陕西省宝鸡市金台区宝鸡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题（图片版，含答案）

宝鸡中学 2023 级高二第一学期阶段考试(一)试题
数 学
本试卷共四大题，19 小题；考试时长 120 分钟，卷面满分 150 分。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡上，将条形码准确粘贴
在条形码粘贴处。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。涂写在本试卷上无效。
3.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1．设 m，n是不同的直线， ， 是不同的平面，下列说法正确的是( )
A．若m / / ，m / / ，则 // B．若m / / ，n ，m n，则
C．若m ，m ，则 D．若m / / ， n ，m // n，则 //
2.已知三角形 的三个顶点分别为 (1,0)， (2, 3)， (3,3)，则 边上的中线所在直线的方程
为( )
A. = 0 B. + 6 = 0
C. 3 6 = 0 D. 3 + 12 = 0
3.过点 (1,1)作直线 ，与两坐标轴相交所得三角形面积为 1，则直线 有( )
A.1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条
4.已知圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点 A(1，0)，则圆 C的圆心的轨迹是( )
A.点 B.直线 C.线段 D.圆
5.若 a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线 ax＋by＋c＝0被圆 x2＋y2＝1所截得的弦长为( )
A.1 B.1 C. 2 D. 2
2 2
6.在长方体 ABCD－A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点 B到直线 A1C的距离为( )
数学试题 （第 1 页，共 4 页）
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A.2 B.2 35 C. 35 D.1
7 7 7
2 2
7.P x y是椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若|PF1|·|PF2|＝12，则∠F1PF2的
16 9
大小为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
8.设两圆 C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于( )
A.4 B.4 2 C.8 D.8 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9.下列说法中正确的是( )
A. =1 是直线 = 1 与直线 1 =0 平行的充分不必要条件
B. =1 是直线 =1 与直线 + 2 1 =0 垂直的充分不必要条件
C. 经过点 (3,2)，且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 1 =0
D. 若一条直线沿 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 轴向上平移 2个单位长度后，回到原来的位置，
2
则该直线的斜率为
3
10.已知圆 C1：x2＋y2＝r2，圆 C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
下列结论正确的有( )
A.a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0 B.2ax1＋2by1＝a2＋b2
C.x1＋x2＝a D.y1＋y2＝2b
11．一块正方体形木料如图所示，棱长为 3，点 在线段 1 1上，且 1 = 3 1，过点 将木料 1
锯开，使得截面过 ，则( )
A． ⊥
B．截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C．截面的面积为 2 3
D 3π．以 为球心， 为半径的球面与截面的交线长为
2
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 A(1，0，0)，B(0，－1，1)，O(0，0，0)，O→A λO→B →＋ 与OB的夹角为 120°，则λ=_________.
13.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点 F1，F2在 x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，
且 PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率是_________.
14.已知直线 : + 2 = 0与曲线 : = 2 4 2有两个交点，则 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. (13 分)设 , 两点的坐标分别为( 5, 0),( 5, 0).直线 , 相交于点 ,且它们的斜率之
积是 1.
5
(1)求点 的轨迹方程.
(2)若 （0,1），在 M的轨迹上任取一点 (异于点 )，求线段 长的最大值．
16. (15 分)已知 , , 分别为△ 三个内角 , , 的对边,且 + = .
(1)求 ;
(2)若 = 2,则△ 的面积为 3,求 , .
17. (15 分)从两名男生(记为 1和 2)、两名女生(记为 1和 2)中任意抽取两人.
(1)分别写出有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样和按性别等比例分层抽样的样本空间.
(2)在三种抽样方式下,分别计算抽到的两人都是男生的概率.
数学试题 （第 3 页，共 4 页）
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18．(17 分)如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD∥BC ,CD AD，
AD CD 2BC 2，平面 PAD 平面 ABCD,PA PD,PA PD ．
(1)求证：CD PA；
(2)求平面 APB 与平面PBC夹角的余弦值；
PM
(3)在棱 PB上是否存在点M ，使得DM 平面 PAB？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
PB
19. (17 分)已知点 Q为圆 M:( 2)2 + 2 =4 上的动点,点 N（6,0），延长 NQ至点 S使得 Q为
NS的中点．
(1)求点 S的轨迹方程．
(2)过圆 外点 向圆 引两条切线，且切点分别为 ， 两点，求： · 最小值.
(3)若直线 : = +3 与圆 交于 ，E两点，且直线 ， 的斜率分别为 1， 2，则 1 + 2是
否为定值 若是，求出该定值;若不是，请说明理由．
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宝鸡中学 2023 级高二第一学期阶段考试（一）
数学参考答案
一、单选题：1.C 2.C 3.B 4.D 5.D 6.B 7.B 8.C
二、多选题：9.BD 10.ABC 11.ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12. 6 13. 5 1－ 14.(0, ]
6 5 2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步
骤。
15. 解：(1)设点 ( , ),因为 ( 5, 0) = ,所以直线 的斜率 ( ≠ + 5
5) ， 同理,直线 的斜率 = ( ≠ 5). 5
1
由已知,有 × = ( ≠± 5)
+ 5 5 5
2
化简,得点 的轨迹方程为 + 2 = 1( ≠± 5).
5
点 的轨迹是除去( 5, 0),( 5, 0)两点的椭圆.
2
(2)设 ( 0, )

0 ，则
0 +
5 0
2 = 1 ，
所以 | |2 = 02 + ( 0 1)2 = 5 5 02 + ( 0 1)2 ，
所以 | |2 = 4 02 2 0 + 6 = 4( 0 +
1 )2 + 25，
4 4
因为 1 < 0 < 1，
所以 = 1 时， | |2 250 最大为 ，4 4
5
所以线段 长的最大值为 ．
2
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16.解：(1)根据正弦定理，条件即为 sinAcosC+ 3sinAcosC=sinB+sinC，
也即 sinAcosC+ 3sinAcosC=sin(A+C)+sinC，
所以 sinAcosC+ 3sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC，
整理得 3sinA-cosA=1，即 sin(A-30°)=1 ，所以 A-30°=30°，即 A=60°.
2
(2) 由 A=60°，S=1 bcsinA= 3 ，得 bc=4.由余弦定理，得
2
2= 2+ 2-2bccosA=( + )2-2bc-2bccosA，所以 b+c=4.
又 bc=4，所以 b=c=2.
17. 解：设第一次抽取的人记为 1,第二次抽取的人记为 2,则可用数组 1, 2 表示
样本点.
(1)根据相应的抽样方法可知:有放回简单随机抽样的样本空间
Ω1 = B1, B1 , B1, B2 , B1, G1 , B1, G2 , B2, B1 , B2, B2 , B2, 1 , 2, 2 ,
1, 1 , 1, 2 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , G2, B2 , G2, G1 , G2, G2 .
不放回简单随机抽样的样本空间
Ω2 = 1, 2 , 1, 1 , 1, 2 , 2, 1 , 2, 1 , 2, 2 , 1, 1 , 1, 2 ,
1, 2 , 2, 1 , 2, 2 , 2, 1 .
按性别等比例分层抽样,先从男生中抽一人,再从女生中抽一人,其样本空间
Ω3 = B1, G1 , B1, G2 , B2, G1 , B2, G2 .
(2 设事件 =“抽到两名男生”,则
对于有放回简单随机抽样, = B1, B1 , B1, B2 , B2, B1 , B2, B2 .
因为抽中样本空间Ω1中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.因
此 ( ) = 4 = 0.25.
16
对于不放回简单随机抽样, = 1, 2 , 2, 1 .
因为抽中样本空间Ω2中每一个样本点的可能性都相等,所以这是一个古典概型.因
此 ( ) = 2 = 1 ≈ 0.167.
12 6
因为按性别等比例分层抽样,不可能抽到两名男生,所以 = ,因此 ( ) = 0.
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18．解（1）因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD，
且CD AD，CD 平面 ABCD，可得CD 平面 PAD，
因为 PA 平面 PAD，所以CD PA .
（2）取 AD中点O，连接OP,OB，
因为 PA PD，则PO AD，
因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD， PO 平面 PAD，
可得 PO 平面 ABCD，
由OA,OB 平面 ABCD，可得 PO OA,PO OB，
因为CD AD,BC // AD, AD 2BC，则 BC //OD,BC OD，
可知四边形OBCD是平行四边形，则OB AD，
如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系O xyz，
则O(0, 0, 0), A(1, 0, 0),B(0, 2, 0),C ( 1, 2, 0),D( 1,0, 0),P(0, 0,1).

可得 AP 1,0,1 ,PB 0,2, 1 ,CB 1,0,0 ，



设平面 APB的法向量为 n x, y, z
n AP x z 0
，则
n
，
PB 2 y z 0

令 y 1，则 x z 2，可得n 2,1,2 ；

m CB a 0设平面PBC的法向量为m a,b,c ，则 ，
m PB 2b c 0

令b 1，则 a 0,c 2，可得m 0,1,2 ；

则 cosn
,m n m 5 5 ，n m 3 5 3
所以平面 APB与平面PBC 5夹角的余弦值为 .
3
（3）设 PM PB 0,2 , , 0,1 ，

且DP 1,0,1 ，则DM DP PM 1,2 ,1 ，
1 2 1
若DM 平面 PAB，则DM ∥ n，可得 ，方程无解，2 1 2
所以不存在点M ，使得DM 平面 PAB .
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19. 解：(1)设 S( , )，动点 Q( 0, 0)，
+6
由中点的坐标公式解得 0 = ， = ，2 0 2
由( 0 2)2 + 2 =4，得( + 2)2 + 2 = 16，
∴点 S的轨迹方程是( + 2)2 + 2 = 16．
(2)设 = ( > 2).则 = = 2 4，
sin∠ = 2，cos∠ = 1 2sin2∠ = 1 8，
2
→ →
所以： · = | | | |cos∠ = ( 2 4)(1 82 )
2 2
= ( 4)( 8) = 2 + 32 12 ≥ 2 32 12 = 8 2 12，
2 2
5
当且仅当 2 = 322，即 = 24时，等号成立，
→ →
所以 · 最小值为 8 2 12．
= + 3,
(3) 联立方程组 2 2( 2)2 + 2 = 4,得(1 + ) + (6 4) + 9 = 0，
6 41 + 2 = 2 ,
设 ( 1, 1+ 1)， ( 2, 2)，则
1 =
9
2 2 ,1+
∴ + = 1 + 2 = 1+3 + 2+3 = 2 + 3( 1+ 2) = 2 + 3(4 6 ) 41 2 = ， 1 2 1 2 1 2 9 3
故 1 +
4
2的值为定值，且定值为 ．3
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