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2024-2025学年备战期中统测卷02
（总分：150分 时间：120分钟）
姓名： 得分：
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 已知的半径，，则点与的位置关系是（ ）
A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定
4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5. 下列说法：有下列说法：（1）长度相等弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ）
A. B. 8 C. D.
8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9. 一元二次方程的根是______________．
10. 关于x一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__________．
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
12. 已知方程的两根分别为，，则的值为______．
13. 直角三角形的直角边分别为5和12，则此直角三角形的内切圆直径是______．
14. 如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则______．
15. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为______．
16. 已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________
17. 如图，P是直线上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作，当与x轴相切，点P的坐标为______．
18. 已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为______．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
20. 如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
22. 尺规作图，将图中破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．
23. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米．
（1）长为 米（用含x的代数式表示）
（2）若仓库的面积为150平米，求；
（3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．
24. 仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方式以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求 的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=．
∵无论取什么数，都有≥0，∴的最小值为0，此时，进而的最小值是，∴当时，原多项式的最小值是．
请根据上面的解题思路，探求：
（1）多项式 的最小值是多少，并写出对应的的取值；
（2）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值．
25. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，求的长．
26. 泗阳县公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
27. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“心痛方程”．通过计算发现，任何一个“心痛方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“心痛方程”的“心痛数”．例如“心痛方程”，的两根均为整数，其“心痛数”，若有另一个“心痛方程”的“心痛数”，且满足，则称与互为“快乐数”．
（1）“心痛方程”的“心痛数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“心痛方程”，求的值，并求该方程的“心痛数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“心痛方程”，且其“心痛数”互为“快乐数”，求的值．
28. [学习心得]
（1）杨洋同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______．
[初步运用]
（2）如图2，四边形中，，，则______°；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长．中小学教育资源及组卷应用平台
2024-2025学年备战期中统测卷02
（总分：150分 时间：120分钟）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．）
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程．
【详解】、，二元一次方程，原选项不符合题意；
、，是二元二次方程，原选项不符合题意；
、，是分式方程，原选项不符合题意；
、，是一元二次方程，原选项符合题意；
故选：．
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
3. 已知的半径，，则点与的位置关系是（ ）
A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点与圆的位置关系．点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，即点到圆心的距离，即圆的半径）．
【详解】解：，
点与的位置关系是点在圆外．
故选：C．
4. 如图，点A，B，C在上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角与圆心角的关系，直接根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半进行解答即可．
【详解】解：∵如图：，
∴，
故选：D．
5. 下列说法：有下列说法：（1）长度相等的弧是等弧，（2）直径是圆中最长的弦，（3）圆的内接平行四边形是矩形，（4）三角形的外心到三角形三条边的距离相等，（5）相等的圆心角所对的弧相等，其中正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据等弧的概念可判断（1）；根据直径的特征可判断（2）；根据圆内接四边形的性质和矩形的判定方法可判断（3）；根据三角形的外接圆可判断（4）；根据圆周角定理可判断（5）．
【详解】解：（1）同圆或等圆中，能够重合的弧是等弧，故原说法错误；
（2）直径是圆中最长的弦，正确；
（3）圆内接平行四边形的对角互补，邻角互补，可得对角既相等又互补，即平形四边有一个内角是，所以圆的内接平行四边形是矩形，正确；
（4）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故原说法错误；
（5）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原说法错误．
故选B．
【点睛】本题考查了等弧的概念，平行四边形的性质，矩形的判定，三角形的外接圆，圆周角定理等知识，熟练掌握圆的有关性质是解答本题的关键．
6. 如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时
点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键．
【详解】解：∵点,
∴,
过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴点 D 到弦的距离最大为，
∴点D的坐标为，
故选A．
．
7. 如图，是弦，半径于点C，为直径，，线段长为（ ）
A. B. 8 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，也考查了勾股定理、圆周角定理，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，在中利用勾股定理求出的值，易得，连接，由是直径，根据圆周角定理得到，利用是的中位线得到，然后在中利用勾股定理可计算出．
【详解】解：连接，如图，
弦，，
，
设的半径，
，
在中，
，
解得：，
；
，，
，
是直径，
，
是的中位线，
，
在中，．
故选：D
8. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法：①方程是倍根方程；②若p，q满足，则关于x的方程是倍根方程；③若是倍根方程，则．其中正确的个数为（ ）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，新定义的倍根方程的意义，理解倍根方程的意义和正确求出方程的解是解决问题的关键．
①求出方程的解，再判断是否为倍根方程；
②当p，q满足，则，求出两个根，再根据代入可得两个根之间的关系，进而判断是否为倍根方程；
③根据倍根方程和其中一个根，可求出另一个根，进而得到m、n之间的关系，然后代入验证即可判断．
【详解】解：①解方程
，
∴或，
解得，，，得，，
方程不是倍根方程；
故①不正确；
②∵，则：，
，，
，
因此是倍根方程，
故②正确；
③若是倍根方程，，
因此或，
当时，，
当时，，
，
故③正确；
故选：C．
二、填空题（本大题共有10小题，每题3分，共30分．不写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡的相应位置上）
9. 一元二次方程的根是______________．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法，选择适合的方法可以简便运算；
运用因式分解解一元二次方程即可；
【详解】解：
移项：
提公因式：
或
或
故答案为：，
10. 关于x的一元二次方程可以用直接开平方法求解，则m的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，理解平方的非负性是解题关键．根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得．
【详解】解：可以用直接开平方法求解，
，
．
故答案为．
11. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
且，
解得：且，
故答案为：且．
12. 已知方程的两根分别为，，则的值为______．
【答案】##0.5
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，若一元二次方程的两根分别为，，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
先根据根与系数的关系得到，，然后把化简为然后整体代入即可．
【详解】解：方程的两根分别为，，
，，
．
故答案为：．
13. 直角三角形的直角边分别为5和12，则此直角三角形的内切圆直径是______．
【答案】4
【解析】
【分析】如图，，为的内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接，由切线长定理得，如图，设的半径为r，根据切线的性质得到，，再证明矩形为正方形得到，所以，所以，解方程求出r，从而得到的直径．
【详解】解：如图，，为内切圆，分别与三边切于D、E、F，连接，如图，设的半径为r，
∴．
∵与相切，
∴，
∴四边形为矩形，
而，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴的直径为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了切线的性质．
14. 如图，，是的切线，切点为，点在上，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，切线长定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，连接，由圆的内接四边形的性质可得，进而可得，再根据切线长定理可得，即得，最后根据三角形内角和定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∵，是的切线，切点为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15. 我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点C是运行轨道的最低点，则点C到弦的距离为______．
【答案】2米
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可．
【详解】解：如图，连接、，交于点，
由题意得：米，，
（米，，
（米，
米，
故答案为：2米．
16. 已知等腰三角形的一边长，另外两边的长恰好是关于的一元二次方程的两个根，则的周长为___________
【答案】15
【解析】
【分析】分情况讨论：若a作为腰，则方程的一个根为6，将6代入求出k的值，然后求出方程的解，得出三角形的周长；将a作为底，则说明方程有两个相等的实数根，则根据求出k的值，然后将k的值代入方程求出解，得出周长．
【详解】若为腰，则中还有一腰，即6是方程的一个根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
此时能构成三角形，的周长为：
若为底，则，即方程有两个相等的实根．
∴
解得：
将代入得：
解得：． ，
∵
∴此时不能构成三角形，不能计算周长
综上可得：的周长为15．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．
17. 如图，P是直线上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作，当与x轴相切，点P的坐标为______．
【答案】或
【解析】
【分析】设点P的坐标为，当与x轴相切时，点P到x轴的距离为1，再根据点到x轴的距离即为纵坐标的绝对值得到，求出m的值即可得到答案．
【详解】解：设点P的坐标为，
∵的半径为1，
∴当与x轴相切时，点P到x轴的距离为1，
∴，
解得或，
∴点P的坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，切线的性质，点到坐标轴的距离，解绝对值方程，正确理解题意得到当与x轴相切时，点P到x轴的距离为1是解题的关键．
18. 已知以为直径的圆O，C为弧的中点，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】以为斜边作等腰，则，连接，，，可求，可得点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，当、、三点共线时，最小，，由，，即可求解．
【详解】解：如图所示，以为斜边作等腰，则，连接，，．
，
的直径为，C为的中点，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
点D的运动轨迹为以Q为圆心，为半径的，
当、、三点共线时，最小，，
，
，
；
的最小值为．
故答案：．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆上一点的最小距离的典型线段最值问题，圆的基本性质，勾股定理，等腰三角形的性质等，找出动点的运动轨迹是解题的关键．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过或演算步骤）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）整理成一般式后用公式法求解即可；
（2）用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：
整理，得，
∵，
∴，
∴，；
【小问2详解】
，
∵，
∴，
∴．
20. 如图，在中，弦与弦相交于点E，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系、圆周角定理的推论；
由弦相等得到，推出，得到，再利用等腰三角形的判定得出结论．
【详解】证明：，
，
，即，
，
．
21. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，解题的关键是：
（1）计算根的判别式得到，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）解方程得到，，则，然后解不等式即可．
【小问1详解】
解：证明：
，
此方程总有两个实数根；
【小问2详解】
，
，，
此方程恰有一个根小于，
，
解得，
即的取值范围为．
22. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点A，B，C．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若△ABC是等腰三角形，底边BC=16cm，腰AB=10cm，求圆片的半径R．
【答案】（1）如图所示见解析；（2）圆片的半径R为cm．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理，分别作弦AB和AC的垂直平分线交点即为所求；
（2）连接AO，OB，利用垂径定理和勾股定理可求出圆片的半径R．
【详解】（1）如图所示：分别作弦AB和AC的垂直平分线，交点O即为所求的圆心；
（2）连接AO，OB，
∵BC=16cm，∴BD=8cm，∵AB=10cm，∴AD=6cm，
设圆片的半径为R，在Rt△BOD中，OD=（R-6）cm，
∴R2=82+（R-6）2，
解得：R=cm，
∴圆片的半径R为cm．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的推论，我们可以把垂径定理的题设和结论这样叙述：一条直线①过圆心，②垂直于弦，③平分弦，④平分优弧，⑤平分劣弧．在应用垂径定理解题时，只要具备上述5条中任意2条，则其他3条成立．
23. 如图，要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），若设为x米．
（1）的长为 米（用含x的代数式表示）
（2）若仓库的面积为150平米，求；
（3）仓库的面积能为吗？若能，求出的长，若不能，说明理由．
【答案】（1）
（2）米
（3）不能，见详解
【解析】
【分析】（1）因为设的长为米，则米，即可作答．
（2）根据题意得到，解方程即可得到结论；
（3）根据题意得到函数关系，根据判别式的情况，即可得到结论．
本题考查了实际问题与一元二次方程： 与图形有关的问题(一元二次方程的应用)，正确的理解题意是解题的关键．
【小问1详解】
解：设的长为米，
∵要建一个矩形仓库，一边靠墙（墙长)，并在边上开一道宽的门，现在可用的材料为38米长的木板(全部使用完），
∴米，
故答案为：
【小问2详解】
解：根据题意得，，
解得：，，
当时，，
当时，（不合题意舍去），
∴米；
【小问3详解】
解：根据题意得，，
∴
∴
则
该方程无实数解
∴仓库的面积不能为．
24. 仔细阅读材料，再尝试解决问题：
完全平方式以及的值为非负数的特点在数学学习中有广泛的应用，比如探求 的最大（小）值时，我们可以这样处理：
解：原式=．
∵无论取什么数，都有≥0，∴的最小值为0，此时，进而的最小值是，∴当时，原多项式的最小值是．
请根据上面的解题思路，探求：
（1）多项式 的最小值是多少，并写出对应的的取值；
（2）多项式的最大值是多少，并写出对应的的取值．
【答案】（1）当时，原多项式的最小值是；
（2）当时，原多项式的最大值是14
【解析】
【分析】（1）先利用配方法将式子进行整理得到，即可求解；
（2）先利用配方法将式子进行整理得到，即可求解．
【小问1详解】
．
当时，原多项式的最小值是；
【小问2详解】
．
当时，原多项式的最大值是14．
【点睛】本题考查的是配方法的应用、非负数的性质，掌握完全平方公式、灵活运用配方法是解题的关键．
25. 如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
（1）连接．证明即可；
（2）设，则，在中，，可得，再根据勾股定理可解决问题．
【小问1详解】
证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是直径，D是的中点，
∴，
∴，
∴，即，
∵是半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
设，则，
在中，
∴，解得，
∴，
∵，
∴，
∴．
26. 龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？
【答案】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为
（2）该品牌头盔每个售价应定为50元
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可；
（2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可．
【小问1详解】
解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得
解得（不合题意，舍去）
答：设该品牌头盔销售量的月增长率为．
【小问2详解】
解：设该品牌头盔每个售价为y元，
依题意，得
整理，得
解得
因尽可能让顾客得到实惠
，所以不合题意，舍去．
所以．
答：该品牌头盔每个售价应定50元．
27. 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．现规定为该“快乐方程”的“快乐数”．例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”．
（1）“快乐方程”的“快乐数”为________；
（2）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”；
（3）若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值．
【答案】（1）
（2），
（3）n的值为0或3
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键．
（1）根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”；
（2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”；
（3）关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值．
小问1详解】
解：方程的“快乐数为：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：方程，
∴，
∵，
∴，
又方程是“快乐方程”，
∴或36，
∴，（舍去），
∴方程为：，
则，
故其“快乐数”数是；
【小问3详解】
解：，
∴，
设，
则，
又与同奇偶，
∴或或或
解得或，
∴方程为：或；
，
∴，
，
当时，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得：或（舍去），
当时，，
∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，
∴，
解得，
综上，n的值为0或3．
28 [学习心得]
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则______．
[初步运用]
（2）如图2，在四边形中，，，则______°；
[方法迁移]
（3）如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）；
[问题拓展]
（4）①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为______．
②如图4②，在中，，是边上的高，且，．求的长．
【答案】（1）；（2）25；（3）见解析；（4）①；②
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理可得出答案；
（2）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案；
（3）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P；
（4）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案；
②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案．
【详解】解：（1）是的圆心角，是的圆周角，，
；
故答案为：；
（2）如图2，取的中点，连接、．
，
，，
，
点、、、共圆，
，
，
．
故答案为：25；
（3）作图如下：
由图知，；同理．
（4）①．理由如下：
在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示：
，
，
的半径为，即，
∵，
，
，
，
，
，即，
故答案为：；
②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形，
∴．
，
．
在中，，
．
，为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
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