江苏省常州市2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版）
文档属性
| 名称 | 江苏省常州市2015-2016学年高一（上）期末数学试卷（解析版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 227.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-02-22 21:20:30 | ||
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文档简介
2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩ UB= ．
2．cos300°的值是 ．
3．函数的最小正周期为 ．
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 ．
5．已知向量，，则的值为 ．
6．已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ．
7．已知tan（α+）=2，则tanα= ．
8．函数的定义域为 ．
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为 ．
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为6 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是 ．
14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．
（1）求A∪B；
（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．
16．已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
17．已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储 ( http: / / www.21cnjy.com )存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．
（1）当时，求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3） f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.
20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．
（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；
（2）已知函数g（x）的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为D，若存在区间[m，n] D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩ UB= {1} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．
【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，
∴ UB={1，3}，
又A={1，4}，
∴A∩ UB={1}．
故答案为：{1}．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2．cos300°的值是 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．
【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=
故答案为
【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．
3．函数的最小正周期为 ．
【考点】正切函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．
【解答】解：的周期为T=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 {﹣2，0} ．
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，
得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．
∴f（x）的值域为{﹣2，0}．
故答案为：{﹣2，0}．
【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．
5．已知向量，，则的值为 5 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出的坐标，再计算模长．
【解答】解： =（3，4），∴||==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和模长计算，属于基础题．
6．已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 （﹣1，0） ．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．
【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．
7．已知tan（α+）=2，则tanα= ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得 tanα 的值．
【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴ =2，解得 tanα=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8．函数的定义域为 （﹣2，4] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得﹣2＜x≤4．
∴函数的定义域为（﹣2，4]．
故答案为：（﹣2，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，训练了指数不等式的解法，是基础题．
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．
【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，
所以扇形的面积为： =1．
故答案为：1．
【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．
10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为 c，a，b ．
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式．
【分析】由有理指数幂的化简与求值可得a＜1，b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵ =，＜0， =log23＞1，
∴c＞a＞b．
故答案为：c，a，b．
【点评】本题考查实数的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，
求得ω=．
再根据五点法作图可得 （﹣1）+φ=0，求得φ=，
故f（x）=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】设=， =，则=， =+，从而=，由此能求出λ+μ．
【解答】解：设=， =，
∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，
∴=， =+，
∵，λ，μ均为实数，，
∴=，
∴，解得，
∴λ+μ=．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是 ．
【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由奇函数的性质和函数的周期 ( http: / / www.21cnjy.com )性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，
即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，
且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，
即或，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．
14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】令==， ==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．
【解答】解： ====， ====．
∴（） （）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．
∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．： =．
∴=×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．
二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．
（1）求A∪B；
（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．
【考点】子集与真子集；并集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．
【分析】（1）由已知条件利用并集定义能求出A∪B．
（2）先求出A∩B，从而求出C={2，3}．由此能写出集合C的所有子集．
【解答】解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}．…
（2）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∩B={x|1＜x≤3}，
∵C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，∴C={2，3}．…
∴集合C的所有子集为： ，{2}，{3}，{2，3}．…
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．
16．已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．
【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，
∴．
（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
17．已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；
（2）由∥得，对进行化简得出答案．
【解答】解：（1）∵，∴，∴．
∴．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴．
（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．
∴，．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存 ( http: / / www.21cnjy.com )温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．
（2）由题意y=ekx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意，，∴…
∴当x=30时，．…
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…
（2）由题意y=ekx+b≥80，∴，…
∴kx≥10k．
由可知k＜0，故x≤10．…
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．
（1）当时，求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3） f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x） log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）令t=log2x，则 ( http: / / www.21cnjy.com )t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x） log2x，
令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…
∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]
即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…
（2）∵f（x3） f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒
∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…
令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，
则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…
∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，
∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤﹣20； …
②当，即k≥16时，
由φ（3）＞0，得，不成立； …
③当，即﹣20＜k＜16时，
由，得，
∴．…
综上，．…
【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.
20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．
（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出f（x）的解析式并化简，根据函数类型判断f（x）的单调区间；
（2）分离参数得，作出其函数图象，根据函数图象得出m的范围．
【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=x2+3x﹣|1﹣x2|．
①当﹣1≤x≤1时，．
∴f（x）在递减，在递增．
②当x＜﹣1或x＞1时，f（x）=3x+1．
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增．
综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．
（2）∵f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，
∴方程x2+mx﹣|1﹣x2|=0在区间（0，2）上有且只有1解，
即方程在区间（0，2）上有且只有1解，
从而函数图象与直线y=m有且只有一个公共点．
作出函数的图象，
结合图象知实数m的取值范围是：或m=﹣1．
【点评】本题考查了分段函数的单调性与单调区间，分段函数的零点个数判断．属于中档题．
21．已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；
（2）已知函数g（x）的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域为D，若存在区间[m，n] D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；
（2）假设存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数． …
①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴，且，
∴．…
②由①知，
∴，
∵，∴．…
（2）假设存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．
∵，∴．…
①若，∵f（x）在上为减函数，
∴解得或，不合题意．…
②若，∵f（x）在上为增函数，
∴解得不合题意．…
综上可知，不存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…
【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩ UB= ．
2．cos300°的值是 ．
3．函数的最小正周期为 ．
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 ．
5．已知向量，，则的值为 ．
6．已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 ．
7．已知tan（α+）=2，则tanα= ．
8．函数的定义域为 ．
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 cm2．
10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为 ．
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为6 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是 ．
14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．
（1）求A∪B；
（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．
16．已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
17．已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储 ( http: / / www.21cnjy.com )存温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．
（1）当时，求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3） f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.
20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．
（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．
21．已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；
（2）已知函数g（x）的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域为D，若存在区间[m，n] D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
2015-2016学年江苏省常州市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共计42分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，4}，B={2，4}，则A∩ UB= {1} ．
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；集合思想；数学模型法；集合．
【分析】直接利用交、并、补集的混合运算求得答案．
【解答】解：∵U={1，2，3，4}，B={2，4}，
∴ UB={1，3}，
又A={1，4}，
∴A∩ UB={1}．
故答案为：{1}．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础的计算题．
2．cos300°的值是 ．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【专题】计算题．
【分析】根据诱导公式，可先借助300°=360°﹣60°，再利用诱导公式和特殊角的三角函数值求出．
【解答】解：cos300°=cos（360°﹣60°）=cos60°=
故答案为
【点评】考查学生灵活运用诱导公式进行化简的能力．
3．函数的最小正周期为 ．
【考点】正切函数的图象．
【专题】计算题；函数思想；分析法；三角函数的图像与性质．
【分析】根据正切函数的周期性进行求解即可．
【解答】解：的周期为T=．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的周期的计算，比较基础．
4．已知函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，则f（x）的值域为 {﹣2，0} ．
【考点】函数的值域．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】直接把x的取值代入函数解析式求解．
【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣3x的定义域为{1，2，3}，
得f（1）=﹣2，f（2）=﹣2，f（3）=0．
∴f（x）的值域为{﹣2，0}．
故答案为：{﹣2，0}．
【点评】本题考查函数值域的求法，是基础的计算题．
5．已知向量，，则的值为 5 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】求出的坐标，再计算模长．
【解答】解： =（3，4），∴||==5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了向量的坐标运算和模长计算，属于基础题．
6．已知函数f（x）=ax+1﹣1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点P，则点P的坐标为 （﹣1，0） ．
【考点】指数函数的图像与性质．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】令x+1=0，得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．于是f（x）恒过点（﹣1，0）．
【解答】解：令x+1=0，解得x=﹣1，f（﹣1）=a0﹣1=0．∴f（x）恒过点（﹣1，0）．
故答案为（﹣1，0）．
【点评】本题考查了指数函数的性质，是基础题．
7．已知tan（α+）=2，则tanα= ．
【考点】两角和与差的正切函数．
【专题】计算题．
【分析】根据已知的条件，利用两角和的正切公式可得=2，解方程求得 tanα 的值．
【解答】解：∵已知tan（α+）=2，∴ =2，解得 tanα=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．
8．函数的定义域为 （﹣2，4] ．
【考点】函数的定义域及其求法．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．
【解答】解：由，解得﹣2＜x≤4．
∴函数的定义域为（﹣2，4]．
故答案为：（﹣2，4]．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，训练了指数不等式的解法，是基础题．
9．已知扇形的半径为1cm，圆心角为2rad，则该扇形的面积为 1 cm2．
【考点】扇形面积公式．
【专题】计算题；分析法；三角函数的求值．
【分析】直接求出扇形的弧长，然后求出扇形的面积即可．
【解答】解：扇形的圆心角为2，半径为1，扇形的弧长为：2，
所以扇形的面积为： =1．
故答案为：1．
【点评】本题是基础题，考查扇形的面积的求法，弧长、半径、圆心角的关系，考查计算能力．
10．已知，，，则a，b，c按从大到小的顺序排列为 c，a，b ．
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式．
【分析】由有理指数幂的化简与求值可得a＜1，b＜0，c＞1，则答案可求．
【解答】解：∵ =，＜0， =log23＞1，
∴c＞a＞b．
故答案为：c，a，b．
【点评】本题考查实数的大小比较，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．
11．已知函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象如图所示，则该函数的解析式为f（x）= ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
【解答】解：根据函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ＜π）的部分图象，可得=3+1，
求得ω=．
再根据五点法作图可得 （﹣1）+φ=0，求得φ=，
故f（x）=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
12．在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF．若，λ，μ均为实数，则λ+μ的值为 ．
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】设=， =，则=， =+，从而=，由此能求出λ+μ．
【解答】解：设=， =，
∵在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F在线段DC上，且CF=2DF，
∴=， =+，
∵，λ，μ均为实数，，
∴=，
∴，解得，
∴λ+μ=．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式求值，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量加法法则的合理运用．
13．已知f（x）是定义在R上且周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )6的奇函数，当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有5个零点（互不相同），则实数m的取值范围是 ．
【考点】函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】由奇函数的性质和函数的周期 ( http: / / www.21cnjy.com )性，可得0、±3是函数f（x）的零点，将函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，转化为当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，由此构造关于m的不等式组，解不等式组可得实数m的取值范围．
【解答】解：由题意知，f（x）是定义在R上的奇函数，
所以f（0）=0，即0是函数f（x）的零点，
因为f（x）是定义在R上且以6为周期的周期函数，
所以f（﹣3）=f（3），且f（﹣3）=﹣f（3），则f（﹣3）=f（3）=0，
即±3也是函数f（x）的零点，
因为函数f（x）在区间[﹣3，3]上的零点个数为5，
且当x∈（0，3）时，f（x）=lg（2x2﹣x+m）．
所以当x∈（0，3）时，2x2﹣x+m＞0恒成立，且2x2﹣x+m=1在（0，3）有一解，
即或，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查奇函数的性质，函数的周期性，对数函数的性质，函数的零点的综合应用，二次函数根的分布问题，难度比较大．
14．对任意两个非零的平面向量，，定义和之间的新运算⊙：．已知非零的平面向量满足：和都在集合中，且．设与的夹角，则= ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】新定义；对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】令==， ==．则cos2θ=，根据θ的范围和||＞||得出k1，k2的值，计算出和sinθ．
【解答】解： ====， ====．
∴（） （）=cos2θ=，∵，∴＜cos2θ＜，即＜＜．
∵k1，k2∈Z，∴k1k2=2．∵，∴k1=2，k1=1，∴cos2θ=，sinθ=．： =．
∴=×=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量的数量积运算和对新定义的应用，根据所给条件找出k1，k2的值是解题关键．
二、解答题：本大题共5小题，共计58分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．已知集合A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}．
（1）求A∪B；
（2）设C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，写出集合C的所有子集．
【考点】子集与真子集；并集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；集合．
【分析】（1）由已知条件利用并集定义能求出A∪B．
（2）先求出A∩B，从而求出C={2，3}．由此能写出集合C的所有子集．
【解答】解：（1）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∪B={x|﹣2≤x＜6}．…
（2）∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|1＜x＜6}，
∴A∩B={x|1＜x≤3}，
∵C={x|x∈A∩B，且x∈Z}，∴C={2，3}．…
∴集合C的所有子集为： ，{2}，{3}，{2，3}．…
【点评】本题考查并集的求法，考查集合的子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集、并集、子集定义的合理运用．
16．已知，，α，β均为锐角．
（1）求sin2α的值；
（2）求sinβ的值．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正弦．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin（α+β）的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．
【解答】解：（1）∵，α为锐角，∴，
∴．
（2）∵α，β均为锐角，，∴α+β∈（0，π），
∴，
∴．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．
17．已知向量，，θ为第二象限角．
（1）若，求sinθ﹣cosθ的值；
（2）若∥，求的值．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；平面向量及应用．
【分析】（1）由得，对sinθ﹣cosθ取平方得（sinθ﹣cosθ）2=，根据θ的范围开方得出sinθ﹣cosθ的值；
（2）由∥得，对进行化简得出答案．
【解答】解：（1）∵，∴，∴．
∴．
∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，
∴．
（2）∵∥，∴﹣2sinθ﹣cosθ=0，∴．
∴，．
∴．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换与化简求值，是中档题．
18．某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存 ( http: / / www.21cnjy.com )温度x（单位：℃）之间满足函数关系y=ekx+b（e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．已知该食品在0℃的保鲜时间为160小时，在20℃的保鲜时间为40小时．
（1）求该食品在30℃的保鲜时间；
（2）若要使该食品的保鲜时间至少为80小时，则储存温度需要满足什么条件？
【考点】函数模型的选择与应用．
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出ek，eb的值，运用指数幂的运算性质求解e30k+b即可．
（2）由题意y=ekx+b≥80，结合指数幂的运算法则进行求解即可．
【解答】解：（1）由题意，，∴…
∴当x=30时，．…
答：该食品在30℃的保鲜时间为20小时．…
（2）由题意y=ekx+b≥80，∴，…
∴kx≥10k．
由可知k＜0，故x≤10．…
答：要使该食品的保鲜时间至少为80小时，储存温度不能超过10℃．…
【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．
19．已知函数f（x）=4﹣log2x，g（x）=log2x．
（1）当时，求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）若对任意的x∈[1，8]，不等式f（x3） f（x2）＞kg（x）恒成立，求实数k的取值范围．
【考点】分段函数的应用．
【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）h（x）=（4﹣log2x） log2x，利用换元法，配方法，即可求函数h（x）=f（x） g（x）的值域；
（2）令t=log2x，则 ( http: / / www.21cnjy.com )t∈[0，3]﹒（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立，分类讨论，即可求实数k的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，h（x）=（4﹣log2x） log2x，
令t=log2x，则y=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4，…
∵，∴t∈（﹣1，3），y∈（﹣5，4]
即函数h（x）的值域为（﹣5，4]．…
（2）∵f（x3） f（x2）＞kg（x），令t=log2x，则t∈[0，3]﹒
∴（4﹣3t）（4﹣2t）＞kt对t∈[0，3]恒成立．…
令φ（t）=（4﹣3t）（4﹣2t）﹣kt=6t2﹣（k+20）t+16，
则t∈[0，3]时，φ（t）＞0恒成立．…
∵φ（t）的图象抛物线开口向上，对称轴，
∴①当，即k≤﹣20时，∵φ（0）＞0恒成立，
∴k≤﹣20； …
②当，即k≥16时，
由φ（3）＞0，得，不成立； …
③当，即﹣20＜k＜16时，
由，得，
∴．…
综上，．…
【点评】本题考查分段函数，考查函数的值域，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．
本题有20、21两道选做题，请各校根据本校学生情况选做.
20．已知函数f（x）=x2+mx﹣|1﹣x2|（m∈R）．
（1）若m=3，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，求实数m的取值范围．
【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．
【专题】函数思想；分类法；函数的性质及应用．
【分析】（1）求出f（x）的解析式并化简，根据函数类型判断f（x）的单调区间；
（2）分离参数得，作出其函数图象，根据函数图象得出m的范围．
【解答】解：（1）当m=3时，f（x）=x2+3x﹣|1﹣x2|．
①当﹣1≤x≤1时，．
∴f（x）在递减，在递增．
②当x＜﹣1或x＞1时，f（x）=3x+1．
∴f（x）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）递增．
综上，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）和，单调递减区间为．
（2）∵f（x）在区间（0，2）上有且只有1个零点，
∴方程x2+mx﹣|1﹣x2|=0在区间（0，2）上有且只有1解，
即方程在区间（0，2）上有且只有1解，
从而函数图象与直线y=m有且只有一个公共点．
作出函数的图象，
结合图象知实数m的取值范围是：或m=﹣1．
【点评】本题考查了分段函数的单调性与单调区间，分段函数的零点个数判断．属于中档题．
21．已知函数．
（1）当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，①求的值；②求的取值范围；
（2）已知函数g（x）的 ( http: / / www.21cnjy.com )定义域为D，若存在区间[m，n] D，当x∈[m，n]时，g（x）的值域为[m，n]，则称函数g（x）是D上的“保域函数”，区间[m，n]叫做“等域区间”．试判断函数f（x）是否为（0，+∞）上的“保域函数”？若是，求出它的“等域区间”；若不是，请说明理由．
【考点】函数单调性的性质．
【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）①f（x）在上为减函数，在上为增函数，当0＜a＜b且f（a）=f（b）时，，且，即可求的值；②由①知，代入，利用配方法求的取值范围；
（2）假设存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0.，可得．利用分类讨论，即可得出结论．
【解答】解：（1）由题意，
∴f（x）在上为减函数，在上为增函数． …
①∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），
∴，且，
∴．…
②由①知，
∴，
∵，∴．…
（2）假设存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，则m＞0．
∵，∴．…
①若，∵f（x）在上为减函数，
∴解得或，不合题意．…
②若，∵f（x）在上为增函数，
∴解得不合题意．…
综上可知，不存在[m，n] （0，+∞），当x∈[m，n]时，f（x）的值域为[m，n]，即f（x）不是（0，+∞）上的“保域函数”．…
【点评】本题主要考查了新的定义，以及函数的值域，同时考查了等价转化的数学思想，属于中档题．
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