江苏省常州市联盟校2024-2025学年高二上学期学情调研（10月）数学试题（PDF版，含答案）

常州市联盟学校 2024—2025学年度第一学期学情调研
高二年级数学试卷
2024.10
考试时间 120分钟
本试卷共 19大题 满分 150分 考试时间 120分钟
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知直线过 A(2,3)，B 1,m 两点，且倾斜角为 45 ，则m （ ）
A．0 B． 2 C．3 D．5
2.若圆 x2 y2 ax 3 0的圆心是 1,0 ，则该圆的半径为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3.过点 A 4, 1 与 B 0,7 的直线的斜截式方程是（ ）
A． y 2x 7 B． y 2x 1 C． y 2x 7 D． y 2x 4
4.直线 l1 :ax 2y 2 0 ，直线 l2 : x (a 1)y 2 0，则下列结论正确的是（ ）
A．若 l1 //l2，则 a 1或 a 2 B．若 l1 l2，则 a
2

3
C．当 l1 //l2时，两直线的距离为 5 D．当 l1 l2时，两直线的交点坐标为
3 , 3
2 2
5.方程 x2 y2 2mx 4y 2m2 4m 1 0所表示的圆的最大面积为（ ）
A． 4π B．9 C．8π D．16π
6.已知点 A 1,0 ， B 0,1 P 2，点 是圆 x 2 y2 2上任意一点，则 PAB面积的最小值为（ ）
A．2 B．1 C． 1 D． 3 2
2 2
7.以下四个命题表述正确的是（ ）
A．斜率为-2，在 y轴上的截距为 3的直线方程为 y 2x 3
B．经过点 1,1 且在 x轴和 y轴上截距相等的直线方程为 x y 2 0
C．设点M (x, y)是直线 x y 2 0上的动点，O为原点，则 OM 的最小值是
D．已知直线 kx
2
y 1 0和以M 3,1 ,N 3,2 为端点的线段相交，则实数 k的取值范围为 k 1
3
8. 2若圆C： x 3 y 4 2 4上总存在两点关于直线 4ax 3by 12 0对称，则过圆C外一点 (a ,b)向圆
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C所作的切线长的最小值是（ ）
A．4 B． 4 2 C． 2 5 D． 2 7
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．在平面直角坐标系中，已知点 A 2,0 ，B 0,4 ，C 2,4 ，O 0,0 ，则下列结论正确的是（ ）
A．直线 AC的倾斜角不存在
B．直线OC与直线 AB的倾斜角相等
C．直线OC与直线 AB的斜率之和为 0
D．点C 4 5到直线 AB的距离为
5
10.下列说法正确的有（ ）
A.若方程 x2 y2 2x m 0表示一个圆，则实数m的取值范围 ( ,1)
B．已知O为坐标原点，点 P a,b 是圆 x2 y2 r2 (r 0)上的一点，则直线 ax by r 2与圆相切
C 2．若圆M ： x 4 y 4 2 r 2（ r 0）上恰有两点到点 N 1,0 的距离为 1，则 r 的取值范围是 4,6
D．设b为实数，若直线 y x b与曲线 x 1 y 2 恰有一个公共点，则 1 b 1
11.已知曲线C的方程为： x2 y2 2 | x | 2 | y | (x , y R) ，则下列结论正确的是（ ）
A．曲线C关于原点对称
B．曲线C围成的图形的面积大于 16
C．曲线C上任意两点间的距离不超过 2 2 2
D．直线 y 2x 10 1 与曲线C有的四个不同公共点
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12.直线 l分别交 x轴和 y轴于 A、B两点，若M 1,2 是线段 AB的中点，则直线 l的一般式方程为 .
13.已知点 P 0, 1 关于直线 x y 1 0对称的点Q在圆C：x2 y2 mx 4 0上，则m .
14.已知在平面直角坐标系 xOy中，直线 l : 2kx y 3k 0上存在动点 P满足条件 A 3,0 ，B 1,0 ，且
PA 3PB时，则实数 k 的取值范围为 .
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四、解答题：本题共 6 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)已知VABC的三个顶点是 A 4,1 ，B 6,7 ，C 0,3 ．
(1)求 BC边上的高的直线方程；
(2)求平分VABC的面积且过点C的直线的方程.
16.(15分)已知直线 l过直线 x 2y 3 0和 2x y 4 0的交点 P .
(1)若直线 l过点 P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线 l的方程；
(2)若圆C过点 P及Q 3, 4 ，圆C面积存在最小值吗？如果存在，求出面积的最小值和此时圆的方程，
若不存在，请说明理由.
17.(15分)已知圆C : x2 y2 2x 2y m 0与 y轴交于 A,B两点，且 ACB 90 （C为圆心），过点
P(0, 2)且斜率为 k的直线 l 与圆 C相交于M ,N两点 .
(1)求实数 m的值及圆 C的一般方程；
(2)求 k的取值范围；

(3)若OM ON 0，O为坐标原点，求直线 l 的方程.
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18.(17分)已知圆C过两点 A 1,1 ， B 1,3 ，且圆心C在直线 x 2y 1 0上
(1)求圆C的标准方程；
(2)求过点 P 3, 4 的圆C的切线方程；
(3)若直线 l的横截距为 a a 1 ，纵截距为b b 1 ，直线 l被圆 C截得的弦长为 2 3，求 ab的最小值．
19.(17分)在直角 ABC中， C为直角，顶点 A，B的坐标分别为 4，0 ， 6，0 ，圆D是 ABC的
外接圆，D为圆心，已知点 P(4，4) ，过点 P作两条相异直线分别与圆D相交于M，N ．
(1)求圆D的方程并判断点 P(4，4)与圆D的位置关系；
(2)若直线 PM 和直线 PN 与 x轴分别交于点G、H ，且 PGH PHG，试判断直线MN的斜率是
否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
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常州市联盟学校 2024—2025学年度第一学期学情调研
高二年级数学试卷答案 2024.10
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．B 2．B 3．A 4．D 5.B 6.C 7. C 8．D
二、多选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
9．CD 10. ABC 11．ABD
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
12. 2x y 4 0 13． 9 14． 3 3 ，2 6 6


四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.(13分)（1）由题意可得：直线 BC的斜率 k 3 7 2，BC 0 6 3
则边 BC的高所在的直线的斜率 k 3 ，
2
所求直线方程为 y 1 3 x 4 ，即3x 2y 14 0 . …………6分
2
（2）由题意可知：所求直线即为边 AB的中线所在的直线，
则线段 AB的中点为D 5, 4 ，可得直线CD的斜率 k 4 3 1BD ，5 0 5
1
所以直线CD的方程为 y x 3，即 x 5y 15 0 . …………13分
5
16.(15 ) x 2 y 3 0分 （1）由题意可知：联立方程组 ，
2x y 4 0
x 1
解得 ，即交点 P 1,2 ， …………2分
y 2
由直线方程 l在两坐标轴上的截距相等，
当直线 l过原点时，则直线 l的方程为 y 2x在两坐标轴上的截距相等；
当直线 l不过原点时，设直线 l 的方程为 x y 1，将点 P 1,2 代入得 1 2 1，解得 a 1，
a a a a
所以直线 l的方程为 x y 1，
综上所述直线 l的方程为 2x y 0或 x y 1 0； …………8分
（2）设圆心的坐标为C a,b ，C在 PQ的垂直平分线上.
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∵ k 3， 的中点PQ P Q M 1, 1 ，2
∴ PQ的中垂线的方程为 y 1 2 3b 5 (x 1)，即 2x 3y 5 0，∴ 2a 3b 5 0即 a ，
3 2
半径 r PC (a 1)2 13 (b 2)2 b2 2b 5 ，4
当b 1时， r取得最小值 13 .
圆心为 1, 1 , r 13 2 2，圆的方程为 x 1 y 1 =13 . …………15分
17.(15分)（1）圆标准方程为 (x 1)2 (y 1)2 2 m ，
圆心为C(1,1)，半径为 r 2 m（显然有m 2），
ACB 90 ，则△ACB是等腰直角三角形，所以C到 AB的距离为 2 r，
2
2
2 m 1，解得m 0；圆 C：C : x2 y2 2x 2y 0 ………………5分
2
(2)直线 l： y kx 2与圆 (x 1)2 (y 1)2 2交于M(x1，y1)， N(x2，y2 )两点，
k 1 2
圆心到直线 l 的距离d 2解得： k 1或k 7． ……………………10分
1 k 2

(3)若OM ON 0，O为坐标原点，则OM ON，因为 O在圆上，所以 MN为直径
直线 l 过圆心 C，即：3x y 2 0 ……………………15分
18.(17分)（1）因为圆心C在直线 x 2y 1 0上，设圆心为 2t 1, t ，
因为点 A 1,1 ， B 1,3 ，在圆上，所以 CA CB ，
即 4t 2 t 1 2 2t 2 2 t 3 2 ，解得 t 1，
所以圆心C 1,1 ，半径 r OA 2，所以圆的标准方程为：C : x 1 2 y 2 1 4 ………………5分
2 2 2（ ）由（1）可得圆C : x 1 y 1 4，则圆心C 1,1 ，半径 r 2，
当过点 P 3,4 的直线斜率不存在，则直线方程为 x 3，圆心到直线 x 3的距离为 2，
故直线 x 3为圆C的切线；
当过点 P 3,4 的直线斜率存在，可设直线方程 y 4 k x 3 ，则 kx y 3k 4 0，
3 2k 3 2k
圆心C到该直线的距离 d ，由直线与圆C相切，则 d r，即
5
2，解得 k ，
k 2 1 1 k 2 12
直线方程为5x 12y 33 0，
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综上，切线的方程为： x 3或5x 12y 33 0 . ……………………11分
2
(3)∵ 直线 l被圆C截的弦长为 2 3 ,∴ 圆心C到直线 l的距离为 d 4 3 1，
又直线 l的横截距为a a 1 ，纵截距为b b 1
x y
则直线 l的方程可设为 1，即bx ay ab 0，圆心C 1,1
a b
a b ab
∴ d 1，即 ab 2 2(a b)，
a2 b2
由 a b 2 ab，得 ab 2 2(a b) 4 ab，解得 ab 2 2或 ab 2 2 ，
∵ a 1,b 1，∴ ab 2 2 ，故 ab 6 4 2，
当且仅当 a b 2 2 时取得“＝”，∴ab的最小值为6 4 2 …………………………17分
19.(17分)(1)∵在直角 ABC中， C是直角，顶点A， B的坐标分别为 4,0 ， 6,0 ，
∴ AB是直径，则 AB的中点 1,0 ，即圆心D 1,0 ，
半径 R 5，则圆D的方程为(x 1)2 y2 25． …………………………5分
P(4，4)满足 PD 5，所以点 P(4，4)在圆D上. ………………………………7分
(2) 由题意知，直线 PA和直线 PB的斜率存在，且互为相反数，
故可设 PM : y 4 k(x 4)， PN : y 4 k(x 4)，
y 4 k (x 4)由 ，得 1 k 2 x2 (8k 2 8k 2)x 16(1 k)2 24 0，
(x 1)
2 y 2 25
4k 2因为 P的横坐标 x 4一定是该方程的解，故可得 x 8k 2 ，M 1 k 2
y 4 k (x 4)
由 ，得 1 k
2
2 2 x2 (8k 2 8k 2)x 16(1 k)2 24 0，
(x 1) y 25
2
因为 P的横坐标 x 4一定是该方程的解，故可得 x 4k 8k 2 ，N 1 k 2
yM yN k xM 4 k xN 4 8k k x x所以 k M N 3 ，MN xM xN xM xN xM xN 4
3
所以，直线MN的斜率为定值 ． …………………………17分
4
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