB与平面BCD所成角的最小值,设平面BCD法向量为,取,则,,所以,则,所以的最小值为,故D错误.
8．答案：AB
解析：当BM与平面平行时,;
由最小角定理,直线与平面所成的角是直线与平面内的线所成角中最小的角,
所以小于等于BM与AC所成的角,分别取SC,SA的中点M,N,
连接MN,BM,BN.
在中,,,
得,故.
因为,,
而,所以.
故选：AB.
9．答案：
解析：如图,以C为坐标原点,,,分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则,,,
可得,,
设平面的法向量为,则,
令,则,,即,
由题意可得：平面的法向量,
则,
由图形可知：二面角为钝角,所以其余弦值为.
故答案为：.
10．答案：
解析：设正四面体的棱长为1,由题意知，
，
异面直线与所成角的余弦值为,
故答案为
11．答案：
解析：因为，，，
所以,，
设平面的法向量为，则
，令，则，
平面xOy的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
故答案为：
12．答案：(1)E为侧棱上靠近B处的三等分点；
(2)
解析：（1）连接，设，连接，则平面平面，
平面，面，
底面是直角梯形，，且，
，则，
E为侧棱上靠近B处的三等分点；
（2）平面平面，且，
，平面平面，平面，
平面，（O为中点）
如图所示建立空间直角坐标系，
依题意有，，，
，则，
，，显然是平面的一个法向量，
设是平面的一个法向量，则，
取得，
，
二面角的大小的余弦值为.
13．答案：（1）
（2）
解析：（1）如图1,连接BD,交AC于点O,连接EO.
平面平面PBD,平面平面,
,又O为BD的中点,
为PD的中点,即,
（2）如图2,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,.
,,
平面ABCD,
平面ABC的一个法向量可为.
设平面AEC的法向量为,
则,
令,得,
,
平面ABC与平面AEC的夹角的余弦值为.
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