2024年北京中关村中学高二10月月考数学（PDF版，无答案）

2024北京中关村中学高二 10月月考
数 学
2024.10
一 选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的
一项.
1.如图所示，用符号语言可表述为（ ）
A． ∩ = ， ， ∩ = B． ∩ = ， ， ∩ =
C． ∩ = ， ， ， D． ∩ = ， ， ∈ ， ∈
2.△ 的直观图△ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′ ′ ′ ′// 轴， //
′轴，且 ′ ′ = ′ ′ = 1，则△ 的面积为
（ ）
√2
A．2√2 B．1 C．8 D．
4
3.已知某圆锥的母线长为4，高为2√ 3，则圆锥的全面积为( )
A. 10 B. 12 C. 14 D. 16
4．已知直线 a与平面 , , ，能使 // 的充分条件是（ ）
① ⊥ , ⊥ ② // , // ③a// , a// ④ a ⊥ , a ⊥
A．①② B．②③ C．①④ D．②④
5.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池
盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：
①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ）
A．6 寸 B．4 寸 C．3 寸 D．2 寸
6.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,O 是 B1D1的中点,直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M,则下列结论正确
的是 ( )
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A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1不共面
C.A,M,C,O 不共面 D.B,B1,O,M 共面
7.正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30°，则该四棱锥的侧面积为( )
32
A. 32 B. 48 C. 64 D. √ 3
3
8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,F 为 AD 的中点,E 为棱 D1D 上的动点(不包括端点),过点 B,E,F 的平面截正方
体所得的截面的形状不可能是( )
A.四边形 B.等腰梯形
C.五边形 D.六边形
2√ 6
9.正方体 1 1 1 1中，若△ 1 外接圆半径为 ，则该正方体外接球的表面3
积为( )
A. 2 B. 8 C. 12 D. 16
10．如图，正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，
1
且 EF = ，则下列结论中正确的是（ ）
2
①．AC ⊥BE
②．EF//平面 ABCD
③．△AEF的面积与△BEF面积相等
④．三棱锥 A-BEF的体积为定值
A. ①．②．③ B.①．②．④． C. ②．③．④． D. ①．③．④．
二 填空题：本大题共 5小题，每小题 4分，共 20分.
11.如图所示，在所有棱长均为 1 的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点 A 出发，围着三棱柱的侧面
爬行一周到达点 A1，则爬行的最短路线长为 ．
12．在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 是 AB 的中点，则在所有的棱中与直线 CD 和 AA1 都垂直的直线有
______．
13．如图，在正方体 ABCD A B C D 中， AA =1， E, F 分别是 BC, DC1 1 1 1 1 中点，则异面直线 AD1 与 EF 所成
角大小为__________.
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14．圆锥的底面半径为 3 ，母线与底面成 45°角，过圆锥顶点 S作截面 SAB，且与圆锥的高 SO成 30°角，
则底面圆心 O到截面 SAB的距离是______.
15.如图1，在矩形 中， = 2 = 2， 为 的中点，将△ 沿 折起，点 折起后的位置记为
点 1，得到四棱锥 1 ， 为 1 的中点，如图2.某同学在探究翻折过程中线面位置关系时，得到下
列四个结论：
①恒有 1 ⊥ 1 ；②恒有 //平面 1 ；
√2
③三棱锥 1 的体积的最大值为 ；④存在某个位置，使得平面 1 ⊥平面 ． 12 1
其中所有正确结论的序号是______．
三 解答题：本大题共 3 小题，共 40 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．（本小题 13 分）如图，在三棱锥 P－ABC中，PC ⊥底面 ABC， AB ⊥ BC ，D，E分别是 AB，PB的中
点．
(1)求证： //平面 PAC；
(2)求证： AB ⊥ PB
17.（本小题 13 分）如图，在三棱柱 ABC—A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱AA1 ⊥底面ABC.已知D是
BC的中点，AB = AA1 = 2．
(1)求证：平面 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)求证： 1 //平面 1 ；
(3)求三棱锥 1 1 的体积．
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解：(1)证明：因为△ 为正三角形，且 是 的中点，所以
因为侧棱 1 ⊥底面 ， ，所以 1 ⊥底面 ．
又因为 ，所以 1 ⊥ ．
而 ， 1 平面 1 1 ， 平面 1 1 ，
所以 ⊥平面 1 1C.
因为 ，
所以平面 1 ⊥平面 1 1C.
(2)证明：连接 1 ，设 1 ∩ 1 = ，连接 ．
由已知得，四边形 1 1为正方形，则
因为 是 的中点，所以 .
又因为 平面 1 ， ，
所以 1 //平面 1D.
(3)由(2)可知 1 //平面 1 ，所以 1与 到平面 1 的距离相等，
所以 ．
由题设及 = 1 = 2，得 ，且 △ = ，
所以三棱锥 1 1 的体积为 = 1 1 = .
18.（本小题 14 分）如图，四棱锥 的底面是菱形，侧面 是正三角形， 是 上一动点， 是
中点．
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(1)当 是 中点时，求证： //平面 ；
(2)若∠ = 60 ，求证： ⊥ ；

(3)在(2)的条件下，是否存在点 ，使得 ⊥ ？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

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