2024年北京十五中高三10月月考数学（PDF版，无答案）

2024北京十五中高三 10月月考
数 学
2024.10
本试卷共 4页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知集合 A = 1,2,3 ， B = x ln x 1 ，则 A B =
A． B． 3 C． 2,3 D． (2,3)
a = 40.1,b = 20.62．已知 ,c = log 0.6，则 a,b,c4 的大小关系为
A． c a b B． c b a
C．a b c D．b a c
3．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是
A． f (x) = x3 B． f (x) = 2 x
C． f (x) = ln | x | D． f (x) = x2
4．已知等差数列 an 的前n项和为 Sn ，若 S3 = 30,a8 = 4，则 S9 =
A．54 B．63
C．72 D．135

5．若函数 f (x) = sin 2x的图象向右平移 个单位长度得到函数 g(x) 的图象，若函数 g(x) 在区间[0,a]上单
6
调递增，则 a的最大值为
5 7
A． B． C． D．
12 3 2 12
1
6．设 x R且 x 0 ,则“ x 1”是“ x + 2 ”成立的
x
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

7．若函数 f (x) = Asin( x + )(A 0, 0,0 ) 的部分图象如图所示，则 的值是
2

A． B． C． D．
3 6 4 12
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y
m
O x
8．在 ABC 中， a,b,c分别是角 A, B,C 的对应边，若 sinC = 3cosC，则下列式子正确的是
A． a + b = 2c B．a + b 2c
C．a + b 2c D．a + b 2c
2x , x 0, 1 3 1
9．已知函数 f (x) = 当 m 时，方程 f (x) = x +m的根的个数为
f (x 2), x 0 2 4 8
A．0 B．1 C．2 D．3
10．数列{a }各项均为实数，对任意 n N *满足 a = a ，且 a a = a a + c ，则下列选项中不可能的是 n n+3 n n n+3 n+1 n+2
A． a1 =1， c =1 B． a1 = 1， c = 4 C．a1 = 2， c = 2 D． a1 = 2， c = 0
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
1
11．函数 f (x) = + lg(x + 3)的定义域为 .
1 x
1
12．在平面直角坐标系 xOy 中，角 和角 均以Ox 为始边，它们的终边关于 x轴对称.若 sin = ，则
3
sin =__________．
n
13．已知数列 a 的前 nn 项和为 S S =n ,an+1 + ( 1) an = 2n 1，则 8 ．
14．已知函数 f ( x)为在R 上的偶函数，且满足条件：①在 0，+ )上单调递减；② f (2) =1，则关于 x的
不等式 f (x 1) 1的解集是 ．
x x +1
15．已知函数 f (x) = e ，对于函数 f (x) 有下述四个结论：
x 1
①函数 f (x) 在其定义域上为增函数；
② f (x) 有且仅有一个零点；
③对于任意的 a 1，都有 f (a) 1成立；
x
④若曲线 y = ex 在点 (x 00 , e )(x0 1)处的切线也是曲线 y = ln x的切线，则 x0 必是 f (x) 的零点.
其中所有正确的结论序号是
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
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16．(本小题 13 分)已知函数 πf (x) = 2cos2 x + a sin x cos x ， f ( ) = 0
6
（Ⅰ）求实数 a的值;
（Ⅱ）求函数 f (x) 的最小正周期及单调增区间.
17． 2(本小题 13 分)已知函数 f (x) = (x 3)ex ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的极值；
（Ⅱ）若对 x [ 1,2]都有 f (x) a恒成立，求实数a的取值范围．
18．(本小题 14 分)在 ABC 中，bsin A = a cos B .
（Ⅰ）求 B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得 ABC 存在且唯一，求 ABC 的面积.
1
条件① cos A = ；
2
条件②b = 2 ；
6
条件③AB边上的高为 .
2
19．(本小题 15 分)为研究某地区 2021 届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区 2021
届大学毕业生中随机选取了 1000 人作为样本进行调查，结果如下：
毕业去向 继续学习深造 单位就业 自主创业 自由职业 慢就业
人数 200 560 14 128 98
假设该地区 2021 届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（Ⅰ）若该地区一所高校 2021 届大学毕业生的人数为 2500，试根据样本估计该校 2021 届大学毕业生选择
“单位就业”的人数；
（Ⅱ）从该地区 2021 届大学毕业生中随机选取 3 人，记随机变量 X 为这 3 人中选择“继续学习深造”的人
数．以样本的频率估计概率，求 X 的分布列和数学期望 E(X )；
（Ⅲ）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a (0 a 98)人
选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为 s2 ．当a为何值时， s2 最
小．（结论不要求证明）
1
20．(本小题 15 分)已知函数 f (x) = a ln x + . (a R)
x
（Ⅰ）若 a = 2，求曲线 y = f (x)在点 (1, f (1))处的切线方程；
（Ⅱ）求 f (x) 的极值和单调区间；
（Ⅲ）若 f (x) 在 1,e 上不是单调函数，且 f (x) e在 1,e 上恒成立，求实数a的取值范围．
*
21．(本小题 15 分)若有穷数列A ： a1， a2，…，an (n N ,n 3)，满足
ai ai+1 ai+1 ai+2 (i =1,2, ,n 2)，则称数列A 为M 数列．
（Ⅰ）判断下列数列是否为M 数列，并说明理由；
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①1，2，4，3
②4，2，8，1
（Ⅱ）已知M 数列A ： a1， a2，…， a9 ，其中 a1 = 4， a2 = 7 ，求 a3 + a4 + + a9 的最小值．
n 1
（Ⅲ）已知M 数列A 是 1，2，…，n的一个排列．若 a a = n+ 2，求nk k+1 的所有取值．
k=1
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