四川省绵阳市南山中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题（PDF版，含解析）

2024年 10月
绵阳南山中学高 2024级高一上期10月月考试题
数学
命题人:李忠彬 审题人:冯淼、许欢
注意事项：1. 本试卷分选择题和非选择题两部分.满分 150分，考试时间 120分钟.
2. 答题前，考生将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上.
3. 选择题必须使用 2B铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写.
4. 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷
上答题无效.
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.下列各组对象中不能组成集合的是 ( )
A. 2023年男篮世界杯参赛队伍 B.中国古典长篇小说四大名著
C.高中数学中的难题 D.我国的直辖市
2.设命题 p: x∈Z,x≤ 3x2+ 1，则 p的否定为 ( )
A. x∈Z,x> 3x2+ 1 B. x Z,x> 3x2+ 1
C. x Z,x> 3x2+ 1 D. x∈Z,x> 3x2+ 1
3.若 a,b,c∈R，则下列命题正确的是 ( )
A.若 ac2> bc2，则 a> b B.若 a> b> 0 b+ 1 b，则 a+ 1 < a
C.若 a> b，则 ac2> bc2 D.若 a< b 1，则 a >
1
b
4.若集合A= x|mx2+ 2x+m= 0,m∈R 中有且只有一个元素，则m的取值构成的集合
是 ( )
A. -1 B. 0 C. -1,1 D. -1,0,1
5.持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火
前线-共 40km，其中靠近灭火前线 5km的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运
送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为 60km h，设需摩托车运送的路段平均
速度为 xkm h，为使物资能在 1小时内到达灭火前线，则 x应该满足的不等式为 ( )
A. 40 > 1 B. 4060+ x 60+ x < 1 C.
35 5 35 5
60 + x > 1 D. 60 + x < 1
6.已知不等式m- 1< x1
2 ，则实数m的取值范围是
( )
A. 1 4 1 m|- 2 4
3
C. m|m<-
1 m> 4或 2 3 D. m|m<-
1
2 或 m≥
4
3
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7.学校举行运动会时，高一 (1)班共有 28名学生参加比赛，有 15人参加游泳比赛，有 8人参加
田径比赛，有 14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3人，同时参加游泳
比赛和球类比赛的有 3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加田径比赛和球类比赛的有
(　　)人
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
8.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公
式 ：设三角形的三条边长分别为 a，b，c，则三角形的面积 S 可由公式 S =
p p- a p- b p- c 求得，其中 p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦
九韶公式.现有一个三角形的边长满足 p = 6，a + b = 8，则此三角形面积的最大值为
( )
A. 18 3 B. 4 3 C. 8 3 D. 9 3
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对得 6分，选对但不全的得部分分，有选错的得 0分.
9.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 ( )
A. x∈R,x2- x+ 1> 0 B.有些梯形的对角线相等
C.菱形的对角线互相垂直 D.任何实数都有算术平方根
10.下列四个命题:其中正确的命题为 ( )
A.已知集合A= y ∣ y= x2+ 1 ，集合B= x ∣ y= x2+ 1 ，则A=B
B.集合 x∈N ∣
5
x+ 1 ∈N 的非空真子集有 2个
C.已知集合M= 1,m,m2+ 3 ，且 4∈M，则m的取值构成的集合为 -1,1,4
D.记A= x ∣ x= 2k+ 1,k∈ Z ，B= x ∣ x= 4n+ 1,n∈ Z ，则B A
11.若实数 a,b> 0，且 ab= a+ b+ 8，则 ( )
A. a+ b≤ 8 B. ab≥ 16
C. a+ 3b≥ 4+ 6 3 D. 1 + 4 4a- 1 b- ≥1 3
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.
12.已知-1< a< 4，1< b< 2，则 a- b的取值范围是 .
13. 8已知 y= 2x+ x- 3 x> 3 ，则 y的最小值为 ．
14.定义集合 P = {x |a ≤ x ≤ b } 的“长度”是 b - a，其中 a，b ∈ R．已如集合 M =
{x m≤ x≤m+ 1 2 ，N={x n-
3
5 ≤ x≤n ，且M，N都是集合 {x|1≤ x≤ 2}的子集，若
m= 65，集合M∪N
3
的“长度”大于 5，则n的取值范围是 .
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四、解答题：本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.设集合A= x| -1≤ x≤ 2 ，B= x|2m< x< 3 ，
(1)若m= 1，求A∪B， RA ∩B；
(2)若B∩ RA 中只有一个整数，求实数m的取值范围．
16.已知命题 p: x∈R,使得 x2- 2ax+ a2+ a- 1= 0，命题 q：m- 1≤ a≤m+ 3．
(1)若命题 p的否定是假命题，求实数 a的取值范围；
(2)若 p是 q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
17.如图，一份印刷品的排版 (阴影部分)为矩形，面积为 32，它的左、右两边都留有宽为 2的空
白，上、下两边都留有宽为 1的空白.记纸张的面积为 S，排版矩形的长和宽分别为 x，y.
(1)用 x，y 表示 S;
(2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小 并求最小面积.
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18.已知集合A= x -5≤ x≤-3 ，B= x 3m- 2< x< 2m+ 2 .
(1)若A∪B=B，求实数m的取值范围；
(2)若命题 p：“ x∈B，都有 x∈A”为真命题，求实数m的取值范围；
(3).若A∩B≠ ，求实数m的取值范围.
19. a b a + b = 1 1 + 2 . 1 2问题：正实数 ， 满足 ，求 a 的最小值 其中一种解法是：a + =b b
1 2a + a+ b = 1+
b
a +
2a + 2≥ 3+ 2 2 b 2a，当且仅当 a = 且 a+ b= 1时，即 a=b b b
2- 1且 b= 2- 2时取等号.学习上述解法并解决下列问题：
(1)若正实数 x，y满足 x+ y= 1 2 + 3，求 x y 的最小值；
2
( ) x y
2
2 若实数 a，b，x，y满足 2 -
2
2 = 1，试比较 a - b
2和 (x- y)2的大小，并指明等号成立
a b
的条件；
(3)求代数式M= 3m- 5- m- 2的最小值，并求出使得M最小的m的值.
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2024年 10月
绵阳南山中学高 2024级高一上期10月月考数学试题参考答案
1. C
【详解】A，B，D所表示的对象都能确定，能组成集合，选项C高中数学中的难题，怎样算难题
不能确定，不能组成集合，
2. D
【详解】根据全称量词命题的否定为特称量词命题，
所以命题 p: x∈Z,x≤ 3x2+ 1的否定为“ x∈Z,x> 3x2+ 1”.
3. A
【详解】选项A，ac2> bc2,可知 c2> 0，∴ a> b故选项A正确；
b+ 1 b
选项B，根据糖水不等式可知，a> b> 0, a+ 1 > a，故选项B错误；
选项C，当 c= 0时，ac2= bc2= 0，故选项C错误；
选项D，若 a< 0,b> 0，则结论错误，故选项D错误.
4. D
【详解】当m= 0时，A= x|2x= 0 = 0 ，故m= 0符合题意；
当m≠ 0时，由题意Δ= 4- 4m2= 0，解得m=±1，符合题意，
满足题意的m的取值构成的集合是 -1,0,1 .
5. D
35 5
【详解】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于 1小时，即 60 + x < 1，
6. B
1 1
【详解】由题意得 x| 3 < x< 2 x|m- 1< x m- 1≤
1
所以 3 1 4 m+ 1≥ 1 ，且等号不能同时成立，解得- 2 ≤m≤ 3 .2
7. C
【详解】设只参加田径的人数为 x，同时参加田径和球类比赛的人数为 y，只参加球类的人数为
z，则由韦恩图得：
x+ y+ 3= 8 x= 2 y+ z+ 3= 14 ，解得 y= 3，x+ y+ z+ 15= 28 z= 8
所以同时参加田径比赛和球类比赛的有 3人.
8. B
【详解】由题意可知，三角形的周长为 12，则 c= 12- a+ b = 4，
S= 6× 6- a 6- b × 2= 12 36- 6 a+ b + ab = 12 ab- 12 ，
2
因为 a+ b= 8 a+ b，所以 ab≤ 2 = 16，当且仅当 a= b= 4时等号成立，
所以 ab的最大值为 16，所以三角形面积的最大值S= 12× 16- 12 = 4 3 .
9. AC
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【详解】对于A，“ ”是全称量词，且由于Δ= 1- 4< 0，故对 x∈R,x2- x+ 1> 0，为真命题，
故A正确；
对于B，“有些”是存在量词，故B错误；
对于C，“所有的”是全称量词，所有的菱形的对角线都互相垂直，故C正确，
对于D，负数是没有算数平方根的，故D错误.
10. BD
【详解】对于A，A= y|y≥ 1 ,B=R,则A≠B，所以A选项错误；
对于B，因为集合 x∈N 5 x+ 1 ∈N = 0,4 ，所以它的非空真子集有 2个所以B选项正确；
对于C，因为集合M= 1,m,m2+ 3 ，且 4∈M，所以m= 4或m2+ 3= 4.当m2+ 3= 4时，
解得：m= 1或m=-1.而m= 1，不符合元素的互异性，故m= 4或m=-1,所以C选项错误.
对于D，集合A是由奇数组成的集合，集合B是由被 4除余 1的整数组成的集合，则B A,所
以D选项正确.
11. BCD
a+ b 2
【详解】对于选项A，由 a+ b+ 8= ab≤ 2 ，当且仅当 a= b时等号成立，不妨设 a+ b=
t，则得 t2- 4t- 32≥ 0，解得：t≥ 8或 t≤-4，因 a,b> 0，则 a+ b≥ 8，故A项错误；
对于选项B，由 ab- 8= a+ b≥ 2 ab，当且仅当 a= b时等号成立，不妨设 ab= s，
则 s2- 2s- 8≥ 0，解得：s≥ 4或 s≤-2，因 s> 0，则 s≥ 4，即 ab≥ 16，故B项正确；
b+ 8
对于选项C，由 ab= a+ b+ 8可得：a(b- 1) = b+ 8，则 b> 1，且 a=
b- ，1
a+ 3b= b+ 8则 - + 3b= 1+
9
- + 3b= 4+
9
- + 3(b- 1)≥ 4+ 2 27= 4+ 6 3，b 1 b 1 b 1
9
当且仅当 - = 3(b- 1)时取等号，即 b= 3+ 1,a= 3 3+ 1时，a+ 3b有最小值 4+ 6 3，b 1
故C项正确；
对于选项D，由 ab= a+ b+ 8可得：ab- a- b+ 1= 9，即 (a- 1) (b- 1) = 9，且 a> 1,b> 1，
1
则 a- 1 +
4 1 4 4 4 1 4
- ≥ 2 a- 1 b- 1 = 2 9 = 3 ，当且仅当 a- 1 = - 时等号成立，b 1 b 1
1 = 4 a= 5 5 1 4 4
由 a- 1 b- 1 解得： ab= a+ b+ 8 2 ，即当且仅当 a= 2 ,b= 7时，b= 7 a- 1 + - 有最小值b 1 3 ，故
D项正确.
12. - 3< a- b< 3
【详解】因为-1< a< 4，1< b< 2，则-2<-b<-1,所以 a- b的取值范围是-3< a- b< 3.
13. 14
【详解】【详解】因为 x> 3，所以 x- 3> 0，
8 8
则 y= 2x+ x- 3 = 2 x- 3 +
8
x- 3 + 6≥ 2 2 x- 3 x- 3 + 6= 14，
当且仅当 2 x- 3 = 8x- 3 ，即 x= 5时取等号，所以当 x= 5时，y取最小值为 14.
14. {n 85 ≤n<
17 9
10 或 5
【详解】集合M={x m≤ x≤m+ 1 2 ，N={x n-
3
5 ≤ x≤n ，且M，N都是集合 {x|1≤ x≤
答案第 2页，共 4页
2}的子集，
m≥ 1 ≤ ≤ 3 n- 3 ≥ 1 8由 + 1 ≤ ，可得 1 m 2 ，由 5 ，可得 5 ≤n≤ 2．m 2 2 n≤ 2
若m= 65 ，M=
6 17
x ≤ x≤ 5 10 ，
要使集合M∪N 3 3 17的“长度”大于 5 ，故n- 5 < 10 -
3 n> 65 或 5 +
3
5 ,
n< 17即 10 或n>
9
5 ,
8
又 5 ≤n≤ 2
8 17 9
，故n的取值范围是 {n 5 ≤n< 10 或 5 15. 【答案】(1)A∪B={x| -1≤ x< 3}， RA ∩B={x|2< x< 3}；(2) m - 3 2 ≤m<-1
【详解】(1) (1)因为m= 1，所以B= x|2< x< 3 ，
又A= x| -1≤ x≤ 2 ，所以 RA={x|x<-1或 x> 2}，
所以A∪B={x| -1≤ x< 3}， RA ∩B={x|2< x< 3}．
(2)由 (1)知 RA={x|x<-1或 x> 2}，又B∩ RA 中只有一个整数，
由图知，B≠ ，且-3≤ 2m<-2 3，所以m的取值范围为： m - 2 ≤m<-1
16. 【答案】(1): a a≤ 1 ；(2) m m≤-2
【详解】(1)因为命题 p的否定是假命题，所以命题 p是真命题，
即关于 x的方程 x2- 2ax+ a2+ a- 1= 0有实数根，因此Δ= 4a2- 4(a2+ a- 1)≥ 0，
解得 a≤ 1，所以实数 a的取值范围是 a a≤ 1 .
(2)由 (1)知，命题 p是真命题，即 p: a a≤ 1 ，
因为命题 p是命题 q的必要不充分条件，则 a|m- 1≤ a≤m+ 3} a a≤ 1 ，
因此m+ 3≤ 1，解得m≤-2，所以实数m的取值范围是 m m≤-2 .
17. 【答案】(1)S= 40+ 2x+ 4y(x> 0,y> 0)；
(2)纸张的长和宽分别为 12，6时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
【详解】(1)由题意，xy= 32，S= (x+ 4) (y+ 2) = xy+ 2x+ 4y+ 8= 40+ 2x+ 4y(x> 0,y>
0).
(2)S= 40+ 2x+ 4y≥ 40+ 2 8xy= 72，当且仅当 2x= 4y，即 x= 8,y= 4时等号成立，
所以纸张的长和宽分别为 12，6时，纸张的面积最小，最小面积为 72.
18. 5 7 1【答案】(1) m - 2 【详解】(1)若A∪B=B，则A B，
又A= x -5≤ x≤-3 ，B= x 3m- 2< x< 2m+ 2
3m- 2<-5 5
所以 + >- ，解得实数m的取值范围为： m - (2)若命题 p：“ x∈B，都有 x∈A”为真命题，则B A；
①当B= 时，3m- 2≥ 2m+ 2，即m≥ 4,此时B A；
3m- 2< 2m+ 2
①当B≠ 时，需满足 3m- 2≥-5 ，此时无解；2m+ 2≤-3
答案第 3页，共 4页
所以实数m的取值范围为： m m≥ 4 .
(3)因为A∩B≠ ，
2m+ 2>-3
-5≤ 3m- 2<-3 -5< 2m+ 2≤-3
所以 3m- 或2< 2m+ 2 3m- 2< + 或2m 2 3m- 2<-5 ，3m- 2< 2m+ 2
解得-1≤m<- 1 - 7 7 1
所以实数m的取值范围为： m - 2 2 2 2 2
19. 【答案】(1)5+ 2 6；(2)a2- b2≤ x- y 2 b x ，当且仅当 2 =
a y
2 且 x，y同号时等号成立；a b
(3)m= 13 66 时，M取得最小值 3 ．
【详解】(1)因为 x> 0,y> 0,x+ y= 1，
2 3 2 3 3x 2y 2y
所以 3xx + y = (x+ y) x + y = 5+ y + x ≥ 5+ 2 y × x = 5+ 2 6，
3x = 2y当且仅当 y x ，即 x= 6- 2,y= 3- 6 时取等号，所以 x+ y的最小值是 5+ 2 6．
2 2 2
(2))a2- b2= a2- b2 × 1= a2- b2 x
2 y b2x2 a y
2 - 2 = x2+ y2- 2 + 2 ，a b a b
2 2 a2y2b x 2 2 a2y2
2 2
b2x2 a y
又 b x2 + 2 ≥ 2 2 2 = 2 xy ，当且仅当 2 =a b a b a b2
时等号成立，
2 2
x2+ y2- b
2x2 a y
所以 2 2 2 2 2
a2
+ 2 ≤ x + y - 2 xy ≤ x + y - 2xy= x- y ，b
所以 a2- b2≤ x- y 2 ，
2 2 a2y2 2 y2b x
当且仅当 2 = 2 且 x，y
x
同号时等号成立.此时 x，y满足 - = 1；
a b a2 b2
( ) = - = - 3m- 5≥ 03 令 x 3m 5，y m 2，由 m- 2≥ 得m≥ 2，0
x2- y2= 3m- 5 - m- 2 = 2m- 3> 0，
2 y2
又 x> 0,y> 0 x，所以 x> y，构造 2 - 2 = 1，a b
2 2
由 x2- 2= x - y3y 1，可得 1 1 = 1，因此 a
2= 1,b2= 13 ，
3
由 (2)知M= 3m- 5- m- 2= x- y≥ a2- b2= 1- 13 =
6
3 ，
1
取等号时，3 x
2= 3y2且 x,y同正，
结合 x2- 3y2= 1，解得 x= 62 ,y=
6
6 ，即 3m- 5=
6 m= 132 ， 6 ．
所以m= 13 M 66 时， 取得最小值 3 ．
答案第 4页，共 4页
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数学答题卡
17. （15分）
班级 姓名 考场号 座位号
注意事项 准考证号
1.答题前请将姓名、班级、考场、座
[ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ] [ 0 ]
号和准考证号填写清楚。
[ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ] [ 1 ]
2.客观题答题,必须使用2B铅笔填涂,
[ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ] [ 2 ]
修改时用橡皮擦干净。
[ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ] [ 3 ]
3.主观题必须使用黑色签字笔书写。
[ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ]
4.必须在题号对应的答题区域内作
[ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ] [ 5 ]
答,超出答题区域书写无效。 [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ] [ 6 ]
5.保持答卷清洁完整。 [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ] [ 7 ]
[ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ] [ 8 ]
[ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ] [ 9 ]
考生禁填
正确填涂 错误填涂 缺考 违规
(由监考老师填涂)
选择题 (共11题，共58分)
1 A B C D 6 A B C D 11 A B C D
2 A B C D 7 A B C D
16
3 . （15分）A B C D 8 A B C D
4 A B C D 9 A B C D
5 A B C D 10 A B C D
填空题（共3题，共15分）
12、
13、
14、
解答题（共5题，共77分）
15. （13分）
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请保持答题卡干净整洁，不要污损
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18. （17分）
19. （17分）
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