2024年北京三十五中高三10月月考数学（PDF版，无答案）

北京 35中 2025届 10月月考
数 学 2024.10
本试卷共 4页， 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无
效。
第一部分 (选择题 共 40 分)
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项。
1.已知集合A= x -1≤x≤2 ，B= x|x2-3x-4<0,x∈Z ，则A∩B=
A. 0,1 B. 0,1,2 C. x|-1≤x<1 D. x|-12.已知 a= 3-2，b= tan2，c= log23，则
A. a> b> c B. a> c> b C. c> a> b D. b> c> a
3. 下列函数中既是奇函数，又在区间 (0，1)上单调递减的是
A. f(x) = cosx B. f(x) = lg|x| C. f(x) = x3 D. f(x) =-x
6
4.在 1 -x2x 的展开式中，常数项是
A. 15 B. - 15 C. - 20 D. 30
5.已知函数 f(x) = e|x|- e-|x|，则 f(x)
A. 是奇函数，且在 (0, +∞)上单调递增 B. 是偶函数，且在 (0, +∞)上单调递增
C. 是奇函数，且在 (0, +∞)上单调递减 D. 是偶函数，且在 (0, +∞)上单调递减
6.阅读下段文字:“已知 2为无理数,若 ( 2 ) 2为有理数,则存在无理数 a= b= 2 ,使得 ab为有
理数;若 ( 2 ) 2 2为无理数,则取无理数 a= ( 2 ) 2,b= 2 ,此时 ab= ( 2) 2 = ( 2 ) 2 2 =
( 2 )2= 2为有理数.”依据这段文字可以证明的结论是
A. ( 2 ) 2是有理数 B. ( 2 ) 2是无理数
C. 对任意无理数 a,b,都有 ab为无理数 D. 存在无理数 a,b,使得 ab为有理数
7.若点M sin 5π6 ,cos
5π
6 在角 α的终边上，则 tanα=
A. 3 B. - 33 3 C. 3 D. - 3
8. a已知函数 f(x) = lnx+ x ，则“a< 0”是“函数 f(x)在区间 (1, +∞) 上存在零点”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
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9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵. 记鲑鱼的游速为 v(单位：
m/s) Q，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q. 科学研究发现 v与 log3 100 成正比. 当 v= 1m/s时，鲑鱼的
耗氧量的单位数为 900. 当 v= 2m/s时，其耗氧量的单位数为
A. 8100 B. 7290 C. 2700 D. 1800
10.已知各项均为整数的数列 an 满足 a1= 1,a2= 2,an> an-1+ an-2 n≥3,n∈N* ,则下列结论中
一定正确的是
A. a5> 20 B. a10< 100 C. a15> 1000 D. a20< 2000
第二部分 (非选择题 共 110 分)
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分。
11. 1+ i复数 i 的虚部为 ．
12.函数 f(x) = x2-a的定义域为R，请写出满足题意的一个实数 a的值为 ．
13.已知数列 {a }的通项公式为 a = 2n-1n n ，{bn}的通项公式为 bn= 1- 2n．记数列 {an+ bn}的前 n
项和为Sn，则S4= ；Sn的最小值为 ．
x
14.已知函数 f(x) = xe , x解，则实数 a的取值范围为 .
15.已知函数 f(x) = |ex- 1| -k(x- 1) - 1，给出下列四个结论：
①当 k= 0时，f(x)恰有 2个零点； ②存在正数 k，使得 f(x)恰有 1个零点；
③存在负数 k，使得 f(x)恰有 2个零点；④对任意 k< 0，f(x)只有一个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
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三、解答题共 6小题，共 85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16. (本小题 13分)
如图，在平面直角坐标系 xOy中，锐角 α和钝角 β的终边分别与单位圆
交于A，B两点．点A 4 5的纵坐标是 5 ，点B的横坐标是- 13 .
(Ⅰ)求 cos2α的值；
(Ⅱ)求 sin(β- α)的值.
17. (本小题 15分)
某校举办知识竞赛，已知学生甲是否做对每个题目相互独立，做对A,B,C三道题目的概率以及
做对时获得相应的奖金如表所示．
题目 A B C
4 1 1
做对的概率 5 2 4
获得的奖金 /元 20 40 80
规则如下：按照A,B,C的顺序做题，只有做对当前题目才有资格做下一题．
[注：甲最终获得的奖金为答对的题目相对应的奖金总和.]
(Ⅰ) 求甲没有获得奖金的概率；
(Ⅱ) 求甲最终获得的奖金X的分布列及期望；
(Ⅲ) 如果改变做题的顺序，最终获得的奖金期望是否相同？如果不同，你认为哪个顺序最终获得的
奖金期望最大？ (不需要具体计算过程，只需给出判断)
18. (本小题 14分)
已知 f x = ax+ 2cosx+ xsinx,a∈R.
Ⅰ 当 a= 0时，求曲线 y= f x 在点 0,f 0 处的切线方程；
π
Ⅱ 若函数 f x 在区间 - 2 ,
π
2 上为增函数，求实数 a的取值范围.
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19. (本小题 14分)
现有一张长为 40cm，宽为 30cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一只无盖长方体铁皮盒，
要求材料利用率为 100%，不考虑焊接处损失．如图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁
皮，作为铁皮盒的底面，用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面边长为 x cm，高为 y
cm，体积为V(cm3)．
D C
Ⅰ 求出 x与 y的关系式；
Ⅱ 求该铁皮盒体积V的最大值．
A B
20. (本小题 15分)
1-x
已知函数 f(x) = ex ．
(Ⅰ)求曲线 y= f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)求 f(x)的单调区间；
(Ⅲ)当 x2> x1> 1时，判断 f(x2) - f(x 21)与 x -
2
x 的大小，并说明理由．2 1
21. (本小题 14分)
已知项数为m(m∈N *,m≥ 2)的数列 {an}满足如下条件：
① a *n∈N (n= 1,2, ,m)；② a1< a2< < am.若数列 {bn} =
(a
b 1
+a2+ +am)-an
满足 n m-1 ∈N
*，
其中n= 1,2, ,m，则称 {bn}为 {an}的“伴随数列”.
(Ⅰ)数列 1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
(Ⅱ)若 {bn}为 {an}的“伴随数列”，证明：b1> b2> > bm；
(Ⅲ)已知数列 {an}存在“伴随数列”{bn}，且 a1= 1，am= 2049，求m的最大值.
(考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效)
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