广东省揭阳市第一中学、潮州金山中学2016届高三下学期第一次联考数学（文科）试题

2015—2016学年度第二学期高三级两校联考试卷
文科数学
一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。）
1．设集合，，，则中元素的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设，，则是成立的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．不充分不必要条件
3．设函数，则（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
4．下列函数中，最小正周期为且图象关于原点对称的函数是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列中，，前项和，则其公差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．设满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．执行右图所示程序，则输出的的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
9．设复数，若，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知是函数的一个零点，若，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率（材料利用率=新工件体积/原工件体积）为（ ）
A． B． C． D．
12．将正奇数排成如图所示的三角形数阵（第行有个奇数），其中第行第个数表示为，例如，若，则（ ）
A．26 B．27 C．28 D．29
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．袋中有形状、大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球。从中一次随机取出2个球，则这2个球颜色不同的概率为 ．
14．若曲线在点处的切线与直线平行，则 ．
15．已知定点的坐标为，点是双曲线的左焦点，点是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ．
16．定义在上的函数满足，当时，，则函数在上的零点个数是 ．
三．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17—21题，每题12分，选做题10分，共70分）
17．（12分）已知分别是内角的对边，．
⑴若，求；
⑵若，且，求的面积．
18．（12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为．
⑴求频率分布图中的值；
⑵估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
⑶从评分在的受访职工中，随机抽取2人，
求此2人评分都在的概率．
19．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，四边形中，，且，点为中点．
⑴求证：平面平面；
⑵求点到平面的距离．
20．（12分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，且一个焦点坐标为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设直线与椭圆相交于两点，以线段为邻边作平行四边形，其中点在椭圆上，为坐标原点．求点到直线的距离的最小值．
21．（12分）设函数的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，，其中为自然对数的底数．
⑴求的解析式，并证明：当时，；
⑵设，证明：当时，．
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题给分．
22．选修4-1：几何证明选讲（10分）
如图，是的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点．
⑴求证：；
⑵求证：．
23．选修4-4：坐标系与参数方程（10分）
在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．
已知曲线：（为参数），：（为参数）．
⑴化的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
⑵若上的点对应的参数为，为上的动点，求的中点到直线：的距离的最小值．
24．选修4-5：不等式选讲（10分）
设函数．
⑴画出函数的图象；
⑵若不等式 恒成立，求实数的取值范围．
2015—2016学年度第二学期高三级两校联考文科数学参考答案及评分标准

17．⑴由题设及正弦定理可得………………………………2分
又，可得………………………………4分
由余弦定理可得．………………………………6分
⑵由⑴知．
∵，由勾股定理得．………………………………8分
故，得．………………………………10分
∴的面积为．………………………………12分
18．⑴∵，∴． …………3分
⑵由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为．
∴该企业职工对该部门评分不低于80的概率估计值为…………………………6分
⑶受访职工评分在的有：（人），记为．
受访职工评分在的有：（人），记为．…………8分
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是：
．
………………………………10分
又∵所抽取2人的评分都在的结果有1种，即，故所求的概率为．
………………………………12分
19．⑴证明：取中点，连接．
∵是中点，∴．
又∵，∴，
∴四边形为平行四边形．………………………………2分
∵，∴平面．………………………4分
∴，∴．
∵，∴，∴平面．…………………6分
∵平面，∴平面平面．…………………7分
⑵由⑴知，．
∴平面，即点到平面的距离为．………………………10分
在中，由，得，∴．
∴点到平面的距离为．………………………………12分
20．⑴由已知设椭圆的方程为，则．……………………1分
由，得．………………………………3分
∴椭圆的方程为．………………………………4分
⑵当直线斜率存在时，设直线方程为．
则由消去得．
．①
设点的坐标分别是．
∵四边形为平行四边形，∴．
．……6分
由于点在椭圆上，∴．
从而，化简得，经检验满足①式．………8分
又点到直线的距离为．…10分
当且仅当时等号成立．
当直线斜率不存在时，由对称性知，点一定在轴上．
从而点的坐标为或，直线的方程为，∴点到直线的距离为．
∴点到直线的距离的最小值为．………………………………12分
21．⑴由的奇偶性及 ① 得 ②．
联立①②解得．……………………2分
当时，，故． ③……………………3分
又由基本不等式，有，即． ④………4分
⑵由⑴得． ⑤
． ⑥…………6分
当时，等价于． ⑦．
等价于． ⑧
设函数．
由⑤⑥，有．……8分
当时，若，由③④，得，故在上为增函数．
从而，即，故⑦成立．……10分
若，由③④，得，故在上为减函数．
从而，即，故⑧成立．
综合⑦⑧，得．…………12分
22．⑴∵为圆的直径，∴．
又，则四点共圆，∴．………5分
⑵连接，由⑴知．
又，∴，即，
∴．……………10分
23．⑴：，以为圆心，为半径的圆．…………2分
：，以原点为中心，焦点在轴上，长半轴长为，短半轴长为的椭圆．
………………5分
⑵当时，．，故．
为直线，∴点到直线的距离．……8分
从而当时，取得最小值．………………10分
24．⑴ ．…………2分
作出的图象如右图．………………5分
⑵由
得恒成立．
只需．
∵．
∴．…………………………8分
∴解不等式．得． ……………………………10分