2024年北京北师大附中高三10月月考数学（PDF版，无答案）

2024北京北师大附中高三 10月月考
数 学
班级______姓名______学号______
考
1.本试卷有三道大题，共 6页.考试时长 120分钟，满分 150分.
生
2.考生务必将答案填写在答题纸（共 8页）上，在试卷上作答无效.
须
3.考试结束后，考生应将答题纸交回.
知
一、选择题共 10小题，每小题 4分，共 40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合M ={x∣x + 2 0}, N ={x∣x 1 0}，则M N =（ ）
A. {x∣ 2 x 1} B. {x∣ 2 x 1}
C. {x∣x 2} D. {x∣x 1}
2. 在复平面内，复数 z 对应的点的坐标是 ( 1, 3)，则 i z =（ ）
A. 3 + i B. 3 i C. 3 i D. 3 + i
3. 下列函数中，在区间 (0,+ )上单调递减的是（ ）
f (x) = 2xA. B. f (x) = lnx
1
( ) ( ) x 1C. f x = D. f x = 3
x
4. 已知实数 a,b满足 a b ，则下列不等式中正确的是（ ）
A. a b B. a b
C. a2 ab D. ab b2
5. 欧拉公式 eix = cos x + i sin x （ i 为虚数单位）是有由瑞士数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩
大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，特别是当
x = 时， ei +1= 0被认为是数学中最优美的公式，数学家们评价它是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式
可知， ei 在复平面中位于 （ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2x 1,0 x 2 1
6. 已知函数 f (x) = ，那么不等式 f (x) x 2 的解集为（ ）
6 x, x 2
A. (0,1) B. (0, 2) C. (1, 4) D. (1,6)
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7. 设 a = 0.50.4 ，b = log a0.5 0.4， c = log4 0.5 ，则 ，b ，c的大小关系是（ ）
A. a b c B. b c a C. c b a D. c a b
y x
8. 若 xy 0，则“ x + y = 0 ”是“ + = 2 ”的（ ）
x y
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
x +1 1, x ( ,0) 2
9. 已知函数 f (x) = , g(x) = x 4x 4，设b R ，若存在 a R ，使得
ln(x +1), x [0,+ )
f (a) + g(b) = 0，则实数b 的取值范围是（ ）
A. [ 1,5] B. ( , 1] [5,+ )
C. [ 1,+ ) D. ( ,5]
10. 恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始和微积分的建立称为十七世纪数学的三大成就.其中对数的
发明曾被十八世纪法国数学家拉普拉斯评价为“用缩短计算时间延长了天文学家的寿命”.已知正整数 N的
70 次方是一个 83 位数，则由下面表格中部分对数的近似值（精确到 0.001），可得 N的值为（ ）
M 2 3 7 11 13
lg M 0.301 0.477 0.845 1.041 1.114
A. 13 B. 14 C. 15 D. 16
二、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25分.
1
11. 函数 f (x) = + 2 x 的定义域是______.
lnx
x 1 3
12. 已知 f ( x)是定义在R 上的偶函数，且当 x ( ,0 时， f (x) = 2 + ，则 f log2 = ______.
3 2
ex + 2sinx
13. 设函数 f (x) = ，则曲线 y = f (x)在 (0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
1+ x2
______.
3 2
14. 对于三次函数 f (x) = ax +bx + cx + d (a 0)，给出定义： f (x)是函数 f ( x)的导函数， f ( x)
是 f (x)的导函数，若方程 f (x) = 0有实数解 x0 ，则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y = f (x)的“拐点”.某同
学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称
1 3 1 2 5
中心.若 f (x) = x x + 3x ，根据这一发现，函数 y = f (x)的对称中心是______.
3 2 12
2x + a, x a
15. 已知函数 f (x) = 给出下列四个结论： 2
x + 2ax, x a
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①当 a = 0 时， f ( x)的最小值为 0；
1
②当 a 时， f ( x)存在最小值；
3
③当 a 1时， f ( x)在 ( ,+ )上单调递增；
④ f ( x)的零点个数为 g (a)，则函数 g (a)的值域为 0,1, 2,3 .
其中所有正确结论的序号是______.
三、解答题共 6小题，共 85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
π
16. 设函数 f (x) = sin xcos + cos xsin 0, .
2
1
（1）若 f (0) = ，求 的值；
2
π 2π 2π π
（2）已知 f ( x)在区间 , 上单调递增， f =1， f = 1，求 ， 的值.
3 3 3 3
17. 在 ABC 中，b2 + c2 a2 = bc ．
（1）求 A；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使 ABC 存在且唯一确定，求
ABC 的面积．
11
条件①： cos B = ；
14
条件②： a + b =12；
条件③： c =12 ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组
解答计分．
18. 某地区组织所有高一学生参加了“科技的力量”主题知识竟答活动，根据答题得分情况评选出一二三等奖
若干，为了解不同性别学生的获奖情况，从该地区随机抽取了 500 名参加活动的高一学生，获奖情况统计
结果如下：
获奖人数
性别 人数
一等奖 二等奖 三等奖
男生 200 10 15 15
女生 300 25 25 40
假设所有学生的获奖情况相互独立．
（1）分别从上述 200 名男生和 300 名女生中各随机抽取 1 名，求抽到的 2 名学生都获一等奖的概率；
（2）用频率估计概率，从该地区高一男生中随机抽取 1 名，从该地区高一女生中随机抽取 1 名，以 X表
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示这 2 名学生中获奖的人数，求 X的分布列和数学期望 EX ；
（3）用频率估计概率，从该地区高一学生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为 p0 ；从该地区高
一男生中随机抽取 1 名，设抽到的学生获奖的概率为 p1；从该地区高一女生中随机抽取 1 名，设抽到的学
p1 + p生获奖的概率为 p2，试比较 p 与
2
0 的大小．（结论不要求证明）
2
19. 已知函数 f (x) =1+ a (x 1) lnx .
（1）若a = 2，求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（2）求函数 f ( x)的单调区间；
x 1
（3）若a 2，证明：当 x 1时， f (x) e .
20. 已知函数 f (x) = ex a sin x ．
（1）当a = 2时，求曲线 y = f (x)在点 (0, f (0))处的切线方程；
（2）当a =1时，证明：函数 y = f (x) 2在区间 (0,π)上有且仅有一个零点；
（3）若对任意 x 0,π ，不等式 f (x) 2 cos x 恒成立，求a的取值范围．
21. 已知数列A ： a1 ， a2 ，…， an 满足： ai 0,1 （ i =1，2，…，n， n 2 ），从A 中选取第 i1项、
第 i2 项、…、第 im 项（ i1 i2 im ，m≥ 2 ）称数列 a ， ai i ，…，ai 为A 的长度为m 的子列.记1 2 m
T (A)为A 所有子列的个数.例如A ：0，0，1，其T (A) = 3 .
（1）设数列 A：1，1，0，0，写出 A的长度为 3 的全部子列，并求T (A)；
（2）设数列A ： a1 ， a2 ，…， an ， A ： an ，a an 1，…， 1 ， A ：1 a1，1 a ，…，1 a2 n ，判断
T (A)，T (A )，T (A )的大小，并说明理由；
（3）对于给定的正整数 n， k （1 k n 1），若数列A ： a1 ， a2 ，…， an 满足：
a1 + a2 + + an = k ，求T (A)的最小值.
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