2024年北京陈经纶中学高二10月月考数学（PDF版，无答案）

2024-2025 学年度第一学期阶段性诊断训练
高二数学试卷 2024.10
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题 50 分和非选择题 100 分
第一部分（选择题 共 50 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的
四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．直线 3x y 4 0的倾斜角是（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150

2．在空间直角坐标系中，若 A(1， 1， 0)，AB (6， 0， 2) ，则点 B的坐标为（ ）
A． ( 5， 1， 2) B． (7， 1， 2) C． (3， 0， 1) D． (7， 1， 2)

3．已知空间向量a，b， a 1， b 2，且 a b与a垂直，则 a与b的
夹角为（ ）
A．60o B．30o C．135 D． 45
4．“m 1”是“直线 l1： m 4 x my 1 0与直线 l2：mx m 2 y 2 0
互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．直线 l : a 2 y 3a 1 x 1不过第二象限，则 a的取值范围为（ ）
A．a 2 B． 2 a 3 C． a 2 D． a 4
6．圆 x2 y2 2x 2y 1 0 关于直线 x y 1对称的圆的标准方程为（ ）
A． (x 1)2 (y 1)2 1 B． x2 y2 1
C． x2 (y 1)2 1 D． (x 1)2 y 2 1
试卷第 1页，共 4页
7．如图，在四面体 A-BCD中，点 O为底面△BCD的重心，P为 AO的中

点，设 AB a ， AC b ， AD c ，则 BP （ ）
5 a 1

b 1 c 5 a 1

b 1 A． B． c
6 6 6 6 6 6
2 1 1 2 1 a b 1 C． c D． a b c
3 3 3 3 3 3
8．已知直线 l : kx y 2 k 0过定点 M，点 P x, y
在直线2x y 1 0上，则 MP 的最小值是 （ ）
A 5 B C 3 5 5． ． 5 ． D．
5 5
9． 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为
“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个
面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵 ABC A1B1C1中，
AC BC，且 AA1 AB 2 .其中正确的是（ ）
①四棱锥 B A1ACC1为“阳马”
②四面体 A1C1CB为“鳖臑”
2
③四棱锥 B A1ACC1体积的最大值为 3
④ 过 A点作 AE A1B于点 E，过 E点作 EF A1B于点 F，则 A1B 面 AEF
A．①②③ B． ②③④ C．①②④ D．①③④
10．已知圆M : (x 4) 2 y 2 4 直线 l : x y 2 0 ，点 P在直线 l上运动，
直线 PA,PB分别与圆M 相切于点 A,B．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形 PAMB的面积最小值为 14
B PA 4 7． 最短时，弦 AB长为
3
C． PA最短时，弦 AB直线方程为3x 3y 8 0
10
D．直线 AB过定点 , 2
3
试卷第 2页，共 4页
二、填空题
a

11．已知空间向量 1,2, 2 、b 3, , 1 ，若a//b，则 ．
12．动直线 l : 2m 1 x m 1 y 7m 4 0 m R 与一点M 4,0 .当点M 到
直线 l的距离最大时，直线 l的方程为 （填一般式）.
13．已知圆 x2 y2 2x ay 4 0 的半径为 3，则 a的值为 .
14．已知空间三点 A 1,1,1 ,B 0,0,1 ,C 1,2, 3 ．若空间中点 N满足 BN
平面 ABC，则符合条件的一个点 N的坐标是 ．
15．过点 ( 2,3) 与圆 (x 1)2 y 2 1相切的直线方程为 ．

16．如图，正三棱柱 ABC A1B1C1中，AB＝2，AA1 4，AE AA1
D为 BC的中点．当 AD∥平面BC1E时， ，此时，直
线 AD与直线 EC1所成的角的余弦值为 ．
17 2 2．已知圆 C： x 1 y 1 4 ，若直线 y kx 5上总存在
点 P，使得过点 P的圆 C的两条切线夹角为 60o，则实数 k的取
值范围是
18.如图，在四棱锥 P ABCD中，PD 底面 ABCD，底面 ABCD为正
方形，PD AD 2 ，O为线段 AC , BD交点，T 为线段
BP上的动点，则以下结论正确的是____.
①当 PT BT 时， PD ‖ 平面 ACT；
②当 PT 2BT 时， PO 平面 ACT ；
6
③线段OT 的最小值为 ；④直线 AP，CT 所成角取值
3

范围为[ , ] .
4 2
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三、解答题
19．已知圆C过点 A 2,0 和 B 0,0 ，且圆心C在直线 l : x y 0上.
(1)求圆C的标准方程；
(2)经过点 2, 1 的直线 l 与 l垂直，且 l 与圆C相交于M ,N两点，求 MN .
20.如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AB AC 5 ，BC 2BB1 2 ，P，
Q分别为 B1C1 ， A1B的中点.
(1)证明： A1B CP .
(2)求直线 A1B与平面CPQ所成角的正弦值.
(3)求点C1到平面CPQ的距离.
试卷第 4页，共 4页
21 如图，在四棱锥 P ABCD中，AD // BC，CD AP，△PCD为等腰
直角三角形， PD CD 2，平面 PBC交平面 PAD于直线 l， E,F分别
为棱 PD， PB的中点．
（Ⅰ）求证： BC // l；
（Ⅱ）设 PA AD 2BC 2，则：
①求平面 AEF 与平面 PAD夹角的正切值；
②在棱 PC上是否存在点G，使得DG∥平面 AEF ？
PG
若存在，求 的值，若不存在，说明理由．
PC
22.对于数列 An : a1,a2 ,...an ai N , i 1,2,...n ，定义“T变换”：T将数
列 An变换成数列 Bn :b1,b2 ,...bn，其中bi ai ai 1 i 1,2,...n 1 ，且
bn an a1 ，这种“T变换”记作 Bn T An .继续对数列 Bn进行“T变换”，
得到数列Cn ,...，依此类推，当得到的数列各项均为 0 时变换结束．
（Ⅰ）试问 A3 : 4,2,8和 A4 :1,4,2,9经过不断的“T变换”能否结束？若能，
请依次写出经过“T变换”得到的各数列；若不能，说明理由；
（Ⅱ）求 A3 : a1,a2 ,a3 经过有限次“T变换”后能够结束的充要条件；
（Ⅲ）证明： A4 :a1,a2 ,a3 ,a4 一定能经过有限次“T变换”后结束．