2024年高考真题分类汇编八 平面解析几何
一、选择题
1．（2024·北京）求圆的圆心到的距离（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由 整理可得，
可知圆心为，
所以圆心到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】根据方程可得圆心和半径，再结合点到直线的距离公式分析求解.
2．（2024·天津）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线的斜率；双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】解：由题可知，点必落在第四象限，且，如图所示：
设，，则，
因为直线的斜率为2，所以，则，
因为，所以，所以，即，
则，由正弦定理可得：，
又因为，所以，
因为的面积为8，所以，解得，
所以，
，故，故双曲线的方程为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，，则，利用正弦定理将三边斜率转化为三边比例，再根据三角形面积公式求出，最后利用勾股定理结合双曲线的定义求解即可.
3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
4．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，-4）、F2（0，4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
5．（2024·全国甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由 a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，
将，代入直线方程，
所以有，
化简得：，则直线恒过定点；
对于圆的方程x2+（y+2）2＝5 ，
圆心为，半径为，
直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，
要求|AB|的最小值，只需，此时，，
利用勾股定理有
故答案为：C.
【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.
6．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
二、多项选择题
7．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（ ）．
A．与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点P有且仅有2个
【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；
B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，
则切线长，故B正确；
C、当时，，，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
故不成立，故C错误；
D、设，因为，所以，又因为，，
所以，整理得，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.
8．（2024·新高考Ⅰ卷）造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（ ）
A．a＝﹣2
B．点在C上
C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点（x0，y0）在C上时，
【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，因为原点O在曲线上，根据定义则有，解得a=-2，故A正确，符合题意；
对于B，由定义可知，若点在C上，则，故B正确，符合题意；
由定义可知，设C上一点，整理得：，
对于C，观察发现当x=2时，，即，
当x=时，，即y>1或y<-1，
当点C在第一象限时，其纵坐标最大值大于1，故C错误，不符合题意；
对于D，由，即，
由，即，
∴，即，故D正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由定义分析可以判断AB，根据图象大致位置利用特殊值可判断C，最后利用非负性判断D.
三、填空题
9．（2024·北京）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则双曲线的渐近线为，且点 在双曲线的右半支内，
若过且和双曲线只有一个交点，可知该直线与渐近线平行，
所以所求直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得渐近线方程，结合渐近线的几何意义分析求解.
10．（2024·北京）已知抛物线，则焦点坐标为 ．
【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，且焦点在x轴正半轴上，即，
所以 焦点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可知，且焦点在x轴正半轴上，即可得焦点坐标.
11．（2024·天津）若函数有零点，则的取值范围为 .
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；双曲线的简单性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，即，原问题转化为函数与函数有唯一的交点，
由题意可得：，
当时，，则，解得，不符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，，则，
即，整理得，
当时，即，即，满足条件
当，或（正值舍去），满足条件，
当时，或，有两解，不符合要求，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），且函数在上单调递减，
故，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【分析】将问题转化为两函数的交点个数问题求解，令，得，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论求解即可.
12．（2024·天津）的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，求原点到直线AF的距离 .
【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，抛物线的焦点为，
因为圆心与抛物线的焦点重合，所以，即，
联立，消元整理可得，解得，故，
因为，所以，故直线，
即或，故原点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
13．（2024·新高考Ⅰ卷）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C与A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线对称性可知，
∵|AB|＝10 ，
∴，
在Rt△F1F2A中，，
∴c=6，
又∵2a=，故a=4，
∴
故答案为：.
【分析】由双曲线的对称性结合勾股定理及双曲线的定义可计算出a、c的值，代入公式得出离心率.
14．（2024·上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．
【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2c=6，所以c=3，即a=1，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用双曲线的定义即可.
15．（2024·上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
【答案】45°
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：把直线的一般式方程x﹣y+1＝0化成斜截式方程为y=x+1，
所以k=1，设直线的倾斜角为，即
由因为，所以.
故答案为：45°.
【分析】先把直线方程化成斜截式，再利用倾斜角的定义即可.
16．（2024·上海）已知抛物线上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 .
【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设点，易知抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的距离为9，所以，解得，则，即，则点到轴的距离为．
故答案为：．
【分析】由题意，结合根据抛物线的定义求得，将其代入抛物线方程求得，即可得到轴的距离.
17．（2024·上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
【答案】2.73
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知以A为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：
则E(0.2，0.2)，F(0.8，0.8)，则圆心M一定在直线EF的垂直平分线上且圆M与y轴相切，
设线段EF的中点为N，则N(0.5，0.5)，则直线EF的方程为y=x，则EF的垂直平分线方程为y=-x+1，
设圆心为M（a，-a+1），半径为a，则EM=解得
所以圆的周长为.
故答案为：2.73.
【分析】建立平面直角坐标系，把问题转化成求过点E，F且和y轴相切的圆的方程即可.
四、解答题
18．（2024·北京）已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
【答案】（1）解：由题意可知：，则，
所以椭圆方程为，离心率为.
（2）由题意可知：直线斜率存在且不为0，
设，，则，
联立方程，消去x得，
则，解得，
可得，
由题意可知直线，
令，可得
，
则，
可得，解得或，
综上所述：.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，进而可得椭圆方程和离心率；
(2)设直线及其交点坐标，联立方程，根据直线BD的方程求点C的坐标，结合韦达定理分析求解.
19．（2024·天津）已知椭圆椭圆的离心率.左顶点为，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中.
（1）求椭圆方程.
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得.若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又因为，所以，
则点，故，
解得，所以，，故椭圆方程为：.
（2）解：若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
联立，消元整理可得，
因为直线与椭圆有两个交点，所以，
由韦达定理可得：，
则，
故
，
又因为恒成立，所以，解得；
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得，
综上所述，存在，使得恒成立.
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率以及三角形的面积、椭圆的性质可求a，b，即可得椭圆的标准方程；
（2）若过点的动直线的斜率存在，设该直线方程为：， 联立直线方程和椭圆方程，消元整理，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.
20．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）若，求．
（2）证明：数列是公比为的等比数列．
（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．
【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，
当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，
故，，.
（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，
由于是一根，则方程必有一根，
由根据韦达定理可得另一根，，
所以该直线与的另一个交点为，所以，
，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）证明：由（2）可得，，
故，
由于，，则数列是公比为的等比数列，
所以对任意的正整数，都有
，
则①，
②，
①②两式相减可得，
化简整理得，
故，
因为，，
所以和平行，即，故.
【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.
21．（2024·全国甲卷）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
【答案】（1）解：设，由题设有且 M（1，）在椭圆C上 ，
所以，故，即，
解得，所以，
故椭圆方程为.
（2）证明：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
消去y得：，
故，故，
由韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，
即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴即得到通径的长度，借助二级结论可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简可得，故可证轴.
22．（2024·全国甲卷）已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
【答案】（1）解：设，由题设有且，
故，解得，，
故椭圆方程为.
（2）解：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
可得，
故，
故，
又根据韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
23．（2024·新高考Ⅰ卷）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：＝1（a＞b＞0）上两点．
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
【答案】（1）解：由 椭圆C：＝1（a＞b＞0） 经过 A（0，3），
∴b=3，即，
代入点P （3，）得，
，解得，即，
此时c=，
∴.
（2）解：由(1)得椭圆C：，
由A（0，3）和P（3，），
∴，，
∴直线AP的解析式为，即x+2y-6=0，
设点B到直线AP的距离为d，
∴，解得d=.
设点B，
则，解得或，
即或，
①若，此时，直线l的方程为，即x-2y=0；
②若，此时，直线l的方程为，即3x-2y-6=0；
综上所述，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由椭圆经过点A得出b值，同时将P点代入椭圆方程得出a，后根据椭圆的性质计算离心率即可；
（2）由已知点A、P，故可以AP为底，由三角形面积转换为点到直线距离建立等量关系，解出方程组即可.
24．（2024·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可得所以
因为点A的横坐标为2，不妨设A（2，m），
因为点A在椭圆Γ上，所以，解得，
所以＝；
（2）解：由题意可得，不妨设A（x，y），xy≠0，
所以
因为S1≥S2，所以2y2≥x2，又，解得，所以，解得，
则，
故|OA|的范围为.
（3）解：存在，理由如下：
不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），由对称性可得A、C关于y轴对称，所以C（﹣x1，y1），
又F1（﹣2，0），F2（2，0），
则
所，，
同理可得
又因为，
所以
解得y2+2y1＝0或（无解），
不妨设直线AF2：x＝my+2，
联立消去x并整理得（m2+3）y2+4my﹣2＝0，
由根与系数关系可得得，解得，即
又x1＝my1+2，解得，解得
故存在x轴上方的点，使得成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的几何意义和两点间的距离公式即可；
（2）设A（x，y），利用三角形面积公式得2y2≥x2，利用椭圆方程解得，求出，最后利用两点间的距离公式即可；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1）利用向量的坐标运算得出y2+2y1＝0，再设直线AF2：x＝my+2，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可.
25．（2024·上海）双曲线，，，为左右顶点，过点的直线l交双曲线于两点P、Q，且点P在第一象限.
（1）若时，求b.
（2）若，为等腰三角形时，求点的坐标.
（3）过点Q作OQ延长线交于点R，若，求b取值范围.
【答案】（1）解：易知，因为，所以，解得，故；
（2）解：当时，双曲线，其中，，
因为为等腰三角形，且点在第一象限，所以为底边，，
设，其中，
则，解得，即.
（3）解：易知，
当直线的斜率为0时，，不合题意，则，
设直线，点，延长交双曲线于点，根据双曲线对称性知，
联立，消元整理可得，
易知，，
由韦达定理可得：①，②，
则，，
因为在直线上，所以，，
即，即，
将①②代入可得，
即，即，
则 ， 代入到 ， 得 ， 所以 ，
且，解得，又因为，所以，
综上知，，则.
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据离心率公式计算即可；
（2）当时，双曲线，结合题意可知为等腰三角形的底边，设，由以及点在双曲线上列方程组，求解即可；
（3）设直线，联立直线与双曲线方程，消元整理，利用韦达定理得，，结合向量数量积列式计算即可.
1 / 12024年高考真题分类汇编八 平面解析几何
一、选择题
1．（2024·北京）求圆的圆心到的距离（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2024·天津）双曲线的左、右焦点分别为是双曲线右支上一点，且直线的斜率为是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·新课标Ⅱ卷）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线段为垂足，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（0，-4）、F2（0，4），且经过点P（﹣6，4），则双曲线C的离心率是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
5．（2024·全国甲卷）已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．（2024·全国甲卷）已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P（﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．
二、多项选择题
7．（2024·新课标Ⅱ卷）抛物线的准线为，P为上动点，过作的一条切线，为切点，过点作的垂线，垂足为．则（ ）．
A．与相切
B．当P，A，B三点共线时，
C．当时，
D．满足的点P有且仅有2个
8．（2024·新高考Ⅰ卷）造型∝可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于﹣2，到点F（2，0）的距离与到定直线x＝a（a＜0）的距离之积为4，则（ ）
A．a＝﹣2
B．点在C上
C．C在第一象限的纵坐标的最大值为1
D．当点（x0，y0）在C上时，
三、填空题
9．（2024·北京）已知双曲线，则过且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为 ．
10．（2024·北京）已知抛物线，则焦点坐标为 ．
11．（2024·天津）若函数有零点，则的取值范围为 .
12．（2024·天津）的圆心与抛物线的焦点重合，为两曲线的交点，求原点到直线AF的距离 .
13．（2024·新高考Ⅰ卷）设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C与A，B两点，若|F1A|＝13，|AB|＝10，则C的离心率为 ．
14．（2024·上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 ．
15．（2024·上海）直线x﹣y+1＝0的倾斜角大小为 ．
16．（2024·上海）已知抛物线上有一点P到准线的距离为9，那么P到x轴的距离为 .
17．（2024·上海）正方形草地ABCD边长1.2，E到AB，AD距离为0.2，F到BC，CD距离为0.4，有个圆形通道经过E，F，且与AD只有一个交点，求圆形通道的周长 ．（精确到0.01）
四、解答题
18．（2024·北京）已知椭圆方程C：，焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．
（1）求椭圆方程和离心率；
（2）若直线BD的斜率为0，求t．
19．（2024·天津）已知椭圆椭圆的离心率.左顶点为，下顶点为B，C是线段OB的中点，其中.
（1）求椭圆方程.
（2）过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q.在轴上是否存在点使得.若存在求出这个点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由.
20．（2024·新课标Ⅱ卷）已知双曲线，点在上，为常数，．按照如下方式依次构造点，过点作斜率为的直线与的左支交于点，令为关于轴的对称点，记的坐标为．
（1）若，求．
（2）证明：数列是公比为的等比数列．
（3）设为的面积，证明：对任意的正整数．
21．（2024·全国甲卷）已知椭圆C：的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
22．（2024·全国甲卷）已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．
（1）求C的方程；
（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．
23．（2024·新高考Ⅰ卷）已知A（0，3）和P（3，）为椭圆C：＝1（a＞b＞0）上两点．
（1）求C的离心率；
（2）若过P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程．
24．（2024·上海）在平面直角坐标系xOy中，已知点A为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点．
（1）若点A的横坐标为2，求|AF1|的长；
（2）设Γ的上、下顶点分别为M1、M2，记△AF1F2的面积为S1，△AM1M2的面积为S2，若S1≥S2，求|OA|的取值范围．
（3）若点A在x轴上方，设直线AF2与Γ交于点B，与y轴交于点K，KF1延长线与Γ交于点C，是否存在x轴上方的点C，使得成立？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2024·上海）双曲线，，，为左右顶点，过点的直线l交双曲线于两点P、Q，且点P在第一象限.
（1）若时，求b.
（2）若，为等腰三角形时，求点的坐标.
（3）过点Q作OQ延长线交于点R，若，求b取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的一般方程
【解析】【解答】解：由 整理可得，
可知圆心为，
所以圆心到直线的距离.
故答案为：C.
【分析】根据方程可得圆心和半径，再结合点到直线的距离公式分析求解.
2．【答案】C
【知识点】直线的斜率；双曲线的定义；双曲线的简单性质；正弦定理
【解析】【解答】解：由题可知，点必落在第四象限，且，如图所示：
设，，则，
因为直线的斜率为2，所以，则，
因为，所以，所以，即，
则，由正弦定理可得：，
又因为，所以，
因为的面积为8，所以，解得，
所以，
，故，故双曲线的方程为.
故答案为：C.
【分析】由题意，设，，则，利用正弦定理将三边斜率转化为三边比例，再根据三角形面积公式求出，最后利用勾股定理结合双曲线的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】解：设点，由题意可得，
因为点在圆上，所以，即，
则点的轨迹方程为.
故答案为：A.
【分析】设点，由题意，根据中点的坐标公式可得，代入圆的方程化简即可求得中点的轨迹方程.
4．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系；直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】解：由 a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，
将，代入直线方程，
所以有，
化简得：，则直线恒过定点；
对于圆的方程x2+（y+2）2＝5 ，
圆心为，半径为，
直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，
要求|AB|的最小值，只需，此时，，
利用勾股定理有
故答案为：C.
【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4） ，则c=4，
又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：
，
根据两点坐标公式得：，，
所以2a=4，则a=2；
所以
故答案为：C.
【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.
7．【答案】A,B,D
【知识点】斜率的计算公式；用斜率判定两直线垂直；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：A、易知抛物线的准线为，而的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离是，故准线和相切，故A正确；
B、当三点共线时，即，则的纵坐标，由，得，故，
则切线长，故B正确；
C、当时，，，故或，
当时，，，，不满足；
当时，，，，不满足；
故不成立，故C错误；
D、设，因为，所以，又因为，，
所以，整理得，，
则关于的方程有两个解，即存在两个这样的点，满足 ，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】易知抛物线准线为，由题意，根据圆心到准线的距离即可判断A；当三点共线时，先求出的坐标，再切线长，即可判断B；根据先算出的坐标，再验证是否成立，即可判断C；设，将问题转化成的点的存在性问题求解即可判断D.
8．【答案】A,B,D
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：对于A，因为原点O在曲线上，根据定义则有，解得a=-2，故A正确，符合题意；
对于B，由定义可知，若点在C上，则，故B正确，符合题意；
由定义可知，设C上一点，整理得：，
对于C，观察发现当x=2时，，即，
当x=时，，即y>1或y<-1，
当点C在第一象限时，其纵坐标最大值大于1，故C错误，不符合题意；
对于D，由，即，
由，即，
∴，即，故D正确，符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】由定义分析可以判断AB，根据图象大致位置利用特殊值可判断C，最后利用非负性判断D.
9．【答案】
【知识点】双曲线的标准方程；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可知：，
则双曲线的渐近线为，且点 在双曲线的右半支内，
若过且和双曲线只有一个交点，可知该直线与渐近线平行，
所以所求直线的斜率为.
故答案为：.
【分析】根据题意可得渐近线方程，结合渐近线的几何意义分析求解.
10．【答案】
【知识点】抛物线的标准方程
【解析】【解答】解：由题意可知：，且焦点在x轴正半轴上，即，
所以 焦点坐标为.
故答案为：.
【分析】根据题意分析可知，且焦点在x轴正半轴上，即可得焦点坐标.
11．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；双曲线的简单性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，即，原问题转化为函数与函数有唯一的交点，
由题意可得：，
当时，，则，解得，不符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，，则，
即，整理得，
当时，即，即，满足条件
当，或（正值舍去），满足条件，
当时，或，有两解，不符合要求，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，由函数关于对称，令，可得或，且函数在上单调递减，在上单调递增，
令，即，
故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得，
由的渐近线方程为，
即部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），
且函数在上单调递增，
故有，解得，故符合要求；
当时，则，
即函数与函数有唯一交点，
由，可得或，
当时，则，则，
即，整理得，
当时，即，即，
当，（负值舍去）或，
当时，或，有两解，舍去，
即当时，在时有唯一解，
则当时，在时需无解，
当，且时，
由函数关于对称，令，可得或，
且函数在上单调递减，在上单调递增，
同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得，
部分的渐近线方程为，其斜率为，
又，即在时的斜率，
令，可得或（舍去），且函数在上单调递减，
故，解得，故符合要求；
综上所述，.
故答案为：.
【分析】将问题转化为两函数的交点个数问题求解，令，得，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面内点到直线的距离公式；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，抛物线的焦点为，
因为圆心与抛物线的焦点重合，所以，即，
联立，消元整理可得，解得，故，
因为，所以，故直线，
即或，故原点到直线的距离为.
故答案为：.
【分析】先求出圆心坐标，从而可求焦准距，再联立圆和抛物线方程，求及的方程，从而可求原点到直线的距离.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线对称性可知，
∵|AB|＝10 ，
∴，
在Rt△F1F2A中，，
∴c=6，
又∵2a=，故a=4，
∴
故答案为：.
【分析】由双曲线的对称性结合勾股定理及双曲线的定义可计算出a、c的值，代入公式得出离心率.
14．【答案】3
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意可得2c=6，所以c=3，即a=1，
所以.
故答案为：3.
【分析】利用双曲线的定义即可.
15．【答案】45°
【知识点】直线的倾斜角；直线的斜率
【解析】【解答】解：把直线的一般式方程x﹣y+1＝0化成斜截式方程为y=x+1，
所以k=1，设直线的倾斜角为，即
由因为，所以.
故答案为：45°.
【分析】先把直线方程化成斜截式，再利用倾斜角的定义即可.
16．【答案】
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解：设点，易知抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的距离为9，所以，解得，则，即，则点到轴的距离为．
故答案为：．
【分析】由题意，结合根据抛物线的定义求得，将其代入抛物线方程求得，即可得到轴的距离.
17．【答案】2.73
【知识点】直线的点斜式方程；圆的标准方程
【解析】【解答】解：已知以A为坐标原点，线段AB所在的直线为x轴，线段AD所在的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示：
则E(0.2，0.2)，F(0.8，0.8)，则圆心M一定在直线EF的垂直平分线上且圆M与y轴相切，
设线段EF的中点为N，则N(0.5，0.5)，则直线EF的方程为y=x，则EF的垂直平分线方程为y=-x+1，
设圆心为M（a，-a+1），半径为a，则EM=解得
所以圆的周长为.
故答案为：2.73.
【分析】建立平面直角坐标系，把问题转化成求过点E，F且和y轴相切的圆的方程即可.
18．【答案】（1）解：由题意可知：，则，
所以椭圆方程为，离心率为.
（2）由题意可知：直线斜率存在且不为0，
设，，则，
联立方程，消去x得，
则，解得，
可得，
由题意可知直线，
令，可得
，
则，
可得，解得或，
综上所述：.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】 (1) 根据题意可得，进而可得椭圆方程和离心率；
(2)设直线及其交点坐标，联立方程，根据直线BD的方程求点C的坐标，结合韦达定理分析求解.
19．【答案】（1）解：因为椭圆的离心率为，所以，即，又因为，所以，
则点，故，
解得，所以，，故椭圆方程为：.
（2）解：若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：，
设，
联立，消元整理可得，
因为直线与椭圆有两个交点，所以，
由韦达定理可得：，
则，
故
，
又因为恒成立，所以，解得；
若过点的动直线的斜率不存在，则或，
此时需，两者结合可得，
综上所述，存在，使得恒成立.
【知识点】平面向量的数量积运算；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据椭圆的离心率以及三角形的面积、椭圆的性质可求a，b，即可得椭圆的标准方程；
（2）若过点的动直线的斜率存在，设该直线方程为：， 联立直线方程和椭圆方程，消元整理，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算可用表示，再根据可求的范围.
20．【答案】（1）解：因为点在双曲线上，所以，故双曲线的方程为，
当时，过且斜率为的直线为，联立，整理得，
解得或，所以该直线与的不同于的交点为，该点显然在的左支上，
故，，.
（2）证明：由题可知，过且斜率为的直线为，联立直线与双曲线方程，得，化简整理可得，
由于是一根，则方程必有一根，
由根据韦达定理可得另一根，，
所以该直线与的另一个交点为，所以，
，.
所以
.
再由，就知道，所以数列是公比为的等比数列.
（3）证明：由（2）可得，，
故，
由于，，则数列是公比为的等比数列，
所以对任意的正整数，都有
，
则①，
②，
①②两式相减可得，
化简整理得，
故，
因为，，
所以和平行，即，故.
【知识点】等比数列概念与表示；平面向量的数量积运算；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）先根据点在双曲线上求得双曲线方程，再根据题目中的构造方式计算出的坐标即可；
（2）由题意，求得过且斜率为的直线为，联立直线与曲线方程，求交点坐标，结合等比数列的定义证明即可；
（3）由（2）的结论，根据平面向量数量积以及等比数列的知识，证明的取值为与无关的定值即可.
21．【答案】（1）解：设，由题设有且 M（1，）在椭圆C上 ，
所以，故，即，
解得，所以，
故椭圆方程为.
（2）证明：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
消去y得：，
故，故，
由韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，
即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题；圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴即得到通径的长度，借助二级结论可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简可得，故可证轴.
22．【答案】（1）解：设，由题设有且，
故，解得，，
故椭圆方程为.
（2）解：直线的斜率必定存在，
设，，，
由
可得，
故，
故，
又根据韦达定理得：，
而，故直线，
故，
所以
，
故，即轴.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的应用
【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.
（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.
23．【答案】（1）解：由 椭圆C：＝1（a＞b＞0） 经过 A（0，3），
∴b=3，即，
代入点P （3，）得，
，解得，即，
此时c=，
∴.
（2）解：由(1)得椭圆C：，
由A（0，3）和P（3，），
∴，，
∴直线AP的解析式为，即x+2y-6=0，
设点B到直线AP的距离为d，
∴，解得d=.
设点B，
则，解得或，
即或，
①若，此时，直线l的方程为，即x-2y=0；
②若，此时，直线l的方程为，即3x-2y-6=0；
综上所述，直线l的方程为x-2y=0或3x-2y-6=0.
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)由椭圆经过点A得出b值，同时将P点代入椭圆方程得出a，后根据椭圆的性质计算离心率即可；
（2）由已知点A、P，故可以AP为底，由三角形面积转换为点到直线距离建立等量关系，解出方程组即可.
24．【答案】（1）解：由题意可得所以
因为点A的横坐标为2，不妨设A（2，m），
因为点A在椭圆Γ上，所以，解得，
所以＝；
（2）解：由题意可得，不妨设A（x，y），xy≠0，
所以
因为S1≥S2，所以2y2≥x2，又，解得，所以，解得，
则，
故|OA|的范围为.
（3）解：存在，理由如下：
不妨设A（x1，y1），y1＞0，B（x2，y2），由对称性可得A、C关于y轴对称，所以C（﹣x1，y1），
又F1（﹣2，0），F2（2，0），
则
所，，
同理可得
又因为，
所以
解得y2+2y1＝0或（无解），
不妨设直线AF2：x＝my+2，
联立消去x并整理得（m2+3）y2+4my﹣2＝0，
由根与系数关系可得得，解得，即
又x1＝my1+2，解得，解得
故存在x轴上方的点，使得成立．
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用椭圆的几何意义和两点间的距离公式即可；
（2）设A（x，y），利用三角形面积公式得2y2≥x2，利用椭圆方程解得，求出，最后利用两点间的距离公式即可；
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（﹣x1，y1）利用向量的坐标运算得出y2+2y1＝0，再设直线AF2：x＝my+2，和椭圆方程联立，利用根与系数的关系即可.
25．【答案】（1）解：易知，因为，所以，解得，故；
（2）解：当时，双曲线，其中，，
因为为等腰三角形，且点在第一象限，所以为底边，，
设，其中，
则，解得，即.
（3）解：易知，
当直线的斜率为0时，，不合题意，则，
设直线，点，延长交双曲线于点，根据双曲线对称性知，
联立，消元整理可得，
易知，，
由韦达定理可得：①，②，
则，，
因为在直线上，所以，，
即，即，
将①②代入可得，
即，即，
则 ， 代入到 ， 得 ， 所以 ，
且，解得，又因为，所以，
综上知，，则.
【知识点】平面向量的数量积运算；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据离心率公式计算即可；
（2）当时，双曲线，结合题意可知为等腰三角形的底边，设，由以及点在双曲线上列方程组，求解即可；
（3）设直线，联立直线与双曲线方程，消元整理，利用韦达定理得，，结合向量数量积列式计算即可.
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