北京人大附中朝阳学校2024-2025学年 高三10月月考数学（图片版你，含答案）

2024北京人大附中朝阳学校高三 10 月月考
数 学
2024 年 10 月 5 日
1.本试卷共三大题 21 小题，共 页试题纸， 页答题纸；考试时长 120 分钟，满分 150
考 分。
生 2.请将个人信息完整填写在答题纸密封线内，确保信息准确无误。
须 3.选择各题均须用 2B 铅笔按规定要求在“机读答题纸”对应区域上作答，选项与题号
知 对应，填涂要规范，保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损，不得做任何标记。
4.填空、解答各题均须用黑色字迹的签字笔按规定要求在答题纸上作答。
第 I卷（共_50__分请将答案填涂在答题卡上）
一、 选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分, 请将答案填涂在答题纸上.在每小题给出的四
个选项中，只．有．一．个．选项符合题意）
2
1．已知集合 A = x 1 x 3 ，B = x x 4 ，则 A B =（ ）
A． ( 1,+ ) B． ( 1, 2 C． ( , 2 ( 1,+ ) D． ( ， 2 ( 1,3)
1 π
2．若 tan(π x) = ，则 cos + x =（ ）
2 2
1 2 1 2
A． B． C． D．
5 5 5 5
7π
3．已知a = log21.41,b =1.7
0.3,c = cos ，则（ ）
3
A．b a c B．b c a
C． c b a D． c a b
4．如图，在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线，若 E 为 AD 的中点，则CE =（ ）
1 5 1 3
A． AB AC B． AB AC
4 4 4 4
1 5 1 3
C． AB AC D． AB AC
4 4 4 4
5．已知数列 a a 0n 是 1 的无穷等比数列，则“ an 为递增数列”是“ k 2且
k *N ， ak a1 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．设等差数列 an 的前 n项和为 Sn ，且 S5 =15，则a2 a4 的最大值为（ ）
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9
A． B．3 C．9 D．36
4
2π
7．函数 f (x) = 2 3 sin2 ( x)+ sin 2 x + ，其中 0 ，其最小正周期为 π，则下列说法中错误的个数
3
是（ ）
① =1
π
②函数 f ( x)图象关于点 , 3 对称
3
5π
③函数 f ( x)图象向右移 ( 0)个单位后，图象关于 y 轴对称，则 的最小值为
12
π
④若 x 0, ，则函数 f ( x)的最大值为 3 +1
2
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知正方形 ABCD的边长为 2 ，动点 P 在以D 为圆心且与 AC 相切的圆上，则 BP AC 的取值范围是
（ ）
A．[ 2 2,2 2] B．[0, 2 2] C．[ 4, 4] D．[0, 4]
9．已知改良工艺前所排放废水中含有的污染物数量为 2.65g / m3 ，首次改良工艺后排放的废水中含有的污
染物数量为 2.59g / m3，第 n次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量 rn 满足函数模型
rn = r0 + (r1 r0 ) 5
0.25n+ p ( p R,n N* )，其中 r0 为改良工艺前所排放的废水中含有的污染物数量， r1 为首次
改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量， n为改良工艺的次数．假设废水中含有的污染物数量不超
过0.25g / m3 时符合废水排放标准，若该企业排放废水符合排放标准，则改良工艺次数最少要（参考数据：
lg2 0.301）（ ）次.
A．8 B．9 C．10 D．11
10．定义满足方程 f (x)+ f (x) =1的解 x0 叫做函数 f ( x)的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是
（ ）
2 1
A． f (x) = x 3x B． f (x) = x +
x
x
C． f (x) = ln x D． f (x) = e sin x + 3
第 II卷（非选择题部分共_100__分）
二、填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在题中横线上）
1+ x
11．函数 y = log2 的定义域是 .
1 x
．在 ABC 中， AB = AC =1 , A = 90 12 ，则 AB BC =
n 1
13．已知数列{an}的通项公式为 a = 2 ，{ bn}n 的通项公式为bn =1 2n．记数列{an + bn }的前n项和为 Sn ，
则 S4 = ； Sn 的最小值为 ．
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14.在ΔABC中，a = 6,b = 4,C = 2B,则ΔABC 的面积为
x +m , x m
15．已知函数 f (x) =
x
2 , x m
①函数 f (x) 的零点个数为 ．
②若存在实数 b，使得关于 x的方程 f (x) = b 有三个不同的根，则实数 m的取值范围是 ．
16．在数列{an}中， an+1 = f (an ) ，给出下列四个结论：
①若 f (x) = 2x ，则{an}一定是递减数列；
②若 f (x) = ex ，则{an}一定是递增数列；
③若 f (x) = x3 +1， a1 ( 1,0) ，则对任意 c 0，都存在n *N ，使得an c；
1
④ 若 f (x) = kx2 +1 (k 0) ， a1 =1，且对任意 n
*
N ，都有 a 2n ，则 k 的最大值是 ． 4
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. （本小题 14 分）在 ABC 中，已知 a2 + b2 2ab = c2．
(1)求角 C的大小；
(2) 若 c = 2 2 ，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 ABC 存在且唯一
确定，求 ABC 的面积． （注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
4
条件①： sin A = ；
5
条件②： 2a cos A = c cos B + bcosC ；
条件③： ABC 的周长是 2 6 + 2 2 ．
π
18. （本小题 13 分）已知函数 f (x) = sin ( x + ) ( 0,0 ) 的部分图象如图所示.
2
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数 f (x) 存在,
π
并求函数 f ( x)在 0， 上的最大值和最小值.
2
5π
条件①：函数 f (x + ) 是奇函数；
12
π
条件②：将函数 f ( x)的图象向右平移 个 单位长度后得到 y = sin x 的图象；
12
2π
条件③： f (0) = f ( ) .
3
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第
一个解答计分．
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19.（本小题 14 分）
已知函数 f (x) = xsin 2x + cos 2x .
π π
（Ⅰ）求曲线 y = f (x) 在 ( , f ( ))处的切线方程；
4 4
2π 5π
（Ⅱ）求函数 f (x) 在区间 , 上的极值点个数.
3 6
20.（本小题 15 分）
已知函数 f (x) = ax ln(1 x) (a R) .
（Ⅰ）求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程；
（Ⅱ）若 f (x) ≥ 0恒成立，求 a的值；
（Ⅲ）若 f (x) 有两个不同的零点 x1, x2 ，且 | x2 x a1 | e 1，求 的取值范围．
21.（本小题 14 分）
有穷数列 a1 ，a2 ， ，an (n 2) 中，令
S( p，q) = ap + ap+1 + + aq (1 p q n，p，q

N )，
当 p = q 时规定 S( p，q) = ap .
（Ⅰ）已知数列 3，2， 1，3，写出所有的有序数对 ( p，q)，且 p q ，使得 S( p，q) 0 ；
n
（Ⅱ）已知整数列 a1 ，a ， ，a , n 为偶数 . 若 S(i，n i +1)2 n (i =1，2， ， ) 满足：当 i 为奇数时，
2
S(i，n i +1) 0 ；当 i 为偶数时， S(i，n i +1) 0 . 求 a1 + a2 + + an 的最小值；
（Ⅲ）已知数列 a1 ，a S(1，n) 02 ， ，an 满足 ，定义集合 A = {i S(i +1，n) 0，i =1，2， ，n 1} .若
A ={i S(1，n) a + a + + a1 ，i2 ， ，ik }(k N )且为非空集合，求证： i1 i i . 2 k
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