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最优化问题（小学数学竞赛专项训练）
认识典型模型 提升解模能力 发展建模思维
考试时间：75分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 5 分钟收取答题卡
阅卷人 一、模型构建
得分
1．（2022·南开中学）煮一个玉米需要 15 分钟，一个锅一次最多可以煮 10 个玉米， 那么煮 10 个玉米至少需要 分钟．
2．（找规律(比赛场次、起跑线、营养配餐) 7919 10）如果假期有重要事情要通知同学们，怎样才能尽快通知到30名同学呢!如果用电话通知，那么，打电话的总次数为（ ）
A．31次 B．30次 C．29次 D．15次
3．（2014·浙江）原价每袋2元的某种牛奶，甲、乙、丙三店均在搞促销活动，甲商店每袋降价16%，乙商店“买四送一”，丙商店每袋打9折出售，小明要买5袋牛奶，应从（ ）商店购买比较便宜．
A．甲 B．乙 C．丙 D．三店均可
4．（2022·巴蜀）小王准备去快递公司应聘，A公司每天支付20元，再每投递一份邮件付2元；B公司每投递一份邮件付3元。用m表示当天投递邮件的份数，当m>20时，去 公司应聘比较划算。
5．（2024六下·大余期中）国光超市搞促销活动，甲品牌上衣每满200元减60元，乙品牌上衣“折上折”，就是先打八折，在此基础上再打九五折。如果两个品牌上衣都有一个标价620元的衣服，买哪个品牌的上衣更便宜
阅卷人 二、模型进阶
得分
6．（2023四上·玉环期末）王明和李红玩扑克牌比大小游戏，采取三局两胜制。王明的三张牌分别是9、7、4，李红的三张牌分别是8、5、1。王明先出4，李红要想获得最后的胜利应该出（ ）。
A．8 B．5 C．1 D．无法确定
7．（2023·宏帆八中）有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校。
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
8．（2021·巴蜀）如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路径（取3）是 （ ）
A．12cm B．10cm C．20cm D．无法确定
9．（2023.01.29·科学城巴蜀）某商场优惠酬宾活动，凡购物满100元回赠35元现金（购物不足100元的，不参加优惠活动），现在某人有260元（只有260元，不能借钱），他经过计算，买回了最多的物品，那么他最多买了 元的物品。
10．（2022.09.07两江巴蜀）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B超市的优惠政策为所有商品八折。
（1）若规定只能到其中一个超市购买所有商品，什么情况下到A超市购买合算
（2）若学校想购买20张书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少要准备多少货款。请用计算的结果来验证你的说法。
11．（2023四上·东港期末）新天地超市的某品牌洗衣液打折促销，买一瓶19元，买两瓶29元，王奶奶和邻居们凑了195元，最多可以买几瓶洗衣液？
阅卷人 三、模型挑战
得分
12．（2024四上·瓯海期末）妈妈做家务，她最少需要 分钟完成下面的事情。
13．（2015六下·清城期中）百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九五折．如果两个品牌都有一双标价260元的鞋，哪个品牌的更便宜？
14．（2020四上·兴仁期末）师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（ ）方案最省钱．
A．6条大船
B．5条大船，1条小船
C．4条大船，2条小船
15．（2016·湖里模拟）一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价均为每人100元．
（1）这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？
（2）如果你也参加他们的家庭旅行团，你建议应该去哪家旅行社？
16．（2016·罗平模拟）星期天，妈妈叫明明去超市买高山青草奶，目前市场1250mL装的每瓶售5.00元，200mL装的每瓶售2.30元．明明去了华联超市和美好家园，发现两家超市都在搞活动有优惠，如下：华联超市：满36元，八折优惠．美好家园：一律九折．
（1）要买7大瓶，去哪家买比较合算．
（2）要买7大瓶7小瓶，去哪买合算．
答案解析部分
1．【答案】15
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】煮10个玉米至少需要15分钟
【分析】根据题意可知，一个锅一次最多可以煮10个玉米，则煮10个玉米的时间和煮一个玉米的时间是一样的，都是15分钟。
2．【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：因为有30名同学，所以打电话的总次数是30次。
故答案为：30.
【分析】因为要通知的学生有30人，无论采用哪种电话通知的方式，无论谁打电话，打电话的次数则与需要通知的学生人数相等。
3．【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：甲店：（2×5）×（1﹣16%），
=10×84%，
=8.4（元）；
乙店：2×4=8（元）；
丙店：（2×5）×90%，
=10×90%，
=9（元）；
8＜8.4＜9．
所以乙店最便宜．
故选：B．
【分析】甲店：降价16%，是把原价看成单位“1”，现价是原价的（1﹣16%），由此求出5袋的现价；
乙店：买四赠一，买五袋牛奶只需要付4袋的钱即可，由此求出5袋的现价；
丙店：打九折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，由此求出5袋的现价．
4．【答案】B
【知识点】最优化问题；含字母式子的化简与求值
【解析】【解答】解：20＋2×m=（20＋2m）（元）
3×m=3m（元）
如果两个公司工资相同，则
20＋2m=3m
3m-2m=20
m=20
当m>20时，去B公司应聘比较划算。
故答案为：B。
【分析】A公司的工资=基本工资＋计件工资，每天可得（20＋2m）元，B公司的工资只有计件工资，投m件，每天可得3m元，如果两个公司工资相同20＋2m=3m，求得m=20，所以当m>20时，去B公司应聘比较划算。
5．【答案】解：八折=80%，九五折=95%。
620÷200=3（组）……20（元）
620-3×60
=620-180
=440（元）
620×80%×95%
=620×0.8×0.95
=471.2（元）
440＜471.2
答：买甲品牌的上衣便宜。
【知识点】最优化问题；百分数的应用--折扣
【解析】【分析】 八折即80%，九五折即95%，甲品牌：先算620里面有几个200，就从620里面减去几个60元；乙品牌的售价=原价×80%×95%，然后分别计算买两个品牌衣服需要的钱数，再比较大小即可。
6．【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：王明先出4，李红先出5；王明再出7，李红再出8；王明最后出9，李红最后出1，三局两胜。
故答案为：B。
【分析】最优的策略是：王明出最大的数时，李红出最小的数；王明出第二大的数时，李红出最大的数；王明出最小的数时，李红出第二大的数，这样李红会获胜。
7．【答案】（1）解：通过拥挤的道口去学校用时=（36÷3）+7=19（分钟）
绕道而行用时=15分钟
15分钟＜19分钟
答：王老师应选择绕道去学校。
（2）解：设维持秩序的时间是x分钟。
x=3
答： 维持秩序的时间是3分钟。
【知识点】最优化问题；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【分析】（1）题需要计算出通过拥挤的道口去学校用时，即36人、每分钟只能3人通过道口用时（36÷3），再加上通过道口后还需7分钟到达学校，总共用时19分钟，和绕道而行要15分钟到达学校对比，得出结论；（2）题需要设方程求解，即维持秩序x分钟，则在这期间内通过道口就是3x人，还剩36-3x人的时候，秩序正常，每分钟可以通过9人，正常之后需要，再加上维持秩序的x分钟，总共用时19-6=13分钟，列式，求解即可。
8．【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：底面周长=π×22=4π
沿AC将圆柱的侧面展开：
由题得：BC=4π÷2=2π=6（厘米）
AB=
=
=10（厘米）
故答案为：B。
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理即可得出结论。
9．【答案】365
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：根据优惠方案，260元可分三次购买：第一次购买200元商品，可返还35×2＝70元，
第二次可购60＋70＝130元的商品，可返还35元，
最后可购35元的商品，因而最多可购买260＋70＋35＝365（元）的物品。
故答案为：365
【分析】现在有260元，首先购买200元商品，可返还35×2＝70元，此时手里还有剩下的60元，再购买60＋70＝130元的商品，可返还35元，再购买35元的商品，因而最多可购买260＋70＋35＝365元的物品。
10．【答案】（1）解：设买x张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多。
20×210+70（x-20）=0.8×（20×210+70x）
4200+70x-1400=3360+56x
14x=560
x=40
答：当买40张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多。
（2）买一张书柜赠送一只书架的价钱为210元，
210÷(70+210)=0.75，即7.5折
所以应该到A超市买20个书架和200个书柜，再到B超市买80个书架，
20×210+70×（100-20）×0.8
=4200+70×64
=4200+4480
=8680（元）
答：我认为至少要准备8680元货款。
【知识点】最优化问题；百分数的应用--折扣
【解析】【分析】（1）设买x张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多．根据在A超市购买所需的钱数=在B超市购买所需的钱数建立方程，求解即可；
（2）根据A超市和B超市的优惠政策，可知：到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，钱数最少，再计算即可。
11．【答案】解：195÷29=6（组）……21元
6×2+1=13（瓶）
答：最多可以买13瓶洗衣液。
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】根据题意可知，总钱数÷买两瓶的钱数=可以买的组数……剩下的钱数，然后用每组的瓶数×组数=最多可以买的洗衣液瓶数，据此列式解答。
12．【答案】55
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：50+5=55（分钟）。
故答案为：55。
【分析】15+10=25（分钟），25<50，所以在洗衣机洗衣服的过程中就可以把扫地和扔垃圾两件事做了，因此做完三件事情一共只需要50分钟；因为只有衣服洗好后才能晾衣服，所以晾洗后的衣服不能在洗衣机洗衣服的过程中完成，即还需要5分钟，因此妈妈做家务最少需要50＋5=55（分钟）。
13．【答案】解：甲品牌：260＞200，所以减100元，
260﹣100=160（元）
乙品牌：
260×60%×95%
=156×95%
=148.2（元）
148.2＜160
答：乙品牌的更便宜
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】甲品牌，超过200元就减去100元，那么原价260的鞋，只需要260﹣100元；
乙品牌，“折上折”，先打六折，在此基础上再打九五折，先把原价看成单位“1”，用原价乘上60%，就是六折后的价格，再把六折后的价格看成单位“1”，再乘上95%，就是现价；
比较两种品牌的现价即可求解．
14．【答案】C
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：因为，30÷6=5（元）
24÷4=6（元）
所以尽可能租用大船，而且不能有空座；
30+2=32（人）或6×4+4×2=32（人）
32÷6=5（条）…2（人）
租用5条大船，还有2人不能上船，其余2人租一条小船
费用为：5×30+1×24=150+24=174（元）；
或者租用4条大船，2条小船，6×4+4×2=32（人）刚好满座
费用为：4×30+24×2=120+48=168（元）
168＜174
答：租用4条大船和2条小船，租金最少，租金是168元．
故选：C．
【分析】根据“租一条大船需30元可乘坐6人，租一条小船需24元可积坐4人”，可以求出坐大船每人的钱数（30÷6）元，坐小船每人的钱数（24÷4），然后比较是坐大船便宜还是坐小船便宜，再设计方案时尽量租便宜的，而且不留空位
15．【答案】（1）解：甲旅行社：
4×100+3×100×50%
=400+150，
=550（元）；
乙旅行社：
（4+3）×100×75%
=7×100×75%，
=525（元）；
525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少．
答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少
（2）解：甲旅行社：
4×100+（8﹣4）×100×50%
=400+200，
=600（元）；
乙旅行社：
（7+1）×100×75%
=8×100×75，
=600（元）；
此时去两家的收费相同，去哪家都可以．
答：此时去两家的收费相同，去哪家都可以．
但如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲
【知识点】最优化问题；百分率及其应用
【解析】【分析】（1）根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少：甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠.4×100+3×100×50%=550元；乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元；525元＜550元，所以应去乙旅行社．（2）如果我去参因他们的家庭旅行团，则人数变为8人，则去甲旅行社则花：4×100+（8﹣4）×100×50%=600元；乙旅行社：8×100×75%=600元；此时去两家的收费相同，去哪家都可以．如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲．
16．【答案】（1）解：华联超市：5×7=35（元）；
35＜36；按原价收取；
美好家园：35×90%=31.5（元）；
31.5＜35；
答：到美好家园超市比较便宜．
（2）解：华联超市：
5×7+2.3×7
=35+16.1
=51.1（元）
51.1×80%=40.88（元）
美好家园：
51.1×90%=45.99（元）；
40.88＜45.99；
答：到华联超市比较合算．
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】（1）华联超市：先求出7大瓶的原价，5×7=35（元），不到36元，按原价收取；顺天福：9折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，现价是原价的90%，由此用乘法求出现价；比较两个超市的价格即可求解；（2）：求出7大瓶和7小瓶的原价，看是否达到36元，不到36元按原价收取，超过36元8折；8折是指现价是原价的80%，把原价看成单位“1”，用原价乘80%就是需要的钱数；美好家园：仍是9折，用原价乘90%就是美好家园需要的钱数，比较两个超市需要的钱数，即可求解．
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考试时间：75分钟 满分：100分
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
注意事项：
1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写
2、提前 5 分钟收取答题卡
阅卷人 一、模型构建
得分
1．（2022·南开中学）煮一个玉米需要 15 分钟，一个锅一次最多可以煮 10 个玉米， 那么煮 10 个玉米至少需要 分钟．
【答案】15
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】煮10个玉米至少需要15分钟
【分析】根据题意可知，一个锅一次最多可以煮10个玉米，则煮10个玉米的时间和煮一个玉米的时间是一样的，都是15分钟。
2．（找规律(比赛场次、起跑线、营养配餐) 7919 10）如果假期有重要事情要通知同学们，怎样才能尽快通知到30名同学呢!如果用电话通知，那么，打电话的总次数为（ ）
A．31次 B．30次 C．29次 D．15次
【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：因为有30名同学，所以打电话的总次数是30次。
故答案为：30.
【分析】因为要通知的学生有30人，无论采用哪种电话通知的方式，无论谁打电话，打电话的次数则与需要通知的学生人数相等。
3．（2014·浙江）原价每袋2元的某种牛奶，甲、乙、丙三店均在搞促销活动，甲商店每袋降价16%，乙商店“买四送一”，丙商店每袋打9折出售，小明要买5袋牛奶，应从（ ）商店购买比较便宜．
A．甲 B．乙 C．丙 D．三店均可
【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：甲店：（2×5）×（1﹣16%），
=10×84%，
=8.4（元）；
乙店：2×4=8（元）；
丙店：（2×5）×90%，
=10×90%，
=9（元）；
8＜8.4＜9．
所以乙店最便宜．
故选：B．
【分析】甲店：降价16%，是把原价看成单位“1”，现价是原价的（1﹣16%），由此求出5袋的现价；
乙店：买四赠一，买五袋牛奶只需要付4袋的钱即可，由此求出5袋的现价；
丙店：打九折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，由此求出5袋的现价．
4．（2022·巴蜀）小王准备去快递公司应聘，A公司每天支付20元，再每投递一份邮件付2元；B公司每投递一份邮件付3元。用m表示当天投递邮件的份数，当m>20时，去 公司应聘比较划算。
【答案】B
【知识点】最优化问题；含字母式子的化简与求值
【解析】【解答】解：20＋2×m=（20＋2m）（元）
3×m=3m（元）
如果两个公司工资相同，则
20＋2m=3m
3m-2m=20
m=20
当m>20时，去B公司应聘比较划算。
故答案为：B。
【分析】A公司的工资=基本工资＋计件工资，每天可得（20＋2m）元，B公司的工资只有计件工资，投m件，每天可得3m元，如果两个公司工资相同20＋2m=3m，求得m=20，所以当m>20时，去B公司应聘比较划算。
5．（2024六下·大余期中）国光超市搞促销活动，甲品牌上衣每满200元减60元，乙品牌上衣“折上折”，就是先打八折，在此基础上再打九五折。如果两个品牌上衣都有一个标价620元的衣服，买哪个品牌的上衣更便宜
【答案】解：八折=80%，九五折=95%。
620÷200=3（组）……20（元）
620-3×60
=620-180
=440（元）
620×80%×95%
=620×0.8×0.95
=471.2（元）
440＜471.2
答：买甲品牌的上衣便宜。
【知识点】最优化问题；百分数的应用--折扣
【解析】【分析】 八折即80%，九五折即95%，甲品牌：先算620里面有几个200，就从620里面减去几个60元；乙品牌的售价=原价×80%×95%，然后分别计算买两个品牌衣服需要的钱数，再比较大小即可。
阅卷人 二、模型进阶
得分
6．（2023四上·玉环期末）王明和李红玩扑克牌比大小游戏，采取三局两胜制。王明的三张牌分别是9、7、4，李红的三张牌分别是8、5、1。王明先出4，李红要想获得最后的胜利应该出（ ）。
A．8 B．5 C．1 D．无法确定
【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：王明先出4，李红先出5；王明再出7，李红再出8；王明最后出9，李红最后出1，三局两胜。
故答案为：B。
【分析】最优的策略是：王明出最大的数时，李红出最小的数；王明出第二大的数时，李红出最大的数；王明出最小的数时，李红出第二大的数，这样李红会获胜。
7．（2023·宏帆八中）有一个只许单向通过的窄道口，通常情况下，每分钟可以通过9人，一天，王老师到达道口时，发现由于拥挤，每分钟只能3人通过道口，此时，自己前面还有36个人等待通过（假定先到的先过，王老师过道口的时间忽略不计），通过道口后，还需7分钟到达学校。
（1）此时，若绕道而行，要15分钟到达学校，从节省时考虑，王老师应选择绕道去学校，还是选择通过拥挤的道口去学校？
（2）若在王老师等人的维持下，几分钟后，秩序恢复正常（维持秩序期间，每分钟仍有3人通过道口），结果王老师比拥挤的情况下提前了6分钟通过道口，问维持秩序的时间是多少？
【答案】（1）解：通过拥挤的道口去学校用时=（36÷3）+7=19（分钟）
绕道而行用时=15分钟
15分钟＜19分钟
答：王老师应选择绕道去学校。
（2）解：设维持秩序的时间是x分钟。
x=3
答： 维持秩序的时间是3分钟。
【知识点】最优化问题；列方程解含有一个未知数的应用题
【解析】【分析】（1）题需要计算出通过拥挤的道口去学校用时，即36人、每分钟只能3人通过道口用时（36÷3），再加上通过道口后还需7分钟到达学校，总共用时19分钟，和绕道而行要15分钟到达学校对比，得出结论；（2）题需要设方程求解，即维持秩序x分钟，则在这期间内通过道口就是3x人，还剩36-3x人的时候，秩序正常，每分钟可以通过9人，正常之后需要，再加上维持秩序的x分钟，总共用时19-6=13分钟，列式，求解即可。
8．（2021·巴蜀）如图所示，一个圆柱体高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路径（取3）是 （ ）
A．12cm B．10cm C．20cm D．无法确定
【答案】B
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：底面周长=π×22=4π
沿AC将圆柱的侧面展开：
由题得：BC=4π÷2=2π=6（厘米）
AB=
=
=10（厘米）
故答案为：B。
【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用勾股定理即可得出结论。
9．（2023.01.29·科学城巴蜀）某商场优惠酬宾活动，凡购物满100元回赠35元现金（购物不足100元的，不参加优惠活动），现在某人有260元（只有260元，不能借钱），他经过计算，买回了最多的物品，那么他最多买了 元的物品。
【答案】365
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：根据优惠方案，260元可分三次购买：第一次购买200元商品，可返还35×2＝70元，
第二次可购60＋70＝130元的商品，可返还35元，
最后可购35元的商品，因而最多可购买260＋70＋35＝365（元）的物品。
故答案为：365
【分析】现在有260元，首先购买200元商品，可返还35×2＝70元，此时手里还有剩下的60元，再购买60＋70＝130元的商品，可返还35元，再购买35元的商品，因而最多可购买260＋70＋35＝365元的物品。
10．（2022.09.07两江巴蜀）某校计划购买20张书柜和一批书架（书架不少于20个），现从A、B两家超市了解到：同型号的产品价格相同，书柜每张210元，书架每个70元A超市的优惠政策为每买一张书柜赠送一个书架，B超市的优惠政策为所有商品八折。
（1）若规定只能到其中一个超市购买所有商品，什么情况下到A超市购买合算
（2）若学校想购买20张书柜和100个书架，且可到两家超市自由选购，你认为至少要准备多少货款。请用计算的结果来验证你的说法。
【答案】（1）解：设买x张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多。
20×210+70（x-20）=0.8×（20×210+70x）
4200+70x-1400=3360+56x
14x=560
x=40
答：当买40张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多。
（2）买一张书柜赠送一只书架的价钱为210元，
210÷(70+210)=0.75，即7.5折
所以应该到A超市买20个书架和200个书柜，再到B超市买80个书架，
20×210+70×（100-20）×0.8
=4200+70×64
=4200+4480
=8680（元）
答：我认为至少要准备8680元货款。
【知识点】最优化问题；百分数的应用--折扣
【解析】【分析】（1）设买x张书架时，到A、B两个超市购买花的钱一样多．根据在A超市购买所需的钱数=在B超市购买所需的钱数建立方程，求解即可；
（2）根据A超市和B超市的优惠政策，可知：到A超市购买20个书柜和20个书架，到B超市购买80只书架，钱数最少，再计算即可。
11．（2023四上·东港期末）新天地超市的某品牌洗衣液打折促销，买一瓶19元，买两瓶29元，王奶奶和邻居们凑了195元，最多可以买几瓶洗衣液？
【答案】解：195÷29=6（组）……21元
6×2+1=13（瓶）
答：最多可以买13瓶洗衣液。
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】根据题意可知，总钱数÷买两瓶的钱数=可以买的组数……剩下的钱数，然后用每组的瓶数×组数=最多可以买的洗衣液瓶数，据此列式解答。
阅卷人 三、模型挑战
得分
12．（2024四上·瓯海期末）妈妈做家务，她最少需要 分钟完成下面的事情。
【答案】55
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：50+5=55（分钟）。
故答案为：55。
【分析】15+10=25（分钟），25<50，所以在洗衣机洗衣服的过程中就可以把扫地和扔垃圾两件事做了，因此做完三件事情一共只需要50分钟；因为只有衣服洗好后才能晾衣服，所以晾洗后的衣服不能在洗衣机洗衣服的过程中完成，即还需要5分钟，因此妈妈做家务最少需要50＋5=55（分钟）。
13．（2015六下·清城期中）百货大楼搞促销活动，甲品牌鞋满200元减100元，乙品牌鞋“折上折”，就是先打六折，在此基础上再打九五折．如果两个品牌都有一双标价260元的鞋，哪个品牌的更便宜？
【答案】解：甲品牌：260＞200，所以减100元，
260﹣100=160（元）
乙品牌：
260×60%×95%
=156×95%
=148.2（元）
148.2＜160
答：乙品牌的更便宜
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】甲品牌，超过200元就减去100元，那么原价260的鞋，只需要260﹣100元；
乙品牌，“折上折”，先打六折，在此基础上再打九五折，先把原价看成单位“1”，用原价乘上60%，就是六折后的价格，再把六折后的价格看成单位“1”，再乘上95%，就是现价；
比较两种品牌的现价即可求解．
14．（2020四上·兴仁期末）师生共32人去公园划船，大船租金30元，限乘6人，小船租金24元，限乘4人，下列（ ）方案最省钱．
A．6条大船
B．5条大船，1条小船
C．4条大船，2条小船
【答案】C
【知识点】最优化问题
【解析】【解答】解：因为，30÷6=5（元）
24÷4=6（元）
所以尽可能租用大船，而且不能有空座；
30+2=32（人）或6×4+4×2=32（人）
32÷6=5（条）…2（人）
租用5条大船，还有2人不能上船，其余2人租一条小船
费用为：5×30+1×24=150+24=174（元）；
或者租用4条大船，2条小船，6×4+4×2=32（人）刚好满座
费用为：4×30+24×2=120+48=168（元）
168＜174
答：租用4条大船和2条小船，租金最少，租金是168元．
故选：C．
【分析】根据“租一条大船需30元可乘坐6人，租一条小船需24元可积坐4人”，可以求出坐大船每人的钱数（30÷6）元，坐小船每人的钱数（24÷4），然后比较是坐大船便宜还是坐小船便宜，再设计方案时尽量租便宜的，而且不留空位
15．（2016·湖里模拟）一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价均为每人100元．
（1）这个家庭选择哪家旅行社所花的费用少？
（2）如果你也参加他们的家庭旅行团，你建议应该去哪家旅行社？
【答案】（1）解：甲旅行社：
4×100+3×100×50%
=400+150，
=550（元）；
乙旅行社：
（4+3）×100×75%
=7×100×75%，
=525（元）；
525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少．
答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少
（2）解：甲旅行社：
4×100+（8﹣4）×100×50%
=400+200，
=600（元）；
乙旅行社：
（7+1）×100×75%
=8×100×75，
=600（元）；
此时去两家的收费相同，去哪家都可以．
答：此时去两家的收费相同，去哪家都可以．
但如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲
【知识点】最优化问题；百分率及其应用
【解析】【分析】（1）根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少：甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠.4×100+3×100×50%=550元；乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元；525元＜550元，所以应去乙旅行社．（2）如果我去参因他们的家庭旅行团，则人数变为8人，则去甲旅行社则花：4×100+（8﹣4）×100×50%=600元；乙旅行社：8×100×75%=600元；此时去两家的收费相同，去哪家都可以．如果去的人数继续增加，则甲的优惠幅度就比乙的优惠幅度大了，应去甲．
16．（2016·罗平模拟）星期天，妈妈叫明明去超市买高山青草奶，目前市场1250mL装的每瓶售5.00元，200mL装的每瓶售2.30元．明明去了华联超市和美好家园，发现两家超市都在搞活动有优惠，如下：华联超市：满36元，八折优惠．美好家园：一律九折．
（1）要买7大瓶，去哪家买比较合算．
（2）要买7大瓶7小瓶，去哪买合算．
【答案】（1）解：华联超市：5×7=35（元）；
35＜36；按原价收取；
美好家园：35×90%=31.5（元）；
31.5＜35；
答：到美好家园超市比较便宜．
（2）解：华联超市：
5×7+2.3×7
=35+16.1
=51.1（元）
51.1×80%=40.88（元）
美好家园：
51.1×90%=45.99（元）；
40.88＜45.99；
答：到华联超市比较合算．
【知识点】最优化问题
【解析】【分析】（1）华联超市：先求出7大瓶的原价，5×7=35（元），不到36元，按原价收取；顺天福：9折是指现价是原价的90%，把原价看成单位“1”，现价是原价的90%，由此用乘法求出现价；比较两个超市的价格即可求解；（2）：求出7大瓶和7小瓶的原价，看是否达到36元，不到36元按原价收取，超过36元8折；8折是指现价是原价的80%，把原价看成单位“1”，用原价乘80%就是需要的钱数；美好家园：仍是9折，用原价乘90%就是美好家园需要的钱数，比较两个超市需要的钱数，即可求解．
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