21.2 解一元二次方程 同步培优训练（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

21.2　解一元二次方程
任务一　选择恰当的方法解一元二次方程
母题1　用适当的方法解下列方程:
(1)x2-2x-8=0;
(2)2x(x+3)=5;
(3)3(x+4)2=x2-16;
(4)16(x-3)2-25(x-2)2=0.
变式练1：用适当的方法解下列方程:
(1)4(x+1)2=9;
(2)(x-5)2=2(x-5);
(3)x2-12x=864;
(4)9(x+1)2=(2x-5)2.
任务二　配方法的应用
子任务1　利用配方法求代数式的最值
母题2　当x为何值时,代数式2x2-16x+5有最小值,最小值是多少
【关键点拨】
变式练2：(1)代数式-x2+4x+m有最大值2,则m=　　　　;
(2)代数式x2+6x+m有最小值1,则m=　　　　.
子任务2　利用配方法求值
母题3　已知2x2+y2+4x-6y+11=0,x,y为实数,求xy的值.
变式练3：已知 x2+2y2+2xy-6y+9=0,则xy的值为　　　　.
任务三　一元二次方程根的判别式的应用
子任务1　判断一元二次方程根的情况
母题4　对于任意实数k,关于x的方程x2-2(k+1)x-k2+2k-1=0的根的情况为 (　 　)
A.有两个相等的实数根
B.没有实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法确定
变式练4：定义新运算a*b:对于任意实数a,b满足a*b=(a+b)(a-b)-1.其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算,例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k为实数)是关于x的方程,则它的根的情况是 (　 　)
A.有一个实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.没有实数根
子任务2　已知方程的根的情况确定方程中字母的取值范围
母题5　已知关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0有实数根.
(1)求m的取值范围.
(2)当m为何值时,方程有两个相等的实数根 并求出这两个实数根.
【关键点拨】
变式练5：关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是　　　　.
子任务3　运用一元二次方程根的判别式判断三角形的形状
母题6　已知a,b,c为△ABC的三条边长,且方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实根,试判断△ABC的形状.
【关键点拨】
变式练6：在Rt△ABC中,∠C=90°,若a,b,c是Rt△ABC的三条边长,试证明关于x的方程(a+c)x2-bx+(c-a)=0有两个相等的实数根.
变式练7：已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为△ABC三边的长.
(1)如果x=-1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由.
(3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.
任务四　一元二次方程根与系数关系的应用
子任务1　已知方程的一根,求另一根或字母系数的值
母题7　已知一元二次方程x2-6x+q=0有一个根为2,求方程的另一个根和q的值.
【关键点拨】
变式练8：已知关于x的一元二次方程:x2+(k-5)x+4-k=0.
(1)求证:无论k为何值,方程总有实数根.
(2)若方程的一个根是2,求方程的另一个根及k的值.
子任务2　求关于方程两根的代数式的值
母题8　已知实数a,b分别满足a2-6a+4=0,b2-6b+4=0,且a≠b,则+的值是 (　 　)
A.7 B.-7
C.11 D.-11
变式练9：已知实数a,b分别满足a2-4a+6=0,b2-4b+6=0,且a≠b,则+的值是 (　 　)
A. B.-
C. D.-
参考答案
母题1　解:(1)移项,得x2-2x=8,
配方,得(x-1)2=9;
∴x-1=±3,
∴x1=4,x2=-2.
(2)原方程可化为2x2+6x-5=0.
∵a=2,b=6,c=-5,∴Δ=62-4×2×(-5)=76>0,
∴x===,
即x1=,x2=.
(3)原方程可化为3(x+4)2-(x+4)(x-4)=0.
因式分解,得(x+4)(2x+16)=0.
∴x+4=0或2x+16=0,∴x1=-4,x2=-8.
(4)整理方程,得[4(x-3)]2-[5(x-2)]2=0;
因式分解,得[4(x-3)+5(x-2)][4(x-3)-5(x-2)]=0,
即(9x-22)(x+2)=0,
∴9x-22=0或x+2=0,
∴x1=,x2=-2.
变式练1　
(1)x1=,x2=-.
(2)x1=5,x2=7.
(3)x1=36,x2=-24.
(4)x1=-8,x2=.
母题2　解:2x2-16x+5=2(x2-8x)+5=2(x2-8x+16-16)+5=2(x2-8x+16)-32+5=2(x-4)2-27.
∵(x-4)2≥0,
∴当(x-4)2=0,即x=4时,代数式2x2-16x+5有最小值,最小值为-27.
变式练2　(1)-2　(2)10
母题3　解:∵2x2+y2+4x-6y+11=(2x2+4x)+(y2-6y)+11=2(x2+2x)+(y2-6y)+11=2(x2+2x+1-1)+(y2-6y+9-9)+11=2(x2+2x+1)-2+(y2-6y+9)-9+11=2(x2+2x+1)+(y2-6y+9)=2(x+1)2+(y-3)2,∴2(x+1)2+(y-3)2=0.
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,∴x+1=0,y-3=0,∴x=-1,y=3,∴xy=(-1)3=-1.
变式练3　-27
母题4　C　提示:∵a=1,b=-2(k+1),c=-k2+2k-1,
∴Δ=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2>0,
∴此方程有两个不相等的实数根.
故选C.
变式练4　B　提示:根据题中的新定义化简,
得(x+k)(x-k)-1=2x,
整理得x2-2x-1-k2=0,
∵Δ=4-4(-1-k2)=4k2+8>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选B.
母题5　解:(1)关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0有实数根,分两种情况讨论:
①当m+1=0即m=-1时,方程是一元一次方程,此时方程为-2x-4=0,必有实数根;
②当m+1≠0即m≠-1时,方程是一元二次方程,
Δ=b2-4ac=(2m)2-4(m+1)(m-3)=8m+12≥0,
解得m≥-且m≠-1.
综上所述,当m≥-时,方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0有实数根.
(2)∵关于x的方程(m+1)x2+2mx+(m-3)=0有两个相等的实数根,
∴Δ=b2-4ac=(2m)2-4(m+1)(m-3)=8m+12=0,
解得m=-,
∴方程变为-x2-3x-=0,
两边同时乘-2,得x2+6x+9=0,
解得x1=x2=-3.
变式练5　a>-且a≠1　提示:∵关于x的一元二次方程(a-1)x2+(2a+1)x+a=0有两个不相等的实数根,
∴
解得a>-且a≠1.
故答案为a>-且a≠1.
母题6　解:(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0,
即3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ac=0,
Δ=[-2(a+b+c)]2-12(ab+bc+ac)
=4a2+4b2+4c2-4ab-4ac-4bc
=2(a-b)2+2(b-c)2+2(a-c)2
=0,
∴a-b=0,b-c=0,a-c=0,
即a=b=c,
∴△ABC为等边三角形.
变式练6　证明:∵在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c是Rt△ABC的三条边长,
∴a2+b2=c2.
∵Δ=(-b)2-4(a+c)×(c-a)=b2-c2+a2=0,
∴关于x的方程(a+c)x2-bx+(c-a)=0有两个相等的实数根.
变式练7　解:(1)△ABC是等腰三角形.
理由如下:
∵x=-1是方程的根,
∴(a+c)×(-1)2-2b+(a-c)=0,
∴a+c-2b+a-c=0,
∴a-b=0,∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形.
(2)△ABC是直角三角形.
理由如下:
∵方程有两个相等的实数根,
∴(2b)2-4(a+c)(a-c)=0,
∴4b2-4a2+4c2=0,
∴a2=b2+c2,
∴△ABC是直角三角形.
(3)若△ABC是等边三角形,
则(a+c)x2+2bx+(a-c)=0可整理为2ax2+2ax=0,
即x2+x=0,
解得x1=0,x2=-1.
母题7　解:方法一　设这个一元二次方程的另一个根为m,则m+2=6,2×m=q,解得m=4,q=8,
∴q=8,方程的另一个根为x=4.
方法二　把x=2代入方程,得22-6×2+q=0,解得q=8,∴原方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,
∴方程的另一个根是x=4.
变式练8　解:(1)证明:∵Δ=(k-5)2-4×1×(4-k)=k2-6k+9=(k-3)2≥0,
∴无论k为何值,方程总有实数根.
(2)∵x=2是方程x2+(k-5)x+4-k=0的一个根,
∴22+(k-5)×2+4-k=0,
解得k=2.
设方程的另一个根为x1,则2x1=4-k,
即2x1=2,
解得x1=1,
∴方程的另一个根为1.
母题8　A　提示:由题意,可知a+b=6,ab=4,
原式===7.
故选A.
变式练9　C　提示:∵a2-4a+6=0,b2-4b+6=0,且a≠b,
∴a,b可看作方程x2-4x+6=0的两根,
∴a+b=4,ab=6,
∴原式===.
故选C.