2024年高考真题分类汇编九 导数在函数中的应用
一、选择题
1．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
2．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）．
A．-1 B． C．1 D．2
3．（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
4．（2024·全国甲卷）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题
5．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
6．（2024·新高考Ⅰ卷）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）
三、填空题
7．（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
8．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
四、解答题
9．（2024·天津）设函数.
（1）求图像上点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围；
（3）若证明.
10．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．
11．（2024·北京）已知在处切线为l．
（1）若切线l的斜率，求单调区间；
（2）证明：切线l不经过；
（3）已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
12．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
13．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
14．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．
15．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
16．（2024·上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
2．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，
由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，
下面验证：
若，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.
故答案为：D.
【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.
3．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以切线斜率，
利用点斜式，则切线方程为：y+1=3x，即3x-y-1=0，
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
4．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，
则，
此时切线斜率
利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
5．【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
6．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由 函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），
∴f'（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝，
令f'（x）=0，则x=1或x=3，
∴当x<1或x>3时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增；
当1故函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=3时取得极小值，故A正确，符合题意；
对于B， 当0＜x＜1时，f（x）单调递增，此时x>x2，故有f（x）>f（x2），故B错误，不符合题意；
对于C， 当1＜x＜2时，则1＜2x-1＜3，f（x）单调递减，-4＜f（2x-1）＜0，故C正确，符合题意；
对于D， ，
故 当﹣1＜x＜1时， 令，此时在R上单调递减，，
故， ，即，故D正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数求导法则进行求导，分析其单调性极值判断A，进而利用单调性判断BC，对于D可重新构造新函数并分析其最值得出结论.
7．【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
8．【答案】（﹣2，1）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：据题意，令，
分离参数得：，
下研究的函数图象；
由
则，
令，则，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，并且，，
此时，图象如下所示：
因为曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，
转化为有两个交点，
所以，
故答案为：.
【分析】令由曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，转化为有两个交点，进而利用求导求出的函数图象，进而求出a的取值范围.
9．【答案】（1）解：函数定义域为，，
则，，故在点处的切线方程为，即；
（2）解：设定义域为，，当时，解得，
当时，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在时取最小值，
故在上恒成立，即，当且仅当等号成立，
设，则，
当时，的取值范围是，原问题等价于对任意，恒有成立，
若对任意，恒有，
则对，有，
取，得，故，
再取，得，所以，
若，则对任意，都有，满足条件，
综上可知，的取值范围是.
（3）证明：易证对，有，
证明：由（2）的结论，故，
且，
所以，即，
由，当时，解得；当时，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，有，结论成立；
当时，有，
对任意的，设，则，由于单调递增，
且，
且当，时，由可知，
，
所以在上存在零点，再结合单调递增，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
①当时，有；
②当时，由于，故取，
从而当时，由，
可得，
再根据在上单调递减，即对，都有；
综合①②可知对任意，都有，即，
根据和的任意性，取，，则，
所以；
当时，根据以上讨论，
可得，，
由的单调性，可知或，
故一定有成立，
综上，成立.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足即可；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论，证明即可.
10．【答案】（1）解：据题意，，
，
当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述：
当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：
因为，且，所以，
下求的最小值；
由
，令，
则，
易知在单调递增，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以，，
所以在上单调递增
且，
故恒成立，
所以 f（x）＜ex﹣1恒成立 .证毕.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，，将问题转化为求的最小值大于0恒成立，利用两次求导，结合函数的零点，求出g(x)在单调递增，且，即可求出结果.
11．【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
可得
即切点坐标，切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入可得，整理得，
原题意等价于关于的方程有正根，
令，则，
可知在上单调递增，，
则在无零点，即方程无解，
所以直线不过.
（3）若，.
由题意可知：，
设与轴交点为，时，
若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾；
由（2）知，则，
则切线的方程为，
令，则，
因为，则，
整理得，
令，
可知满足条件的点的个数即的零点个数，
则，
令，解得，令，解得；
则在内单调递减；在内单调递增；
且，，
，
可知：在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断 的单调区间；(注：常数k在同一条件下保持不变，并不影响定义域（-1，0）的分析)
(2) 利用导数求切线方程，将代入整理得，原题意等价于关于的方程有正根，构建函数，利用导数判断其单调性和零点即可；
(3) 设与轴交点为，时，根据题意结合导数的几何意义分析可知，构建函数，可知满足条件的点的个数即的零点个数，利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
12．【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
13．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，
所以，
故，
因为在上为增函数，根据单调性的性质，
所以在上为增函数，
又因为，故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2）解：因为，
所以，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
又，即，所以在上为增函数，
故.
当时，当时，，故在上为减函数，
故在上，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.
（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）
14．【答案】（1）解：当b=0时，此时函数 f（x）＝ln+ax =，其中，
此时，
由f'（x）≥0，
故，即，
由
故当时，，即，
故，当且仅当x=1时，.
为使得恒成立，
∴.
故a的最小值为-2.
（2）证明：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 ，其中，
∴，
∴函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形
（3）解：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 在上连续，
且当且仅1＜x＜2时 f（x）＞﹣2 ，即当0＜x＜1时 f（x）<﹣2，
由(2)得，函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形，
故可推出 a=-2.
此时 f（x）＝ln-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此时g（1）=0，
∴，此时.
此时设，
由复合函数单调性可知，x(2-x)在1＜x＜2上单调递减，则在1＜x＜2上单调递增，
在1＜x＜2上单调递增，
则，
①若2+3b≥0，即，
故此时当1＜x＜2，h(x)≥0，，
又∵，
∴g（x）在1＜x＜2上单调递增，
∴，且g（1）=0，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立， 即f（x）＞﹣2恒成立；
②若2+3b<0，即，
故此时当1＜x＜2，存在>1，使得h(x)<0，
即存在>1，，
又∵，
∴存在x1>1，使得g（x）在1＜x＜x1单调递减，
∴，，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2不恒成立，不符合题意；
综上所述，b的取值范围是[﹣，+∞）.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)将b=0代入原函数，并利用f'（x）≥0后整理式子进行变量分离，转换为恒成立问题，进而分析函数极值即可；
(2)注意到函数的定义域为(0，2)，故为证明其为中心对称图形，即求证为定值即可；
(3)由f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2 ，注意理解当且仅当并结合函数连续性故推出a=-2，其次结合导数分析该函数单调性，此处需注意端点处取值均在临界值上，最后利用导数进行单调性及极值逐步分析得出结论.
15．【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞） [﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c 0成立 f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c 0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用定义即可；
(2)先对g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2求导，利用导数研究函数的单调性，对a分类讨论即可；
(3)利用偶函数的定义结合题意分充分性和必要性证明即可.
16．【答案】（1）解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）解：函数，，由定义可得：定义域为，
，易知在上单调递增，当时，解得，
当时，；当时，，
故，此时，
，则函数在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）解：由题意可得，，
，，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，
再证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，故函数严格单调递减.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据定义，代入，利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可得，求导，利用导数判断函数的单调性并求其最小值，则得点，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
1 / 12024年高考真题分类汇编九 导数在函数中的应用
一、选择题
1．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数的奇偶性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
2．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数（为常数），当时，曲线与恰有一个交点，则（ ）．
A．-1 B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：令，
因为当时，曲线与恰有一个交点，所以在内有且仅有一个零点，因为，所以函数为偶函数，
由偶函数的对称性可知：的零点只能为0，即，解得，
下面验证：
若，则，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当时等号成立，
即有且仅有一个零点O，所以符合题意，则.
故答案为：D.
【分析】令，易知为偶函数，由偶函数的对称性可知的零点只能为0，求得，并代入检验即可.
3．（2024·全国甲卷）曲线f（x）＝x6+3x﹣1在（0，﹣1）处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A． B． C． D．﹣
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，所以切线斜率，
利用点斜式，则切线方程为：y+1=3x，即3x-y-1=0，
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
4．（2024·全国甲卷）设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，
则，
此时切线斜率
利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；
令，则；令，则；
所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.
故答案为：A.
【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.
二、多项选择题
5．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，则（ ）．
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在，使得点为曲线的对称中心
【答案】A,D
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：函数定义域为，
A、当时，令，解得，令，解得，
故函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极大值，在处取得极小值，且，，
则，根据零点存在定理可知：函数在上有一个零点，
又因为，，则，
则在上各存在一个零点，故当时，函数有三个零点，故A正确；
B、当时，令，解得，函数单调递减；
令，解得，函数单调递增，
故是函数的极小值点，故B错误；
C、假设存在，使得为的对称轴，即存在使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
易知等式左右两边的系数都不相等，即原等式不可能恒成立，故不存在，使得为的对称轴，故C错误；
D、易知，若存在，使得为的对称中心，则，
，即，
即，解得，即存在，使得是的对称中心，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先求函数的定义域和导函数，利用导数判断函数的单调性，分析函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点从而判断A；根据极值和导函数符号的关系分析判断B；假设存在，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断C；若存在，使得为的对称中心，则，据此计算判断D.
6．（2024·新高考Ⅰ卷）设函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），则（ ）
A．x＝3是f（x）的极小值点
B．当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C．当1＜x＜2时，﹣4＜f（2x﹣1）＜0
D．当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由 函数f（x）＝（x﹣1）2（x﹣4），
∴f'（x）＝2（x﹣1）（x﹣4）+（x﹣1）2＝，
令f'（x）=0，则x=1或x=3，
∴当x<1或x>3时，f'（x）>0，函数f（x）单调递增；
当1故函数f（x）在x=1时取得极大值，在x=3时取得极小值，故A正确，符合题意；
对于B， 当0＜x＜1时，f（x）单调递增，此时x>x2，故有f（x）>f（x2），故B错误，不符合题意；
对于C， 当1＜x＜2时，则1＜2x-1＜3，f（x）单调递减，-4＜f（2x-1）＜0，故C正确，符合题意；
对于D， ，
故 当﹣1＜x＜1时， 令，此时在R上单调递减，，
故， ，即，故D正确，符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数求导法则进行求导，分析其单调性极值判断A，进而利用单调性判断BC，对于D可重新构造新函数并分析其最值得出结论.
三、填空题
7．（2024·新高考Ⅰ卷）若曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x+1）+a的切线，则a＝ ．
【答案】ln2
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：∵y＝ex+x，
∴，
此时k=，
故 曲线y＝ex+x在点（0，1）处的切线方程为：y=2x+1，
又∵y＝ln（x+1）+a ，
，
∵切线y=2x+1是公切线，设 曲线y＝ln（x+1）+a的切点为，
∴，解得，故切点为，
代入曲线，有y＝ln+a=0，解得.
故答案为：ln2.
【分析】通过导数求曲线的切线方程，利用公切线得出等量关系即可求出a.
8．（2024·全国甲卷）曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，则a的取值范围为 ．
【答案】（﹣2，1）
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【解答】解：据题意，令，
分离参数得：，
下研究的函数图象；
由
则，
令，则，
所以，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，并且，，
此时，图象如下所示：
因为曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，
转化为有两个交点，
所以，
故答案为：.
【分析】令由曲线y＝x3﹣3x与y＝﹣（x﹣1）2+a在（0，+∞）上有两个不同的交点，转化为有两个交点，进而利用求导求出的函数图象，进而求出a的取值范围.
四、解答题
9．（2024·天津）设函数.
（1）求图像上点处的切线方程；
（2）若在时恒成立，求的取值范围；
（3）若证明.
【答案】（1）解：函数定义域为，，
则，，故在点处的切线方程为，即；
（2）解：设定义域为，，当时，解得，
当时，解得，故函数在上单调递减，在上单调递增，则函数在时取最小值，
故在上恒成立，即，当且仅当等号成立，
设，则，
当时，的取值范围是，原问题等价于对任意，恒有成立，
若对任意，恒有，
则对，有，
取，得，故，
再取，得，所以，
若，则对任意，都有，满足条件，
综上可知，的取值范围是.
（3）证明：易证对，有，
证明：由（2）的结论，故，
且，
所以，即，
由，当时，解得；当时，解得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
当时，有，结论成立；
当时，有，
对任意的，设，则，由于单调递增，
且，
且当，时，由可知，
，
所以在上存在零点，再结合单调递增，当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
①当时，有；
②当时，由于，故取，
从而当时，由，
可得，
再根据在上单调递减，即对，都有；
综合①②可知对任意，都有，即，
根据和的任意性，取，，则，
所以；
当时，根据以上讨论，
可得，，
由的单调性，可知或，
故一定有成立，
综上，成立.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；不等式的证明
【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求解即可；
（2）先由题设条件得到，再证明时条件满足即可；
（3）先确定的单调性，再对分类讨论，证明即可.
10．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝a（x﹣1）﹣lnx+1．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a≤2时，证明：当x＞1时，f（x）＜ex﹣1恒成立．
【答案】（1）解：据题意，，
，
当时，恒成立，故在上单调递减；
当时，时，，单调递增，
时，，单调递减.
综上所述：
当时，的单调递减区间为；
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）证明：
因为，且，所以，
下求的最小值；
由
，令，
则，
易知在单调递增，
又，所以恒成立，
所以在上单调递增，
又，所以，，
所以在上单调递增
且，
故恒成立，
所以 f（x）＜ex﹣1恒成立 .证毕.
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系；利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；
（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，，将问题转化为求的最小值大于0恒成立，利用两次求导，结合函数的零点，求出g(x)在单调递增，且，即可求出结果.
11．（2024·北京）已知在处切线为l．
（1）若切线l的斜率，求单调区间；
（2）证明：切线l不经过；
（3）已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：由题意可知：的定义域为，且，
令，解得；令，解得；
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，
可得
即切点坐标，切线的斜率为，
则切线方程为，
将代入可得，整理得，
原题意等价于关于的方程有正根，
令，则，
可知在上单调递增，，
则在无零点，即方程无解，
所以直线不过.
（3）若，.
由题意可知：，
设与轴交点为，时，
若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾；
由（2）知，则，
则切线的方程为，
令，则，
因为，则，
整理得，
令，
可知满足条件的点的个数即的零点个数，
则，
令，解得，令，解得；
则在内单调递减；在内单调递增；
且，，
，
可知：在上必有一个零点，在上必有一个零点，
综上所述，有两个零点，即满足的有两个.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用
【解析】【分析】 (1) 求导，利用导数判断 的单调区间；(注：常数k在同一条件下保持不变，并不影响定义域（-1，0）的分析)
(2) 利用导数求切线方程，将代入整理得，原题意等价于关于的方程有正根，构建函数，利用导数判断其单调性和零点即可；
(3) 设与轴交点为，时，根据题意结合导数的几何意义分析可知，构建函数，可知满足条件的点的个数即的零点个数，利用导数判断的单调性，结合零点存在性定理分析判断.
12．（2024·新课标Ⅱ卷）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程．
（2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围．
【答案】（1）解：当时，函数，，
则，，
故切点坐标为，所以切线方程为，即.
（2）解：函数的定义域为，，
当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意；
当时，令，解得；令，解得；
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则的极小值为，无极大值，
由题意可得：，即，
令，，则在上单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可；
（2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围.
13．（2024·全国甲卷）已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．
（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；
（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，
所以，
故，
因为在上为增函数，根据单调性的性质，
所以在上为增函数，
又因为，故当时，，当时，，
故在处取极小值且极小值为，无极大值.
（2）解：因为，
所以，
设，
则，
当时，，故在上为增函数，
又，即，所以在上为增函数，
故.
当时，当时，，故在上为减函数，
故在上，即在上即为减函数，
故在上，不合题意，舍去.
当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；
综上，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.
（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）
14．（2024·新高考Ⅰ卷）已知函数f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3．
（1）若b＝0，且f'（x）≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y＝f（x）是中心对称图形；
（3）若f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2，求b的取值范围．
【答案】（1）解：当b=0时，此时函数 f（x）＝ln+ax =，其中，
此时，
由f'（x）≥0，
故，即，
由
故当时，，即，
故，当且仅当x=1时，.
为使得恒成立，
∴.
故a的最小值为-2.
（2）证明：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 ，其中，
∴，
∴函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形
（3）解：由 f（x）＝ln+ax+b（x﹣1）3 在上连续，
且当且仅1＜x＜2时 f（x）＞﹣2 ，即当0＜x＜1时 f（x）<﹣2，
由(2)得，函数f（x）关于(1，a)成中心对称图形，
故可推出 a=-2.
此时 f（x）＝ln-2x+b（x﹣1）3＞﹣2在1＜x＜2恒成立，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立，此时g（1）=0，
∴，此时.
此时设，
由复合函数单调性可知，x(2-x)在1＜x＜2上单调递减，则在1＜x＜2上单调递增，
在1＜x＜2上单调递增，
则，
①若2+3b≥0，即，
故此时当1＜x＜2，h(x)≥0，，
又∵，
∴g（x）在1＜x＜2上单调递增，
∴，且g（1）=0，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2恒成立， 即f（x）＞﹣2恒成立；
②若2+3b<0，即，
故此时当1＜x＜2，存在>1，使得h(x)<0，
即存在>1，，
又∵，
∴存在x1>1，使得g（x）在1＜x＜x1单调递减，
∴，，即，
故g（x）＝ln-2(x-1)+b（x﹣1）3＞0在1＜x＜2不恒成立，不符合题意；
综上所述，b的取值范围是[﹣，+∞）.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】(1)将b=0代入原函数，并利用f'（x）≥0后整理式子进行变量分离，转换为恒成立问题，进而分析函数极值即可；
(2)注意到函数的定义域为(0，2)，故为证明其为中心对称图形，即求证为定值即可；
(3)由f（x）＞﹣2当且仅当1＜x＜2 ，注意理解当且仅当并结合函数连续性故推出a=-2，其次结合导数分析该函数单调性，此处需注意端点处取值均在临界值上，最后利用导数进行单调性及极值逐步分析得出结论.
15．（2024·上海）记M（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≥a}，L（a）＝{t|t＝f（x）﹣f（a），x≤a}．
（1）若f（x）＝x2+1，求M（1）和L（1）；
（2）若f（x）＝x3﹣3x2，求证：对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞），且存在a，使得﹣4∈M（a）．
（3）已知定义在R上f（x）有最小值，求证“f（x）是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c）”．
【答案】（1）解：由题意，得M（1）＝{t|t＝x2+1﹣2，x≥1}＝[0，+∞）；
．
综上M（1）＝[0，+∞）；L（1）＝[﹣1，+∞）
（2）证明：由题意知，M（a）＝{t|t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a}，
记g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，则g'（x）＝3x2﹣6x＝0 x＝0或2．
x （﹣∞，0） 0 （0，2） 2 （2，+∞）
g'（x） 正 0 负 0 正
g（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
现对a分类讨论，当a≥2，有t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a为严格增函数，
因为g（a）＝0，所以此时M（a）＝[0，+∞） [﹣4，+∞）符合条件；
当0≤a＜2时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a先增后减，3a2﹣4，
因为﹣a3+3a2＝a2（3﹣a）≥0（a＝0取等号），所以4≥﹣4，
则此时M（a）＝[﹣a3+3a2﹣4，+∞） [﹣4，+∞）也符合条件；
当a＜0时，t＝x3﹣3x2﹣a3+3a2，x≥a，在[a，0）严格增，在[0，2]严格减，在[2，+∞）严格增，
，
因为h（a）＝﹣a3+3a2﹣4，当a＜0时，h'（a）＝﹣3a2+6a＞0，则h（a）＞h（0）＝﹣4，
则此时M（a）＝[tmin，+∞） [﹣4，+∞）成立；
综上可知，对于任意a∈R，都有M（a） [﹣4，+∞]，且存在a＝0，使得﹣4∈M（a）．
（3）证明：必要性：若f（x）为偶函数，
则M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
当x≥﹣c，t＝f（x）﹣f（﹣c）＝f（﹣x）﹣f（c），因为﹣x≤c，故M（﹣c）＝L（c）；
充分性：若对于任意正实数c，均有M（﹣c）＝L（c），
其中M（﹣c）＝{t|t＝f（x）﹣f（﹣c），x≥﹣c}，L（c）＝{t|t＝f（x）﹣f（c），x≤c}，
因为f（x）有最小值，不妨设f（a）＝fmin＝m，
由于c任意，令c≥|a|，则a∈[﹣c，c]，所以M（﹣c）最小元素为f（a）﹣f（﹣c）＝m﹣f（﹣c）．
L（c）中最小元素为m﹣f（c），又M（﹣c）＝L（c） f（c）＝f（﹣c）对任意c≥|a|成立，
所以f（a）＝f（﹣a）＝m，
若a＝0，则f（c）＝f（﹣c）对任意c 0成立 f（x）是偶函数；
若a≠0，此后取c∈（﹣|a|，|a|），，
综上，任意c 0，f（c）＝f（﹣c），即f（x）是偶函数．
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用定义即可；
(2)先对g（x）＝x3﹣3x2﹣a3+3a2求导，利用导数研究函数的单调性，对a分类讨论即可；
(3)利用偶函数的定义结合题意分充分性和必要性证明即可.
16．（2024·上海）对于一个函数和一个点，定义，若存在，使是的最小值，则称点P是函数到点M的“最近点”.
（1）对于（x＞0），求证，对于点，存在点P，使得P是到点M的“最近点”；
（2）对于，，请判断是否存在一个点P，它是到点M的“最近点”，且直线MP与在点P处的切线垂直；
（3）已知f（x）存在导函数f'（x），函数g（x）恒大于零，对于点M1（t-1，f（t）-g（t）），点M2（t+1，f（t）+g（t）），若对任意t∈R，存在点P同时是f（x）到点M1与点M2的“最近点”，试判断f（x）的单调性．
【答案】（1）解：当时，，
当且仅当，即时等号成立，
故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”．
（2）解：函数，，由定义可得：定义域为，
，易知在上单调递增，当时，解得，
当时，；当时，，
故，此时，
，则函数在点处的切线方程为，
而，故，故直线与在点处的切线垂直．
（3）解：由题意可得，，
，，
若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，
设，则既是的最小值点，也是的最小值点，
因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点，则存在，使得，
即①
②
由①②相等得，即，
即，又因为函数在定义域上恒正，则恒成立，
再证明，
因为既是的最小值点，也是的最小值点，
则，
即，③
，④
③④得
即，因为
则，解得，
则恒成立，故函数严格单调递减.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据定义，代入，利用基本不等式求解即可；
（2）由题意可得，求导，利用导数判断函数的单调性并求其最小值，则得点，再证明直线与切线垂直即可；
（3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性.
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